一、計算教學的重要性

（一）數(shù)與計算在生活、學習、科學研究和生產(chǎn)實際中的作用。

數(shù)與計算是人們生活、學習、科學研究和生產(chǎn)實踐中應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)學方法。在當今科學技術(shù)迅猛發(fā)展的時代，科學中各個領(lǐng)域都有非常巨大的變化，但是，基本的計算方法卻沒有多大的變化。這充分說明小學數(shù)學中計算的基礎(chǔ)性和工具性。對于每個人來說，僅在小學階段學習整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則計算及其混合運算。因此，在小學階段學好以上計算，并形成一定的計算能力，這是終身有益的事情。

數(shù)與計算是人們認識客觀世界和周圍事物的重要工具之一。從抽象的觀點來看，客觀世界的表現(xiàn)形式可以概括為：數(shù)量、空間和時間及其相互之間的關(guān)系。從數(shù)學的角度來看，主要表現(xiàn)在數(shù)、量、形三個方面，而計量是離不開數(shù)與計算的，空間形式及其關(guān)系要量化也離不開數(shù)與計算。任何學科的規(guī)律歸結(jié)為公式后基本上都要運用四則混合運算來計算的。例如。物理、化學的有關(guān)公式的計算、微積分的數(shù)值計算等等。

（二）數(shù)與計算的學習對學生思維能力發(fā)展的作用。

學習數(shù)與計算的過程是培養(yǎng)和發(fā)展學生邏輯思維能力的過程。數(shù)與計算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴密的邏輯性。每個概念、性質(zhì)、法則、公式的引入、建立，都要經(jīng)過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學生學習、理解和掌握這些概念、性質(zhì)、法則、公式都要經(jīng)過從具體到抽象、感性到理性的過程。學生把這些概念、性質(zhì)、法則、公式應(yīng)用到實際中去，還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此，學生學習、理解和掌握數(shù)與計算的有關(guān)內(nèi)容能促進學生思維能力的發(fā)展。

數(shù)與計算是在人類的生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。它們具有由低級到高級、簡單到復(fù)雜的逐步發(fā)展過程。在數(shù)與計算中有很多相互依存、對立統(tǒng)一的關(guān)系。例如，加法與減法、乘法與除法、約數(shù)與倍數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等。教學中要闡明數(shù)與計算的產(chǎn)生的發(fā)展，它們之間相互依存、對立統(tǒng)一的關(guān)系，就滲透了辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。

九年義務(wù)教育小學數(shù)學大綱中關(guān)于數(shù)和計算內(nèi)容和要求全日制小學數(shù)學教學大綱關(guān)于數(shù)與計算的內(nèi)容和要求。

全日制小學數(shù)學教學大綱（以下簡稱為“原大綱”）對數(shù)與計算的內(nèi)容雖然沒有作明確的規(guī)定，但是教材按照大綱的意圖，五、六位數(shù)的加、減法還比較多；在三位數(shù)乘三位數(shù)和相應(yīng)的除法中，被乘數(shù)是四、五位數(shù)和被除數(shù)是五、六位數(shù)的比較多；四則混合運算的四步題比較多，還出現(xiàn)個別五步題；珠算要學乘法。

原大綱對計算的要求為：“能夠正確地、迅速地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則計算”，“應(yīng)該要求學生算得正確、迅速，同時還應(yīng)注意計算方法合理、靈活?！薄霸谒膭t計算中要使學生先學好20以內(nèi)的口算加減法、表內(nèi)乘法和相應(yīng)的除法，要求計算準確、熟練。”

九年義務(wù)教育全日制小學數(shù)學大綱中關(guān)于數(shù)與計算的內(nèi)容和要求。

九年義務(wù)教育小學數(shù)學教學大綱（以下簡稱為“大綱”）指出：“筆算加減法經(jīng)三、四位數(shù)的為主，一般不超過五位數(shù)；筆算乘除法以乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的為主，一般不超過三位數(shù)乘三位數(shù)和相應(yīng)的除法。四則混合運算以二、三步的為主，一般不超過四步。珠算只學加減法?！薄霸诘湍昙壔究谒愕幕A(chǔ)上，中、高年級要適當加強口算訓(xùn)練?！薄胺謹?shù)計算以分子、分母比較簡單的和大部分可以口算的為主。”

大綱對數(shù)與計算的教學要求也作了明確的規(guī)定：“使學生能夠正確地進行整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算，對于其中一些基本計算，要達到一定的熟練程度，并逐步做到計算方法合理、靈活?！?

（三）大綱與原大綱在數(shù)與計算教學要求方面的差別。

大綱與原大綱相比，大綱對計算的位數(shù)的多少與計算的步數(shù)都規(guī)定提很明確；而原大綱的規(guī)定比較模糊。這樣，反映在教科書的編寫中，前者能夠使數(shù)與計算的范圍的寬窄和教學要求都能作有效的控制；后者對教科書的編寫就不能作有效的控制，使數(shù)的范圍過大，計算的位數(shù)過多，計算的步數(shù)過多。大綱對基本計算提出了教學要求，對于不同的計算內(nèi)容提出不同的熟練程度的要求。逐步做到計算方法合理、靈活。大綱對不同的計算范圍提出不同的教學要求，對不同階段的計算方法提出不同的合理和靈活的要求。這樣的做法是針對不同年齡階段的學生提出不同的教學要求，不同的學習階段提出不同的教學要求。原大綱的教學要求比較籠統(tǒng)，不太可能符合學生的年齡特征和不同學習階段的情況。

大綱對于筆算是這樣說的：“筆算教學要引導(dǎo)學生理解算理，掌握法則，通過必要的練習逐步達到教學要求。要鼓勵學生使用學過的簡便算法，合理、靈活地進行計算?！痹缶V是要求在能準確、熟練地計算20以內(nèi)的口算加減法、表內(nèi)乘法和相應(yīng)的除法的基礎(chǔ)上學好筆算；并且要求能夠正確地、迅速地進行計算。顯然，大綱對筆算教學強調(diào)了要理解算理，這是十分重要的。算理是指計算過程中每一個步驟在數(shù)學上的理由和操作過程的合理性。學生學習計算時，不是單純地按照計算法則一步一步地計算，也能理解計算中每一步驟道理。這樣，不僅有理于學生掌握計算方法和計算法則，而且也促進了學生思維能力的發(fā)展。

義務(wù)教育小學數(shù)學教科書（人教版）中數(shù)與計算的編排特點。

（一）重視數(shù)的概念、數(shù)的組成、數(shù)位等內(nèi)容的教學。

1．從學生的生活實際出發(fā)引入數(shù)的概念。

（1）10以內(nèi)數(shù)的認識。

在準備課中一幅反映新學年的圖畫，其中有老師、學生、鮮花、樹木、房屋、飛鳥等；引導(dǎo)學生數(shù)圖中的人和物的數(shù)目，要用到10以內(nèi)各數(shù)。通過數(shù)圖中的人和物初步了解學生已有的數(shù)數(shù)能力的認數(shù)情況，還貫穿了培養(yǎng)學生愛學校、愛老師、愛同學的思想感情。同時，還利用熊貓、小鹿、蝴蝶、小雞、金魚、茶杯等常見物品的圖畫跟1～10相配合，了解學生是否認識這些數(shù)。

教材利用學生學習、課外生活活動和常見實際情景等組成主題畫讓學生認識1～10的數(shù)。例如，利用學生寫字的情景來認識數(shù)字1，學生放飛模型飛機來認識數(shù)字2等等。

（2）11～20各數(shù)的認識。

教材讓學生數(shù)鉛筆來認識11～20的數(shù)。教材中出現(xiàn)10支一捆的鉛筆和10支單根的鉛筆，突出把十作為一個單位，使學生不僅能在10的基礎(chǔ)上一支一支地數(shù)到20，并且直觀地了解11～20各數(shù)都是由一個十和幾個一組成的這可以為進一步學習寫法和加法計算作準備。教材利用小棒圖和數(shù)位表上讓學生認識11～20的數(shù)。小棒圖中，左邊有1捆小棒，是10根，就是一個十，對著數(shù)位表的十位；右邊有幾根小棒，是幾個一，對著個位，合起來就是十幾。

（3）100以內(nèi)數(shù)的認識。

教材上學生數(shù)小棒來認識100以內(nèi)的數(shù)。先讓學生一根一根地數(shù)，數(shù)到100。每數(shù)十根捆成一捆，使學生結(jié)合數(shù)實物弄清100以內(nèi)數(shù)的順序和10個1是一個十。再讓學生十根十根地數(shù)，熟悉整十數(shù)的順序，并且知道10個十是一百。然后，每個數(shù)都先用小棒表示，要求說一說小棒是由幾個十和幾個一組成的，再按照數(shù)位表寫出相應(yīng)的數(shù)，讓學生認識這個數(shù)。

（4）萬以內(nèi)數(shù)的認識。

認識萬內(nèi)的數(shù)是在二年級下學期學習的。這時，學生已經(jīng)具有一定的數(shù)學知識和抽象思維能力，并且有了百以內(nèi)認識的學習經(jīng)驗。但是，成千、幾千幾百的數(shù)的認識，對于相當一部分二年級的學生來講還是有一定的困難的。為了便于學生學習，教材先讓學生認識三位數(shù)。教材利用數(shù)小方塊的方法，讓學生整體認識“10個一是十”、“10個十是一百”、“10個一百是一千”。再利用計數(shù)器，讓學生認識幾百幾十。教材利用繪圖紙讓學生認識“10個一百是一千”、“10個一千是一萬”，最后利用算盤來認識幾千幾百。這種半具體半抽象的方法認識萬以內(nèi)的數(shù)，有利于學生抽象思維能力的提高。

（5）億以內(nèi)數(shù)的認識。

認識億以內(nèi)的數(shù)是在四年級上學期學習的。這時，學生已經(jīng)進入高年級學習階段，他們積累了相當多的數(shù)學知識，各種能力也得到長足的發(fā)展，不應(yīng)再利用實物操作、計數(shù)器演示等方法幫助學生認數(shù)。教材利用算盤幫助學生數(shù)數(shù)：一千一千地數(shù)，10個一千是一萬；一萬一萬地數(shù)是十萬。然后，讓學生想像：“照這樣數(shù)下去，10個十萬是一百萬，10個一百萬是一千萬。10個一千萬是一億。”最后用數(shù)位表鞏固億以內(nèi)數(shù)的認識。

（6）整數(shù)（億以上）的認識。

認識整數(shù)（億以上）的數(shù)是在四年級下學期學習的。教材沒有利用任何教具、學具或其他直觀手段，運用抽象的十進位計數(shù)法讓學生認識億以上的數(shù)。這樣的做法是符合學生的認識規(guī)律和認知水平的。

2．通過學生的實際操作活動來學習數(shù)的組成。

計算是小學數(shù)學的重要內(nèi)容之一。我國的小學是6周歲入學。這樣年齡的兒童是處于幼兒和少兒的轉(zhuǎn)換期。幼兒基本上是用按物點數(shù)的方法進行計算的。小學生是按照抽象的數(shù)目和方法進行計算的。例如，5＋3＝？，幼兒是在5個物體基礎(chǔ)上添上1個（是6個），再添上1個（是7個），最后添1個就是8個，所以5＋3＝8。如果要問他為什么5加上3能等于8？他會理直氣壯地回答：在5個物體上添上1個，添上1個，再添上1個，得到8個物體，就是5加上3等于8。小學生是想：5和3組成8或在5的基礎(chǔ)上添上3就能得到8，所以，5＋3＝8。如果問為什么5加上3能等于8？對于已經(jīng)學過8以內(nèi)數(shù)的組成或知道基數(shù)、序數(shù)的話是很容易回答的。然后，再學用加法運算法則進行加法計算。減法計算也有類似的學習過程。因此，數(shù)的組成是學習計算必要的準備知識，也是學習數(shù)概念和口算的準備知識之一。例如，在教學整百、整千數(shù)的加減法時，先要復(fù)習數(shù)的組成：（1）80和130里面各有幾個十？（2）700和1000里面各有幾個百？（3）13個十是多少？25個百呢？這樣，學生能把整百、整千都看成幾個百或幾個千，將整百、整千數(shù)的加減法轉(zhuǎn)化為20以內(nèi)的加減法。

（1）10以內(nèi)數(shù)的組成。

在學習2～8的數(shù)的組成時，都是讓學生通過實物操作（一般由教師先演示一部分，讓學生自己動手操作另一部分。）來理解和掌握數(shù)的組成；6、7、8三個數(shù)只學一部分組成形式，另一部分以“看到每一組，還能想到什么？”形式，讓學生類推出來。這樣，有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。對于9、10兩個數(shù)的組成，完全由學生自己動手操作后，來理解和掌握9、10的數(shù)的組成。這樣，從學生學習自主性和思維水平等比前面有了明顯的提高。

（2）11～20各數(shù)的組成。

11～20各數(shù)組成的難度比10以內(nèi)數(shù)的組成要高。它們是以十與幾組成十幾，十是一個整體，理解上難度稍稍大一些。教材是上學生看實物圖來認識10～20各數(shù)的組成，并由此讀出相應(yīng)的數(shù)。10以內(nèi)數(shù)的組成和11～20以內(nèi)各數(shù)的組成是學習20以內(nèi)加減法的基礎(chǔ)。

（3）100以內(nèi)數(shù)的組成。

教材只舉了一個例題：用小棒呈現(xiàn)三十五由3個十和5個一組成。接著就上學生練習100以內(nèi)數(shù)的組成，先根據(jù)給出的小棒圖，寫出相應(yīng)數(shù)的組成；再給出一個數(shù)（如四十六），寫出這個數(shù)的組成。這樣編排的抽象化程度比前面又高了一些，這是符合學生思維發(fā)展的水平和規(guī)律的。100以內(nèi)數(shù)組成是100以內(nèi)數(shù)的讀、寫和加減法的基礎(chǔ)。

3．通過直觀教學和學生已有的知識的經(jīng)驗來學習數(shù)的組成和數(shù)位的概念。

（1）三位數(shù)的組成。

教材用二百三十五根小棒（每捆10小棒，十捆小棒捆成一大捆表示100根，用二大捆小棒、三捆小棒和五根小棒）表示235，說明由幾個百、幾個十和幾個一組成的。由于，數(shù)目比較大，學生理解起來比較困難，在練習時還要用小方塊幫助學生理解三位數(shù)的組成。然后，用計數(shù)器來幫助學生學習三位數(shù)的讀、寫方法。由此可以看出，百以內(nèi)的數(shù)和千以內(nèi)的數(shù)相比，數(shù)位只增加了一位，但是抽象程度卻提高了一個擋次。二年級學生學習三位數(shù)的組成就有困難，需要借助于實物和實踐活動的程度就要高些。在教學過程中應(yīng)注意這個問題。

（2）四位數(shù)的組成。

四位數(shù)的組成是先利用算盤讓學生初步掌握后，再結(jié)合數(shù)位順序表讓學生理解和掌握它。教材是將實物和數(shù)順序表結(jié)合起來，也就是充分利用算盤中的“檔”和數(shù)位順序表“位”的對應(yīng)關(guān)系，讓學生比較容易地掌握四位數(shù)的組成。

（3）億以內(nèi)數(shù)和整數(shù)（億以上的數(shù)）的組成。

學生是在高年級學習億以內(nèi)的數(shù)和整數(shù)（億以上的數(shù)）的組成，這時，學生掌握知識的水平和抽象思維能力的水平都有相當大的提高。教材適應(yīng)學生這樣的狀況，僅用數(shù)位順序表幫助學生理解和掌握億以內(nèi)的數(shù)和整數(shù)（億以上的的數(shù)）的組成。

（二）注意將數(shù)的概念與相應(yīng)的計算結(jié)合起來進行教學。

數(shù)的概念與相應(yīng)的計算結(jié)合進行教學的優(yōu)越性。

學生的認知水平和思維水平都是隨著知識的積累和相應(yīng)的訓(xùn)練而提高的。教材對數(shù)概念的編排是按照學生和年齡特征和學習數(shù)學和過程而設(shè)計的。數(shù)概念是按照10以內(nèi)、20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)……的方式編排的，計算也是按照10以內(nèi)數(shù)的計算、100以內(nèi)數(shù)的計算、萬以內(nèi)數(shù)的計算……的方式來編排。這樣，先學數(shù)的概念，再學相應(yīng)的計算。既復(fù)習了數(shù)的概念，又使計算的理論基礎(chǔ)非常突出。兩者緊密地結(jié)合起來，使學習過程能充分運用分析、綜合、比較、抽象、概括等思維過程，還須合理、敏捷、靈活地進行思考，有利于促進學生思維能力的發(fā)展。，同時，還能將數(shù)概念與相應(yīng)的計算相互溝通起來，使學生對它們有整體性的認識，可以形成一個知識系統(tǒng)；對于學生形成合理的認知結(jié)構(gòu)是十分有益的。

運用直觀手段和實際操作活動將數(shù)概念和計算結(jié)合起來。

小學生（特別是中、低年級學生）學習數(shù)學時基本上都要借助于直觀手段和實際操作活動；這是由學生的年齡特征和認識水平所決定的。根據(jù)心理學研究：小學生學習比較抽象的知識一般都有這樣的規(guī)律：“動作、感知—表象（通過語言）—概念”。教材按照這個原理來編寫教學內(nèi)容。例如，20以內(nèi)的進位加法，先要復(fù)習10以內(nèi)數(shù)的組成，特別是哪兩個數(shù)能組成10更為重要。教學時，讓學生邊實際操作，邊對照相對應(yīng)的算式進行計算，利用操作過程說明算理。又如，100以內(nèi)的加、減法，都要利用100以內(nèi)組成和實際操作活動相結(jié)合來教學的。由于是在一年級下學期學習100以內(nèi)的加、減法，學生的年齡小、思維水平比較低；所以，教材將這部分內(nèi)容分成：整十數(shù)加、減整十數(shù)，兩位數(shù)加一位數(shù)、整十數(shù)（不進位），兩位數(shù)減一位數(shù)、整十數(shù)（不退位），兩位數(shù)加一位數(shù)（進位）、兩位數(shù)減一位數(shù)（退位），兩位數(shù)加兩位數(shù)，兩位數(shù)減兩位數(shù)等。教學這些內(nèi)容時都要將數(shù)的組成與實際操作活動結(jié)合起來，并且把操作過程與算式的計算過程進行對照，使具體形象的操作過程與抽象的計算過程一一對應(yīng)起來，便于學生理解算理和掌握計算的方法。

（三）利用口算來說明筆算的算理。

口算是人們運用已掌握的數(shù)學知識和方法，不借助于任何工具僅依靠思維和語言進行計算，并直接能得出結(jié)果的一種計算方法。它是一種在學習和實際中用處很大的計算方法，口算是筆算、估算和其他計算方法的基礎(chǔ)?？谒阍诩?、減法與乘、除法中所起的基礎(chǔ)作用是不完全相同的。

口算加減法是說明加、減法筆算算理的重要手段。

在小學數(shù)學中，加、減法筆算是用豎式計算的。豎式的計算方式是一般的計算方式；不管是幾位數(shù)相加、減，都可以用豎式直接來計算。在豎式中數(shù)位排列整齊、對稱，兩個數(shù)對位直觀、明了，計算過程的邏輯順序清晰、明確，計算過程和步驟歷歷在目，便于復(fù)查和檢驗，進位（包括連續(xù)進位）與退位（包括連續(xù)退位）都可以在豎式上直接操作。使用的工具簡單、易找。豎式的計算方式是任何其他方法難以替代的。

在教學100以內(nèi)的加、減法前，先要教學一系列口算作準備。這些口算內(nèi)容有：整十數(shù)加、減整十數(shù)，兩位數(shù)加一位數(shù)、整十數(shù)（不進位），兩位數(shù)減一位數(shù)、整十數(shù)（不退位），兩位數(shù)加一位數(shù)（進位），兩位數(shù)減一位數(shù)（退位）。筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)是在口算整十數(shù)加整十數(shù)、兩位數(shù)加一位數(shù)和整十數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的。這時著重解決豎式計算中如何對位、從個位加起、滿十進1的問題。由于讀寫數(shù)都是從高位起，口算也是從高位算起，所以學生在開始進行豎式計算時，也往往容易從高位算起。為了解決這個問題，教材采用了不進位加法與進位加法分別出現(xiàn)的編排方法。教學時，先復(fù)習口算加法34＋2，然后說明也可以用筆算寫成豎式。以此說明只有相同單位的數(shù)才能相加，突出幾個一和幾個一相加；并且讓學生理解對位的道理，以及從個位加起的必要性。這樣，學生能比較容易地掌握筆算加法的計算法則。筆算兩位數(shù)減兩位數(shù)是在口算整十數(shù)減整十數(shù)、兩位數(shù)減一位數(shù)和整十數(shù)的基礎(chǔ)上教學的。教材的編排方式與兩位數(shù)加兩位數(shù)相同，著重解決退位問題。

筆算萬以內(nèi)加、減法是在口算整百、整千加減法、幾百幾十加幾十與幾百幾十加幾百（不進位、進位）、幾百幾十減幾十與幾百幾十減幾百（不退位、退位）的基礎(chǔ)上進行教學的。學習這些口算是要突出相同單位上的數(shù)相加減的道理，同時要說明十位上的數(shù)相加滿十要向百位上進1和十位上的數(shù)不夠減是要從百位上借1。這樣，筆算時能比較容易理解對位、進位和退位的道理，使學生能較好地理解和掌握加法的計算法則。

口算乘除法是理解筆算乘除法算理的必要途徑。

筆算一位數(shù)乘二、三、四位的乘法是在口算一位數(shù)乘整十、整百、整千數(shù)和肯內(nèi)乘法的基礎(chǔ)上進行教學的。教材在安排筆算12×3時，先教學12×3的口算方法，突出3乘10是1（個十）×3＝3（個十）＝30，再出筆算方法，使學生明白這兩種方法的思路是一樣的。然后簡化中間過程，使學生初步明確一位數(shù)乘兩位數(shù)先乘個位數(shù)，再乘十位數(shù)的計算法則。一位數(shù)乘三位數(shù)是一位數(shù)乘兩位數(shù)的引伸和發(fā)展。

筆算乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法是在口算一位數(shù)乘兩位數(shù)、乘整百整十數(shù)和整十數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)以及一位數(shù)乘多位數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的。教材在編排筆算是兩位數(shù)的乘法時，先復(fù)習乘數(shù)是一位數(shù)的乘法和用整十數(shù)乘，為學生理解筆算乘法的算理作準備。教學24×13時，先用3乘24，這是一位數(shù)乘兩位數(shù)乘法。再用10乘24，就要用到用整十數(shù)乘的口算。這兩步計算的思路和方法都是跟口瞬息萬變一樣的。然后把兩部分結(jié)果合起來，就得到題目的答案。兩位數(shù)乘三位數(shù)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的引伸和發(fā)展。

筆算除數(shù)是位數(shù)的除法是口算一位數(shù)除整十、整百、整千的數(shù)（商也是整十、整百、整千的）和一位數(shù)除兩位數(shù)，以及一位除幾百幾十或幾千幾百的數(shù)的基礎(chǔ)上教學的。教材在編排教學筆算42÷2的內(nèi)容時，先讓學生思考口算時應(yīng)該怎樣想，讓學生擺一擺小棒，復(fù)習口算除法的思考過程，為教學筆算除法作準備。教學時，對照擺小棒的過程分步演算（說明先算什么，再算什么）讓學生了解筆算除法與口算除法的思路和順序是一樣的。一位數(shù)除二、三、四位數(shù)的筆算除法是可以類推出來的。除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法，其編排方式和教學過程是類似的。

關(guān)于計算方面內(nèi)容教學要求的簡要分析

（一）按照不同年級、不同的內(nèi)容，教學要求的層次分明。

教材對于計算教學要求首先是按照不同年級學生的年齡特征和心理特點來安排的，特別是低年級學生，時間相差幾個月，掌握知識的程度和能力的發(fā)展都有較大的差異。所以教材在規(guī)定計算的教學要求時，每學期按單元結(jié)束時和期末分別列出平均錯誤率和速度兩項指標的標準。有的內(nèi)容單元結(jié)束時和學期末就有變化，有的內(nèi)容本學期末的教學要求就是小學階段的教學要求。例如，100以內(nèi)口算加減法，單元結(jié)束時，平均錯誤率為10％以內(nèi)速度為絕大多數(shù)達到每分做5題；本學期末，平均錯誤率為7％以內(nèi)，絕大多數(shù)達到每分做7題；下學期末，平均錯誤率為6％，速度為絕大多數(shù)達到每做8題（也是小學階段的要求）。又如，萬以內(nèi)筆算加減法，學期末的平均錯誤率為8％，速度為絕大多數(shù)達到每分做1、2題，同時也是小學階段的教學要求。

（二）按照不同年級、不同的內(nèi)容，教學要求的程度比較合適。

計算的教學內(nèi)容是為今后學習、實際生活、科學研究和生產(chǎn)服務(wù)的，而不是為了比賽或別的什么服務(wù)的。所以教材的計算內(nèi)容是按照對今后學習、實際生活、科學研究和生產(chǎn)有用的程度來確定教學要求。教學要求的程度還要按照學生的年齡特征、認知水平和掌握知識與各種能力的發(fā)展水平來確定。同時，還要按照小學生心理和生理的特點，如手、眼、腦配合的協(xié)調(diào)性和口算與書寫速度的配合等。教材對于小學階段最基礎(chǔ)口算的教學要求確定得比較合適的，這是教學大綱規(guī)定需要達到熟練掌握的教學要求。例如，10以內(nèi)加減法口算，在學期末平均錯誤率為5％以內(nèi)、速度為絕大多數(shù)達到每分做10題；20以內(nèi)加減法口算，在一年級下學期末平均錯誤率為3％以內(nèi)、絕大多數(shù)達到每分做12題，同時也是小學階段的最終的教學；表內(nèi)乘除法口算，在二年級上學期末平均錯誤率為4％以內(nèi)、絕大多數(shù)達到每分做10題，同時也是小學階段的最終的教學要求。教材對于大綱規(guī)定需要達到比較熟練掌握的計算內(nèi)容的教學要求；例如，100以內(nèi)口算加減法在二年級上學期末平均錯誤率為6％、絕大多數(shù)達到每分做8題；兩位數(shù)加、減兩面三刀位數(shù)和幾百幾十加、減整十、整百數(shù)的口算在二年級上學期末平均錯誤率為6％以內(nèi)、絕大多數(shù)達到每分做6題；一位數(shù)乘整十、整百、整千的數(shù)和兩位數(shù)（每位乘積不滿十）以及相應(yīng)的除法口算，在三年級上學期末平均錯誤率為6％以內(nèi)、絕大多數(shù)達到每分做5題；……對于筆算的教學要求還更低一些。

（三）教學要求是符合統(tǒng)計規(guī)律的、是科學的。

教材以最基本口算（10以內(nèi)的口算加減法、20以內(nèi)的口算加減法）的教學要求為基準，其他的教學要求是按照概率統(tǒng)計規(guī)律計算出來的。例如，100以內(nèi)的口算加減法，平均正確率為94％以上（即平均錯誤率為6％以內(nèi)），絕大多數(shù)達到每分做12題。這個標準是這樣得來的：如果以口算35＋47＝82為例，它需要進行兩步20以內(nèi)口算加法得到答數(shù)。20以內(nèi)口算加減法和平均錯誤率為3％以內(nèi)（即平均正確率為97％以上）。按照概率統(tǒng)計的方法，100以內(nèi)口算加法的平均正確率應(yīng)該為：0.97×0.97＝0.9409≈0.94，這正是教材所規(guī)定的100以內(nèi)口算加減法平均正確率的標準。20以內(nèi)口算加減法要求絕大多數(shù)每分做8題，100以內(nèi)口算加減法要求絕大多數(shù)每分達到8題，雖然兩者之間有些差距，這是考慮到20以內(nèi)加減法口算已經(jīng)相當熟練的緣故。又如，萬以內(nèi)筆算加減法規(guī)定平均正確率為92％以上（即平均錯誤率為8％以內(nèi)），它需要進行四次20以內(nèi)加法的計算而得到答數(shù)，平均正確率為：0.97×0.97×0.97×0.97≈0.88529≈0.89，這跟教材規(guī)定的有些差距，這是考慮到20以內(nèi)加減法的筆算要比口算的正確率要高，而且熟練程度又有了提高的緣故。萬以內(nèi)筆算加減法要求絕大多數(shù)達到每分做1、2題，由于學生要列豎式，還要筆算，同時要照顧大多數(shù)學生的水平，故教學要求不能規(guī)定得太高。由此可見，最基本的口算的平均錯誤率是按照大多數(shù)水平來規(guī)定的，其他計算的平均錯誤率是按照概率統(tǒng)計規(guī)律而確定的。計算的速度是按照不同的年級、訓(xùn)練時間的長短和計算內(nèi)容的難易程度而確定的。因此，這些教學要求是合理的和科學的。

關(guān)于數(shù)與計算教學改革的幾點思考

（一）現(xiàn)行義務(wù)教育教材中數(shù)與計算編排的優(yōu)點。

1．重視從學生生活實際或?qū)嵺`活動中引入數(shù)的概念。

教材對于數(shù)的概念基本上是從學生的實際生活中引入的。例如，10以內(nèi)數(shù)概念的都是從學生的實際生活或能接觸到的事物中引入的。11～20和100以內(nèi)數(shù)概念是讓學生通過實際操作活引入的。萬以內(nèi)的數(shù)是分兩個部分引入的。先讓學生數(shù)小方塊，認識10個一百是一千，再利用計數(shù)器認識三位數(shù)；然后利用繪畫紙認識10個一千是一萬，再利用算盤認識四位數(shù)。億以內(nèi)的數(shù)是將算盤和數(shù)位順序表相結(jié)合來認識的。

2．數(shù)的概念、數(shù)的組成與相應(yīng)的計算結(jié)合得比較好。

教材在安排計算的內(nèi)容時，都是按照學習數(shù)概念與相應(yīng)的數(shù)的組成編排計算內(nèi)容的。這樣的編排方式是先學數(shù)概念和數(shù)的組成，接著學習相應(yīng)的計算內(nèi)容。學習計算內(nèi)容時，既充分應(yīng)用了剛學習的數(shù)概念和數(shù)的組成，又復(fù)習了上述內(nèi)容。教學內(nèi)容一環(huán)扣一環(huán)，容易形成知識系統(tǒng)。

3．計算的教學分成五個循環(huán)是合適的。

教材在編排計算教學內(nèi)容時，要考慮學生接受能力和知識、能力發(fā)展的狀況。所以，一、二年級安排了10以內(nèi)的加減法、20以內(nèi)的加減法，表內(nèi)乘、除法和萬以內(nèi)的加法和減法；三年級安排了乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘法、除法，乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的乘法、除法；四年級安排了億以內(nèi)的加法和減法，乘數(shù)、除數(shù)是三位數(shù)的乘法和除法，整數(shù)和整數(shù)四則運算。由此可見，教材的大數(shù)目的認識和計算都放在四年級，這樣既符合學生認知發(fā)展水平，又便于教與學。

4．小數(shù)、分數(shù)安排兩個循環(huán)是必要的。

小數(shù)在日常生活生活中的用處很大，提前學習小數(shù)的初步認識，對學生把所學的數(shù)學知識應(yīng)用于實際是十分有利的，讓學生能體會到數(shù)學知識來源于實際，又廣泛應(yīng)用于實際。在正式教學小數(shù)的內(nèi)容時，必須以分數(shù)作為準備知識。所以教材安排小數(shù)和分數(shù)的初步知識，都是十分必要的。有了初步知識教學作為基礎(chǔ)，使學生便于學習和掌握小數(shù)和分數(shù)的內(nèi)容。

5．以口算教學為筆算教學的算理作準備，筆算在口算的基礎(chǔ)上進行教學是合理可行的。

把口算的內(nèi)容放在筆算之前教學，為教學筆算的算理打基礎(chǔ)，這是義務(wù)教育教材從教材結(jié)構(gòu)上來說，是一項重大的改革。口算是怎樣為教學筆算的算理作準備的，本文前面已經(jīng)作了充分的闡述，這里不再重復(fù)了。從近十年使用的情況來看，各地廣大教師和教研人員的反映頗佳，說明這項改革是成功的。

6．20以內(nèi)的加、減法的編排是成功的。

目前教材中20以內(nèi)的加、減法跟原通用教材有很大的差別，也是義務(wù)教育教材的一項重要的改革。教材先安排9加幾，接著是十幾減9；8加幾后，就是十幾減8；……這樣，可以利用9加幾所學的知識和方法直接遷移到十幾減9上去，應(yīng)用了以加算減和方法。同時也復(fù)習和鞏固了9加幾的內(nèi)容。這樣學減法同時也復(fù)習加法的所有內(nèi)容。由于教學時間的變更，六年制教材是把20以內(nèi)的進位加法和20以內(nèi)的退位減法分別編排的。在20以內(nèi)的進位加法中應(yīng)用于了“湊十法”，突出了計算方法的規(guī)律，使學生學習了9加幾和8加幾后，就可以把“湊十法”直接遷移到后面的知識學習中去，后面的內(nèi)容可以讓學生自主地進行學習。這對培養(yǎng)學生的學習能力有很大的益處。

7．教學新的計算內(nèi)容前面安排復(fù)習題或準備題的方式是恰當?shù)摹?

小學生思維能力和聯(lián)想能力的水平都比較低，對學過的知識比較容易遺忘，并且不容易把學過的知識聯(lián)系起來。針對學生這些特點，教材在安排新知識前，安排了復(fù)習題或準備題。一方面復(fù)習與新知識有關(guān)的舊知識或方法，另一方面為新知識的學習作了鋪墊。這樣便于學生理解和掌握親知識。

8．安排估算教學是符合數(shù)學教育改革方向的。

估算是在日常生活、測量中無法或沒有必要進行精確計算和判斷時所采用的計算方法。估算可以培養(yǎng)學生對計算或測量的結(jié)果能有概括性、整體性的認識和理解，并且要對數(shù)量關(guān)系和空間形式進行合理的判斷和推理，能夠提高學生處理和解決實際總是的能力。目前，加強估算教學和提高學生的估算能力是國際數(shù)學教育改革重要方向之一。

（二）加強數(shù)的概念和應(yīng)用的教學。

加強從學生的生活實際、生產(chǎn)實際和科學技術(shù)引入數(shù)的概念及其應(yīng)用。

數(shù)的概念來源于實際（包括生活實際、生產(chǎn)實際和科學技術(shù)），應(yīng)該讓學生充分認識和理解這一點。教材和教學都必須加強這方面的內(nèi)容。學生學習了數(shù)的概念后，應(yīng)該將這些概念的實際應(yīng)用介紹給學生或讓學生利用這些概念解決一些簡單的實際應(yīng)用問題。這樣能使學生慢慢建立起知識來源于實際、又能應(yīng)用實際的觀念。

避免數(shù)與數(shù)量相混淆，應(yīng)該引入數(shù)軸。

小學生對數(shù)與數(shù)量的概念常常要混淆。在學習分數(shù)時，為了便于學生理解分數(shù)的含義，要用實物作為背景幫助學生理解分數(shù)的含義和大小。學生經(jīng)常把背景實物的大小作為判斷分數(shù)大小的依據(jù)，實際上是把數(shù)與數(shù)量相混淆了，就會出現(xiàn)許多不應(yīng)犯的錯誤。如果及早引入數(shù)軸，學生就能把數(shù)與它本身在數(shù)軸上位置一一起來，就不會出現(xiàn)這樣的錯誤。

（三）重視計算意識的培養(yǎng)，降低計算教學的要求。

重視計算意識的培養(yǎng)。

計算意識是指遇到問題能夠自學地從數(shù)量上進行觀察和思考。任何事物都有質(zhì)和量兩方面的規(guī)定，并且存在著由量變到質(zhì)變的發(fā)展過程。這里既有對數(shù)的發(fā)展和概括性的認識，又有對計算方面深層的認識。也就是說，計算并不是單單是一種技能或能力，它是一種基本的數(shù)學方法和數(shù)學意識，同時也是人們應(yīng)該具備的數(shù)學素養(yǎng)之一。具有較好計算意識的人，遇到實際問題時常常會從數(shù)與數(shù)量方面（從廣義的方面來看有時也會從概率或統(tǒng)計的角度）去考慮問題。這樣對培養(yǎng)學生思維的廣度和多元性地是十分有益的。

在計算教學中，重視算理和算法的教學。

在計算教學中是否要讓學生明確計算過程的算理和算法，原來似乎是不成問題的問題，而目前似乎成了有爭議的問題了。學生學習數(shù)學的任何內(nèi)容都應(yīng)該培養(yǎng)有根據(jù)、有條理地進行思維活動。計算的算理是說明計算過程中的依據(jù)和合理性。計算的算法是說明計算過程中的規(guī)則和邏輯順序。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。不能想像一個連基本計算的原理和方法都模糊不清的學生怎能靈活、簡便地進行計算呢？怎能會具有計算多樣性的能力呢？因此，在計算教學中重視算理和處法是一個十分重要的課題。

進一步加強口算教學。

口算是不借助于任何計算工具，依靠思維和語言進行計算并得出結(jié)果的一種計算方法。它具有方便、快速、靈活的優(yōu)點?？谒氵€是數(shù)字運算和代數(shù)運算的基礎(chǔ)，甚至是很多高等數(shù)學運算的必要手段。在進行口算的過程中，有比較復(fù)雜的心理活動。首先要在頭腦中（而不是在心中）進行計算，還需要貯存計算的中間結(jié)果，然后把兩個結(jié)果合并后才能最后的結(jié)果。經(jīng)常進行口算練習，對培養(yǎng)學生思維的敏捷性、靈活性和深刻性都是十分有益的。因此，在小學數(shù)學教學中加強口算教學是十分必要的?？谒愕慕虒W要求要進一步降低，最多只能出現(xiàn)簡單的兩步口算題，應(yīng)刪除要應(yīng)用運算定律的題目、有分數(shù)化小數(shù)或小數(shù)化分數(shù)的題目、百分數(shù)與其他數(shù)混合的題目等。

進一步加強估算和估計的教學。

估算和估計是人們在日常生活和生產(chǎn)實際中，某些計算和測量的結(jié)果無法得到或也沒有必要進行精確的計算和判斷時所采取的數(shù)學方法。它是人們對數(shù)量關(guān)系和空間形式的概括的合理的推斷。它能表示人們對所需要得到的理想結(jié)果盡可能地接近的程度。在進行估算和估計的過程中，必須具有合理的邏輯性和條理性，需要運用些合理的推理和判斷。在小學數(shù)學教學中加強估計和估算教學，對于培養(yǎng)學生猜測、推理、判斷的能力有很大的幫助，同時可以提高學生對事物具有綜合性和概括性認識的能力。對于具有估算和估計能力的學生來講，他對數(shù)量、時間和空間等能有整體性、全局性和概括性的認識與看法，這對提高學生的整體素質(zhì)是特別有益的。

必須降低計算方面的教學要求。

小學生還是應(yīng)該學筆算萬以內(nèi)的加、減法和乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的乘、除法。這樣學生能完整地學習到加、減法和乘、除法的計算法則，對這些基本運算能有全面的理解，對今后的學習是十分有好處的。因為對一個人來講這些計算法則只有在小學階段才能學到，過了小學階段似乎不再可能有機會學習這些內(nèi)容了（當然在文化大革命時期這種特殊情況也是出現(xiàn)過的）。但是這些筆算教學要求可以再降低一些。例如，數(shù)目可以小一些、四則混合運算的步數(shù)還可以減少、計算的速度可以降低一些、正確率的要求還可以放寬一些等等。

對于乘數(shù)、除數(shù)是三位數(shù)的乘法和相應(yīng)的除法怎樣處理？各方面意見很不一致。筆者認為，可以按照不同的實際情況，采取多種選擇方式。例如，可以作為乘數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的推廣形式，讓學生見一見；可以作為選學內(nèi)容，讓學?；虬嗉壸杂蛇x擇；可以作為閱讀性材料供學生自由閱讀；也可以從教科書中刪除。但是，筆者認為，在數(shù)學中存在這樣的運算方式，應(yīng)該讓學生能見一見為好。

四則混合運算可以只出三步題，應(yīng)該學習使用中括號的方法。

四則混合運算的步數(shù)不宜過多，這在數(shù)學教學改革中比較一致的。但是學習幾步比較適宜，意見的不完全一樣。筆者認為，四則混合運算應(yīng)該學到三步計算，計算的數(shù)目應(yīng)該小一些，要以學習計算方法為重點。這樣的學習難度不會很大，教學要求也不會很高。四則混合運算學到三步計算，小括號和中括號都能使用到。因為括號的使用方法在數(shù)學中是十分有用的，它在不同階段的數(shù)學內(nèi)容中都是要用到的。而括號的使用方法也是小學數(shù)學學習階段特有的學習內(nèi)容，在別的學習階段似乎不太可能再學習這樣的內(nèi)容。

珠算還是應(yīng)該保留一些。

我國各地發(fā)展很不平衡，應(yīng)該從我國的國情出發(fā)，不能單從城市（特別是從大城市）出發(fā)。應(yīng)該看到我國８０％以上的人口在農(nóng)村和中、小城鎮(zhèn)，還是要用到珠算的，就是在大城市中，有的小商店還是要用算盤計算的。

7．帶分數(shù)的認識還是要的。

帶分數(shù)的加減法實際上是利用加法交換律和加法結(jié)合律進行分數(shù)的加減法計算。帶分數(shù)乘除法是將帶分數(shù)化成假分數(shù)進行計算的。實際上，只有帶分數(shù)的意義是新內(nèi)容，其他內(nèi)容是可以類推的。在其他國家的小學數(shù)學教科書中帶分數(shù)的內(nèi)容也是有的。

（四）其他方面。

1．關(guān)于引入計算器的問題。

讓學生利用計算器進行計算是必要的，可以在中、高年級引入。但是，應(yīng)用的場合和范圍要有所限制，要在教科書中標明哪些題目是可以用計算器計算的。

2．關(guān)于正負數(shù)教學的問題。

從目前的形勢來看，在小學要教學正負數(shù)的呼聲很高，似乎成了是否進行數(shù)學教育改革的一條重要標準。但是，我認為在小學里教學正負數(shù)什么程度？放在哪一個年級教學比較合理？這些問題應(yīng)該作些調(diào)查研究后，再作最后的決定為好。

以上是筆者對計算教學改革的一些粗淺看法，僅供讀者參考。

附：九年義務(wù)教育六年制小學數(shù)學教科書（人教版）計算教學分階段要求：

計算分階段要求