［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 正確記憶理解四個(gè)銳角三角函數(shù)

    （1）正弦：在直角三角形中，一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊與斜邊的比，叫這個(gè)銳角的正弦。

    即：如圖1

    （2）余弦：在直角三角形中，一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比，叫這個(gè)銳角的余弦。

    即：如圖1

    （3）正切：在直角三角形中，一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊與相鄰直角邊的比，叫這個(gè)銳角的正切。

    即：如圖1

    （4）余切：在直角三角形中，一個(gè)銳角相鄰的直角邊與所對(duì)的直角邊的比，叫這個(gè)銳角的余切。

    即：如圖1

  2. 特殊角的三角函數(shù)值：

  3. 互余兩角正、余弦間的關(guān)系；正、余切間的關(guān)系。

    （1）任意銳角的正弦值，等于它余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它余角的正弦值。

    即：

    （2）任意銳角的正切值等于它余角的余切值；任意銳角的余切值等于它余角的正切值。

    即：

  4. 同角的正、余弦間的關(guān)系；正、余切間的關(guān)系；四個(gè)銳角三角函數(shù)間的關(guān)系。

    （1）

    當(dāng)0°＜A＜45°，；

    當(dāng)45°＜A＜90°，。

    （2）

    當(dāng)0°＜A＜90°時(shí)，正切值隨角度的增加（減少）而增加（減少）。

    當(dāng)0°＜A＜90°時(shí)，余切值隨角度的增加（減少）而減少（增加）。

    （3）

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

    重點(diǎn)理解銳角三角函數(shù)定義，培養(yǎng)用其解題意識(shí)，掌握銳角三角函數(shù)的性質(zhì)。

    難點(diǎn)是應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義解邊角關(guān)系及輔助線(xiàn)的添加。

【典型例題】

  例1. 已知△ABC，∠C＝90°，a＝3，c＝4，求∠A的四個(gè)三角函數(shù)值。

    解：∵∠C＝90°

    ∴△ABC為Rt△ABC

    在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理：

  例2. 已知△ABC，∠C＝90°，，求cosA，b，c的值。

    解：在中，∠C＝90°，

    在中，由勾股定理：

    （舍去）

  例3. 已知△ABC，∠C＝90°，，求tanA的值。

    解：在中，∠C＝90°，

    （舍去）

  例4. 已知△ABC，∠C＝90°，，求∠A的四個(gè)三角函數(shù)值。

    解：在中，∠C＝90°

    ∴可設(shè)

    在，由勾股定理：

    （舍去）

  例5. 已知：如圖2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD：DC＝1：2，求∠DBC的四個(gè)三角函數(shù)值。

    解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H

    ∵AD：DC＝1：2

    ∴可設(shè)AD＝k，DC＝2k

    ∴，△ABC是等腰三角形

    ∵∠A＝90°

    ∴△ABC是等腰直角三角形

    ∴∠C＝45°

    在Rt△ABD中，由勾股定理：

    ∵DH⊥BC于H

    ∴∠DHC＝90°

    ∴△DHC是等腰直角三角形

    ∵∠C＝45°，DC＝2k

    在中，

    ∵∠C＝45°，AC＝3k

    ∴在中

  例6. 已知：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，。

    求證：∠AED＝∠DBC

    證明：

    ∴可設(shè)

    則

    ∵在中，

    ∴∠C＝45°

    ∴過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H

    在中，

    同理，

    同理，在中，

    在中，

  例7. 已知：如圖4，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E。

    求證：

    證明：∵CD⊥AB于D

    ∴∠CDA＝90°

    ∴△ACD為Rt△ACD

    ∴∠1與∠A互余

    同理，∠1與∠2互余

    ∴∠2＝∠A

    ∵DE⊥AC于E

    ∴∠DEA＝90°

    ∴△DAE為Rt△DAE

    ∴在中，

    同理，在中

    即：

    在中，∠C＝90°

  例8. 計(jì)算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）已知（為銳角，求的值）

    解：（1）

    （2）

    （3）

    （4），為銳角

  例9. 計(jì)算：

    （1）

    （2）

    （3）

    解：（1）

    （2）

    （3）原式

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

一. 選擇題。

  1. 在中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，則sinA與sinB的值是（    ）

    A.                B.

    C.                D.

  2. 在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，則的值是（    ）

    A.             B.              C.             D.

  3. 在中，∠C＝90°，，則sinB的值是（    ）

    A.           B.            C.           D.

  4. 等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝2cm，則tanB，的值是（    ）

    A.                 B.

    C.             D.

  5. 已知，則的值是（    ）

    A. 1               B.            C.            D. 2

二. 填空題。

  6. 若α為銳角，且，則＝________。

  7. __________。

  8. __________。

  9. ，則__________。

    ，α為銳角，則α＝_________。

  10. ，則銳角A、B關(guān)系是____________。

  11. ___________。

  12. 銳角A滿(mǎn)足，則__________。

三. 解答題。

  13. 如圖5，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sinB，cosB的值。

圖5

  14. 如圖6，在中，CD是斜邊上的高，已知，求sin∠ACD與cosB。

  15. 計(jì)算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. A            2. A        3. C        4. D        5. B

二. 填空題。

  6. 67°                     7. 1                       8. 1

  9. 0.8643，                 10. 相等

  11. 1                 12. 6

三. 解答題。

  13. 解：作AD⊥BC于D

    ∵AB＝AC，AD⊥BC

    ∴

    ∴在中

  14. 解：在中，由勾股定理：

  15. （1）；（2）；（3）；（4）

【勵(lì)志故事】

乘奇而入

45年前，聯(lián)邦德國(guó)的福斯汽車(chē)公司準(zhǔn)備入主美國(guó)汽車(chē)大市場(chǎng)，此前曾派出大批人馬做了一番細(xì)致入微的市場(chǎng)調(diào)查研究。在調(diào)研中了解到：美國(guó)人最大的天性之一就是爭(zhēng)強(qiáng)好勝，喜歡標(biāo)新立異。

于是，他們特意設(shè)計(jì)生產(chǎn)出了一種造型奇特，猶如“金甲蟲(chóng)”狀的微型小臥車(chē)，當(dāng)年就暢銷(xiāo)40余萬(wàn)輛，打開(kāi)了美國(guó)汽車(chē)營(yíng)銷(xiāo)大市場(chǎng)，增加了人們對(duì)福斯汽車(chē)的認(rèn)可度。