四邊形及相似形

 

二. 重點、難點

（一）四邊形

  1. 多邊形

    在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

    多邊形的性質(zhì)：

    （1）n邊形的內(nèi)角和等于；

    （2）任意多邊形的外角和等于360°；

    ※（3）n邊形的對角線的條數(shù)等于。

  2. 四邊形的分類

   

  3. 平行四邊形

    兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

    平行四邊形的性質(zhì)：

    （1）兩組對邊分別平行且相等；

    （2）兩組對角分別相等；

    （3）兩條對角線互相平分；

    （4）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心。

    平行四邊形的判定：

    （1）根據(jù)平行四邊形的定義判定；

    （2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

    （3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

    （4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

    （5）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

  4. 矩形

    有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

    矩形的性質(zhì)：

    （1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

    （2）四個角都是直角；

    （3）兩條對角線相等；

    （4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，即過每組對邊中點的直線。

    矩形的判定：

    （1）根據(jù)矩形的定義判定；

    （2）有三個角是直角的四邊形是矩形；

    （3）兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。

  5. 菱形

    有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

    菱形的性質(zhì)：

    （1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

    （2）四條邊都相等；

    （3）兩條對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；

    （4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，它的兩條對稱軸是兩條對角線所在的直線。

    菱形的判定：

    （1）根據(jù)菱形的定義判定；

    （2）四條邊都相等的四邊形是菱形；

    （3）兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

  6. 正方形

    有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。

    正方形的性質(zhì)：具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)。既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它有四條對稱軸。

    正方形的判定：

    （1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

    （2）有一個角是直角的菱形是正方形。

  7. 梯形及等腰梯形

    一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底、較長的底叫做下底），不平行的兩邊叫做梯形的腰，兩底的距離叫做梯形的高。

    連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

    梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

    等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

    等腰梯形的性質(zhì)：

    （1）同一底上的兩角相等；

    （2）兩條對角線相等。

    等腰梯形的判定：

    （1）依據(jù)等腰梯形的定義判定；

    （2）同一底上兩角相等的梯形是等腰梯形。

    ※（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。

  8. 中心對稱與中心對稱圖形

    把一個圖形繞著一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱。這個點叫做對稱中心。兩個圖形關于點對稱也稱中心對稱。這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。

    把一個圖形繞它的某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

    中心對稱的性質(zhì)：

    （1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形；

    （2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分；

    由中心對稱的性質(zhì)可以認識中心對稱圖形的性質(zhì)。

  9. 平行線等分線段定理及其推論。

    平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

    推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰。

    推論2：經(jīng)過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

  10. 簡單平面圖形的面積

    （1）三角形的面積公式

    三角形的面積等于它的底與高的積的一半。

    等底等高的兩個三角形等積；等高的兩個三角形的面積比等于相應底邊的比；等底的兩個三角形的面積比等于相應高的比。

    （2）平行四邊形的面積等于一邊與這邊上的高的積。

    （3）矩形的面積等于兩條鄰邊的乘積。

    （4）菱形的面積等于一邊與這邊上的高的積，也等于兩條對角線乘積的一半。

    （5）正方形的面積等于邊長的平方，也等于對角線平方的一半。

    （6）梯形的面積等于兩底之和與高的乘積的一半；或等于梯形中位線與高的積。

    （7）多邊形的面積等于它被分割的若干個三角形面積的和。

  11. 幾何作圖

    （1）作一圖形關于某一點的對稱圖形；

    （2）任意等分已知線段；

    （3）依據(jù)已知條件，求作平行四邊形、矩形、菱形、正方形及梯形。

 

（二）相似形

    比例線段：

  1. 成比例線段

    用同一長度單位度量兩條線段所得量數(shù)的比叫做這兩條線段的比。

    如果線段a和b的比等于線段c和d的比，那么線段a、b、c、d叫做成比例線段，記作，其中叫做比的前項，b、d叫做比的后項，b、c叫做比例內(nèi)項，a、d叫做比例外項，d叫做a、b、c的第四比例項。

    若，則稱b是a、c的比例中項。

 

  2. 比例的性質(zhì)

    成比例的數(shù)具有下面的性質(zhì)：

    （1）基本性質(zhì)：；

    （2）反比性質(zhì)：；

    （3）更比性質(zhì)：；

    （4）合比性質(zhì)：；

    （5）等比性質(zhì)：，k為正整數(shù)，且，。

  3. 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

    推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

  4. 平行線分線段成比例定理推論的逆定理：如果一條直線截三角線兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角線的第三邊。

  5. 平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。

 

    相似三角形：

  1. 相似三角形

    對應角相等、對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比。

  2. 三角形相似的判定（除相似三角形的定義外）

    （1）平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。

    （2）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似，即“兩角對應相等，兩三角形相似”。

    （3）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。即“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”。

    （4）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。即“三邊對應成比例，兩三角形相似”。

    對于直角三角形相似，還有如下判定定理：

    （5）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。

    （6）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

  3. 相似三角形的性質(zhì)

    （1）相似三角形的對應角相等；

    （2）相似三角形的對應邊成比例；

    （3）相似三角形的對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比；

    （4）相似三角形的周長比等于相似比；

    ※（5）相似三角形的面積的比等于相似比的平方。（注：新教材刪去）

  4. 直角三角形中的成比例線段

    在則

    （1）；

    （2）；（注：用時要證明。）

    （3）；（注：用時要證明。）

    （4）

  ※5. 相似多邊形（注：“人教社”新教材刪去。）

    如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等、對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的對應邊的比叫做相似比。

    相似多邊形的性質(zhì)：

    （1）相似多邊形的對應角相等；

    （2）相似多邊形的對應邊成比例；

    （3）相似多邊形的對應對角線的比等于相似比；

    （4）相似多邊形周長的比等于相似比；

    （5）相似多邊形面積的比等于相似比的平方；

    （6）相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比。

 

【典型例題】

  例1. 如圖所示，平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD邊上的點，且BE=DF，EF交AC于點O。求證：AC、EF互相平分于O點。

    分析：若連結AE、CF，只要證四邊形AECF是平行四邊形

    即證：。

    而它可由推出。

 

  例2. 如圖所示，在△ABC中，，D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC的延長線上，。

    （1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；

    （2）若，四邊形EBFD的周長為22，求DE的長。

    分析：（1）由已知，不難得出，因此，關鍵是證，只要證出ED垂直平分AC于D，便可推出，從而有。就可根據(jù)平行四邊形的定義證四邊形ECFD是平行四邊形。

    （2）可推出四邊形EBFD為等腰梯形。

    因為

    所以可設

    可推出

    有

    解得：

 

  例3. 如圖所示，矩形ABCD中，，P是AD上的動點，，，試問的值是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由。

    解：的值為定值

   

 

  例4. 如圖所示，在等邊△ABC中，D、F分別為CB、BA上的點，且CD=BF，以AD為邊作等邊三角形ADE。求證：

    （1）；

    （2）四邊形CDEF為平行四邊形。

    證明：（1）∵△ABC為等邊三角形

   

    （2）

   

    ∵△AED為等邊三角形

   

    ∴四邊形CDEF為平行四邊形。

 

  例5. 如圖所示，已知菱形ABCD中，對角線，邊長，BC邊上的高，菱形面積=S，若，求a，h及。

    略解：

   

    在Rt△AOB中，AO=5，BO=12

    由勾股定理可得：AB=13，即a=13

   

    說明：此例強調(diào)了菱形的兩個面積公式的互相轉(zhuǎn)化，強調(diào)了菱形中的線段與角之間的內(nèi)在聯(lián)系。

 

  例6. 如圖所示，在矩形紙片ABCD的AB邊上取一點E，使BE：EA=5：3，，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD上，設這個點為F，求AB、BC的長。

    解：由已知，，可得

   

    設

   

   

   

    在

   

 

  例7. 如圖所示，在梯形ABCD中，AB//CD，中位線EF=7cm，對角線，，求梯形的面積。

    分析：欲求此梯形的面積，只要求它的高。

    作交CD延長線于K。

    由已知可得，

    則，而

   

    說明：在解決有關梯形的問題時，要注意常用輔助線的作法。已知梯形對角線垂直時，常過梯形一頂點平移一條對角線。

 

  例8. 如圖1所示，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O

圖1

    （1）在AC上取一點E，作于G，交BD于F，求證：；

    （2）若在AC的延長線上取一點E，作直線BE于G，交DB延長線于F（如圖2所示），這時結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請作圖并給出證明，如果不成立，請說明理由。

圖2

    分析：（1）欲證OE=OF，只要證。

    因為四邊形ABCD為正方形

    所以

    由此可證出

    可得。

    （2）若E點在AC的延長線上，這個結論仍能成立。也可由證出。

 

  例9. 已知：，求。

    解：由已知

    再由等比性質(zhì)得

    即

 

  例10. 已知：的值。

    解：設，則

   

    解得：

   

 

  例11. 如圖所示，BD、CE是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點，BC=8，求GH的長。

    解：∵BD、CE分別是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點

   

    想一想：如圖所示，若連結ED，如何求GH？

 

  例12. 如圖所示，△ABC中，AD是角平分線，求證：。

    分析：為了構造平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線，可視C點為△ABD的BD邊延長線上一點。作CE//AB，交AD延長線于E，則，。

    又

    ，得，推出。

    說明：此題介紹了三角形內(nèi)角平分線的一個性質(zhì)，即“三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。”

 

  例13. 如圖所示，△ABC中，BD是角平分線，DE//AB，AB=5，BE=3，求BC的值。

    解：

   

   

 

  例14. 如圖所示，在△ABC中，，E為AC邊中點，ED、AB的延長線交于點F。求證：

    （1）AB：AC=BD：AD；

    （2）；

    （3）。

    分析：（1）由

    （2）因是△FAD和△FDB的公共角，欲證，只要證。這可由中，、E是AC的中點推出，即

   

    （3）由（2）中的，得

    由（1）中的，可推出。

    說明：對于待證的四條成比例線段，首先要看它們所在的兩個三角形能否相似，如果不能相似，需通過“中間比”進行等量代換。

    利用兩組角對應相等，是證明兩個三角形相似首選的基本方法。

 

  例15. 如圖所示，已知中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，，BF交AD于P，交AC于E點

    求證：。

    分析：為了把共線的三條線段BP、PE、PF轉(zhuǎn)化為不共線的，可利用等腰三角形是軸對稱圖形這一性質(zhì)。

    連結PC，因為AD是等腰△ABC底邊上的中線，所以它也垂直平分BC，可推出PC=PB、。

    由CF//BA，又可得到

    所以，而

    立即推出

    從而，即

 

  例16. 如圖所示，△ABC中，，求證：。

    分析：欲證，只要證。

    而是這兩個三角形的公共角，只需證。

    在中，

    則。

   

    同理可證：

    可得

    即，從而問題解決。

 

  例17. 如圖所示，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（與C、D不重合），使三角尺的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E。探究：

    ①觀察操作結果，哪一個三角形與△BPC相似？并證明你的結論；

    ②當點P位于CD的中點時，你找到的三角形與△BPC的周長比是多少？

    解：可分成三種情形分別作答：

    （1）如圖1所示，若另一條直角邊與AD交于點E，則。

圖1

    證明：

   

    當點P位于CD的中點時，如圖2所示，則。

圖2

    又

    ∴△PDE與△BCP的周長比是1：2。

    （2）如圖3所示，若另一條直角邊與BC的延長線交于點E，同理可證或。

圖3

    當點P位于CD的中點時，如圖4所示，△PCE與△BCP的周長比是1：2；

圖4

    由于，因此△BPE與△BCP的周長比是。

    （3）如圖5所示，若另一條直角邊與BA的延長線交于E點，同理可證：。

圖5

    當點P位于CD的中點時，如圖6所示，由于，因此△EPB與△BCP的周長比為。

圖6

    說明：根據(jù)需要對研究對象進行分類，然后對劃分的每一類分別求解，綜合后即得問題的答案。在復習中要充分重視“分類討論”這一數(shù)學思想方法的運用。解答問題時，要考慮到可能出現(xiàn)的各種情況。為此，請想一想下面這個問題應怎么解？

    已知：矩形ABCD中，M是BC的三等分點，若，求D點到AM的距離。

 

【模擬試題】（答題時間：80分鐘）

［自我檢測1］

填空題：

  1. 兩條對角線互相平分的四邊形是____________________；

  2. 兩條對角線_________________的四邊形是菱形；

  3. 兩條對角線_________________的四邊形是矩形；

  4. 兩條對角線_________________的四邊形是正方形；

  5. 順次連結四邊形各邊的中點，所得的四邊形是_________________；

  6. 順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點，所得的四邊形是_____________；

  7. 順次連結對角線相等的四邊形各邊中點，所得的四邊形是_________________；

  8. 四邊形四個內(nèi)角的比是1：2：3：4，那么這四個角的度數(shù)分別是___________；

  9. 一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于144°，那么這個多邊形是______________；

  10. 平行四邊形兩鄰邊長分別為6cm和8cm，夾角為60°，它的面積為_________；

  11. 一個平行四邊形被分成面積為的四個小平行四邊形（如圖所示），當CD沿AB自左向右在平行四邊形內(nèi)平行滑動時，與的大小關系為_____；

  12. 如圖所示，△ABC中有菱形AMPN，如果，則____________。

  13. 矩形的一條對角線與一邊的夾角是40°，則兩條對角線所交銳角的度數(shù)為_________；

 

［自我檢測2］

  1. 判斷題

    （1）有一個銳角相等的兩個Rt△相似。（    ）

    （2）有一個角相等的兩個等腰三角形相似。（    ）

    （3）順次連結三角形各邊中點所得的三角形與原三角形相似。（    ）

    （4）一個等腰三角形的兩邊和另一個等腰三角形的兩邊成比例，則這兩個三角形相似。（    ）

    （5）兩邊長分別是3、4的Rt△ABC與兩邊長分別是6、8的Rt△DEF相似。（    ）

    （6）斜邊和一條直角邊分別是2和的與斜邊和一條直角邊長分別是和的相似。（    ）

 

  2. 填空題

    （1）如圖所示，已知，若再增加一個條件就能使結論“AB·DE=AD·BC”成立，則這個條件可以是_____________________。

    ※（2）在方格紙中，每個小方格的頂點稱為格點。以格點為頂點的三角形叫做格點三角形，在如圖所示的5×5的方格紙中，作以A、B、C為頂點的格點三角形和△OAB相似（相似比不能為1），則C點的坐標是________________。

    ※（3）如圖所示，由邊長為1的25個小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個△ABC，若在此網(wǎng)格內(nèi)畫出一個與△ABC相似且面積最大的三角形，則的面積是___________。

    （4）如圖所示，△ABC中，若AB=AC，BD平分，則AD=______=_______，__________，___________。當AC=10時，BC=__________。

    （5）如圖所示，△ABC中，則∽_______∽______，AD：_______=________：BC，_________，AD·DC=________，____________，AC·BD=___________。若AD=5，BC=6，則CD=_______。

    （6）已知：如圖所示，△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上，且∠1=∠2=∠3，則圖中有_________對相似三角形。

  3. 如圖所示，平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上一點，DE交BC于F。求證：BC·CD=CF·AE。

  4. 如圖所示，Rt△ABC中，∠C=90°，DEFG是△ABC的內(nèi)接正方形。求證：EF²=AE·FB。

  5. 如圖所示，△ABC中，D是BC中點，E是AD上一點，CE的延長線交AB于F。求證：AE：ED=2AF：FB。

  6. 如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中點，過D作AB的垂線交CB于E，交AC的延長線于F。求證：CD²=DE·DF。

  7. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連結AE。F為AE上一點，且∠BFE=∠C。

    （1）求證：△ABF∽△EAD；

    （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；

    （3）在（1）、（2）的條件下，若AD=3，求BF的長。（計算結果可含根號）

  8. 如圖所示，延長正方形ABCD的AB邊至E，連結EC、DE，DE交BC于F，FM//BE交EC于M，求證：FB=FM。

  9. 正方形ABCD中，邊長AB=2，E是BC的中點，DF⊥AE，F是垂足。

    （1）求證：△ABE∽△DFA；

    （2）求△DFA的面積S₁和四邊形CDFE的面積S₂。

  10. 如圖所示，菱形ABCD中，E、M分別是AB、CD邊的中點，F是BC上一點，且BF：FC=1：3。

    （1）求EF：AM；

    （2）若菱形ABCD的面積為S，求△EBF的面積。

【試題答案】

［自我檢測1］

填空題

  1. 平行四邊形

  2. 互相垂直平分

  3. 互相平分且相等

  4. 互相垂直平分且相等

  5. 平行四邊形

  6. 矩形

  7. 菱形

  8. 36°、72°、108°、144°

  9. 十                               10.

  11.

  12.                                    13. 80°

 

［自我檢測2］

  1. 判斷題

    （1）√         （2）×         （3）√         （4）×         （5）×         （6）√

  2. 填空題

    （1）或或；

    （2）（4，4）或（5，2）

    （3）的面積是5（平方單位）；

    （4）BD、BC，△BCD，DC·AC，；

    （5）△BDC、△ABC，AB、DB，AD·AC，BD²，BC²，AB·BC，4；

    （6）4對。

  3. 提示：由

    得，而可推出

  4. 提示：由

    得，即

    而，可得。

  5. 提示：過D點作DK//BA，交EC于K

  6. 提示：證

  7. （1）略；

    （2）；

    （3）

  8. 提示：由已知可得，推出

  9. （1）略；

    （2）（平方單位），（平方單位）

  10. 提示：（1）先證

    得；

    （2）。