【學(xué)習(xí)課題】 特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運用（學(xué)案）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能說出平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的聯(lián)系與區(qū)別；

            2. 能綜合運用平行四邊形、菱形、矩形、正方形性質(zhì)與判定解決問題.

【學(xué)習(xí)重點】能綜合運用幾種特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定解決問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、知識梳理

1．知識關(guān)系結(jié)構(gòu)框圖

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形和正方形，它們之間有何關(guān)系？請在下圖中每個箭頭的上方填上相關(guān)條件．

2.這幾種平行四邊形的判定和性質(zhì)有哪些？請完成下表內(nèi)容

二、典例分析

 例1　填空：

（1）若菱形兩條對角線的長分別為6和8，則這個菱形的周長=______，面積=______．

（2）已知：如圖1， 延長正方形ABCD的邊BC到E, 使CE=AC, 連接AE交CD于F, 則∠AFC = ___________．

   （3）如圖2,已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O, ∠ACB=30⁰, AB=2，則AC=______，

    ∠AOB=______.

圖（2)

  解題回顧：

 1.（2）小題你還有其它方法嗎？

 2. 例1中用到了什么性質(zhì)？

  例2　在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，順次連接EF、FG、GH、HE．

    （1）請判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；

    （2）試添加一個條件，使四邊形EFGH是菱形．(寫出你添加的條件，并說明理由)

思路啟迪: 1.由題目條件“E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點”可得什么結(jié)論

          2.本題的已知條件是什么？

          3.判斷一個四邊形為菱形的條件有哪些？

證明：

解題回顧：

1.  解決（1）小題的關(guān)鍵知識點是什么？本題中添加的輔助線的作用是什么？

2.（2）小題你還有其它方法證明嗎？

變式練習(xí)：

(1) 在例2中你能添加一個什么條件，使四邊形EFGH是矩形? (寫出你添加的條件，并說明理由)

    (2) 在例2中你還能添加什么條件，使四邊形EFGH是正方形．(寫出你添加的條件，并說明理由)

     思路啟迪: 判斷一個四邊形為矩形、正方形的條件有哪些？

三、學(xué)習(xí)反思

1. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有何體會與感悟？

2．利用幾個特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)解題時要注意些什么？

【學(xué)習(xí)評價】

1.已知菱形ABCD的周長為48厘米, ∠BAD：∠ABC=1：2,則AC=__________，菱形

ABCD的面積是___________

2.如圖5，已知：矩形紙片ABCD，AB＝2，AD＝1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合．如果折痕FG分別與AD、AB交與點F、G，，則DE=___________

3.如圖6，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接EB、ED，

（1）求證：△BEC≌△DEC：

（2）延長BE交AD于點F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度數(shù)．

●設(shè)計的理念與思路

《特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的運用》這一課是在學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)完三個特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定后，為了進(jìn)一步理解特殊平行四邊形性質(zhì)與判定相互之間的聯(lián)系，鞏固所學(xué)知識而設(shè)計的一堂解題學(xué)習(xí)課．

一、設(shè)計的基本理念與思路

本課是在DJP教學(xué)的基本理念和操作模式下進(jìn)行的．

DJP教學(xué)是指學(xué)生在學(xué)案的引導(dǎo)和幫助下，在獨立閱讀教材、自主建構(gòu)知識意義的基礎(chǔ)上，通過與組內(nèi)同伴進(jìn)行交流、面向全班講解以及師生對其講解進(jìn)行評析的過程，獲得對知識的深入理解、數(shù)學(xué)思想方法的體驗與感悟、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，最終達(dá)到學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會交流、學(xué)會思考、學(xué)會評價的教與學(xué)活動．其核心概念是“導(dǎo)學(xué)”、“講解”與“評價”．因此，我們?nèi)?SPAN>“導(dǎo)”、“講”、“評”漢語拼音的第一個大寫字母，簡稱“導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)”為“DJP教學(xué)”^【1】．

二、具體的操作過程

因為三種特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定是分別學(xué)習(xí)的，因此學(xué)案首先梳理知識形成知識網(wǎng)絡(luò)，使所學(xué)定理系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，以加深對知識的理解，明確與強(qiáng)化知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．這部分內(nèi)容的處理，主要由學(xué)生課前獨立完成，小組訂正答案，課堂展示交流．

   解題學(xué)習(xí)課的關(guān)鍵是例題的選擇．例1的設(shè)計，選擇的是3道識別性習(xí)題，其目的是通過完成基礎(chǔ)題目加深對定理、性質(zhì)的理解．因此題目選擇比較基礎(chǔ)，所以由學(xué)生課前獨立完成，課堂展示交流，教師鼓勵一題多解．

本課時重點在于例2的設(shè)計，例題的第一問為程序性習(xí)題，學(xué)生根據(jù)中位線定理，可以通過連接對角線，逐步推理解決，其目的是形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本技能．因此由學(xué)生課前獨立完成，課堂講解，教師提煉輔助線的做法和作用．

例題的第二問為變式性習(xí)題，是在第一問程序性練習(xí)題的基礎(chǔ)，通過改變條件而形成的數(shù)學(xué)題，其目的是學(xué)習(xí)基本的解題策略，體會和掌握數(shù)學(xué)基本思想方法的運用，提高基本知識與基本技能的遷移能力．

在平時的教學(xué)中，我就發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“添加一個條件”可能會出現(xiàn)理解錯誤，因此在思路啟迪中設(shè)計了“本題的已知條件是什么” 的用語，但是如果有學(xué)生在課堂上仍然存在理解錯誤，我預(yù)設(shè)了在黑板上板書在什么地方添加條件才合理．

在證明時，我準(zhǔn)備由學(xué)生展示他們的各種想法，然后再加以提煉和引導(dǎo)，例題的第二問也是拓展性問題，它通過對習(xí)題的引申而形成的問題，也包括那些通過嘗試、分析、探究，才能夠發(fā)現(xiàn)解題策略和方法的問題，其目的是經(jīng)歷歸納、類比等合情推理的過程，滋養(yǎng)創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的意識，積累猜想發(fā)現(xiàn)的基本活動經(jīng)驗．要求學(xué)生動手畫圖、觀察、在證明，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思維，拋開現(xiàn)象看到本質(zhì)．

學(xué)生在解決第二問時，看似花費了大量的時間，但它是一個“學(xué)的完整” 的過程，學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷了畫圖----觀察---猜測----證明的過程，在此過程中學(xué)生體會了困惑、迷茫、探索、柳暗花明等情感體驗，這比教師僅為追求“教的完整”而大題量訓(xùn)練更有意義．同時，在這個過程中，變式練習(xí)的（1）（2）小問也自然而然的解決了，從而達(dá)事半功倍的效果．

蘇格拉底說：“未經(jīng)審視的生活是沒有價值的生活”．反思是解題學(xué)習(xí)學(xué)案的一個核心要素，它貫穿于學(xué)案的始終，在各個學(xué)習(xí)階段都有反思的設(shè)計．本節(jié)課的反思有以下一些形式：關(guān)于解題思路的反思，對自己整個思考過程進(jìn)行追憶性的反思，回顧思路產(chǎn)生的“念頭”、所走的彎路、所遇到的障礙等．關(guān)于解題結(jié)果的反思，主要有兩項內(nèi)容，一是解題方法的探討，尋求多種解題方法，并進(jìn)行優(yōu)劣比較；二是對結(jié)論進(jìn)行引申，對問題進(jìn)行推廣，提出新的問題^【2】．

在整個學(xué)習(xí)中，學(xué)案為學(xué)生提供了“在解題中學(xué)習(xí)解題”的機(jī)會，使他們能夠親身經(jīng)歷嘗試——頓悟、發(fā)現(xiàn)意義的過程．在解題學(xué)習(xí)活動中，他們自己去選擇信息、尋找思路，在問題與結(jié)論之間建立具有個性化的意義聯(lián)系，這種聯(lián)系不是盲目碰巧的，而是按照一定的“線路”（學(xué)案的引導(dǎo)）建立起來的，它既減少了純粹自學(xué)中那種方向不明的盲目嘗試的次數(shù)（所謂彎路），也避免了教師講解中那種舍棄嘗試過程而直接呈現(xiàn)“成功聯(lián)系”而使學(xué)生的解題學(xué)習(xí)僅停留在“模仿”（工具性理解）層次上的弊端^【2】．

在整個學(xué)習(xí)過程中，評價的作用也不容忽視．這里的評價，既有學(xué)生的互評，也有教師的點評；既有量化評價，也有定性評價；最后還有對知識掌握情況的學(xué)習(xí)評價．通過評價進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對知識的內(nèi)化與掌握．

●教 后 反 思

本節(jié)課主要通過學(xué)案的引領(lǐng)讓學(xué)生自學(xué)，然后在教師的引導(dǎo)、學(xué)生積極主動的參與之下，基本完成了計定的教學(xué)目標(biāo)任務(wù)，體現(xiàn)出了重點，突破了難點，整個課堂取得了較大的成功．本節(jié)課主要采用導(dǎo)學(xué)講評式教學(xué)模式，主要是讓學(xué)生自學(xué)、講解和相互評價來完成其教學(xué)任務(wù)的，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和作用．

不足之處:

1.由于對幾何畫板使用不熟悉,在添加輔助線時,本應(yīng)該用虛線而用成了實線,犯了一個知識性錯誤;

2.在處理例2的問題(1)時完全可以采用實物投影儀,直接展示學(xué)生的證明過程,讓課堂時間利用的更好,給例2的問題(2)和變式練習(xí)留下更充裕的時間,把幾種特殊的平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別討論得更透徹,讓學(xué)生對特殊平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別認(rèn)識更深刻,同時也導(dǎo)致時間浪費,致使在課堂上未能按時完成教學(xué)任務(wù);

3.本人的專業(yè)素養(yǎng)也應(yīng)加強(qiáng),在DJP教學(xué)理論的指導(dǎo)下,認(rèn)真摸索不同課型的教學(xué)模式,提高課堂效率.只有教師有一桶水才能給學(xué)生一碗水,讓學(xué)生取之于高,得之于中．

這次教學(xué)中,我最大的感觸是“書到用時方恨少” ．在以后的工作中,我一定加強(qiáng)學(xué)習(xí)現(xiàn)代化教學(xué)方式,加強(qiáng)專業(yè)知識學(xué)習(xí)．

●專家點評

本節(jié)課是在“DJP教學(xué)”下設(shè)計的一堂解題學(xué)習(xí)課．DJP教學(xué)秉承的教學(xué)理念是“讓知識在對話交流中生成，讓情感態(tài)度價值觀在活動過程中形成，讓學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中成功，讓學(xué)生在自主合作中成長”．追求的是讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在對話交流的過程中自我增進(jìn)一按科學(xué)素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)，最終達(dá)到學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究、學(xué)會思考、學(xué)會交流、學(xué)會評價，促進(jìn)學(xué)生主動發(fā)展的目的^【1】．

DJP教學(xué)采用的教學(xué)方式是“導(dǎo)學(xué)結(jié)合，教學(xué)對話.”，其主要教學(xué)環(huán)節(jié)是“導(dǎo)學(xué)——講解--評價^【1】”．本節(jié)課較好的體現(xiàn)了“DJP教學(xué)”的基本理念和教學(xué)環(huán)節(jié)，概括起來有以下幾個特點：

1.本節(jié)課的“導(dǎo)學(xué)”部分主要體現(xiàn)在學(xué)案設(shè)計中和課堂教學(xué)的過程中．學(xué)案所建構(gòu)的是一種“學(xué)的課程，是從學(xué)生學(xué)的角度出發(fā)，把學(xué)習(xí)的內(nèi)容、目標(biāo)、方法以及教師的指導(dǎo)等有機(jī)融入到學(xué)習(xí)過程之中而別寫的一個引導(dǎo)和幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究知識、主動發(fā)展的方案^【2】”，從而它把抽象的數(shù)學(xué)知識改造成為一種學(xué)生易于介入、思考、探究的學(xué)習(xí)形態(tài)的知識．“導(dǎo)學(xué)”是學(xué)案的核心和主線．在本節(jié)課的學(xué)案中，導(dǎo)學(xué)貫穿于“學(xué)習(xí)目標(biāo)”、“知識梳理”、“思路啟迪”、“解題反思”和“學(xué)習(xí)反思”的每個欄目中，并結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容有機(jī)融入學(xué)習(xí)過程的各個階段．在課堂教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的講解及時必要的點撥和指導(dǎo)，從而使學(xué)生的講解更加生動，思維的深度更高．

2.“講解”是“DJP教學(xué)”的中心環(huán)節(jié)．在學(xué)生根據(jù)學(xué)案自主學(xué)習(xí)和組內(nèi)交流的基礎(chǔ)上，再由學(xué)生在全班講解自己對每一個知識的理解和見解，變原來的“聽講為主講”，從而把話語權(quán)還給了學(xué)生，把課堂還給了學(xué)生，把學(xué)習(xí)的自主權(quán)還給了學(xué)生．在課堂上，通過學(xué)生的講解，師生的評析等各種視域的融合，使課堂成為知識意義建構(gòu)的作坊、學(xué)生活力展示的舞臺、思想交流對話的講壇，使學(xué)生真正成為了課堂的主人．

“DJP教學(xué)”的“講解”是一種“對話性講解^【3】”．本節(jié)課中，知識的梳理，例題思路的分析，解題后的反思總結(jié)和例2四邊形添加什么條件后成為菱形時添加條件的探究，都是學(xué)生在對話性講解的過程中完成的．在這個過程中充分體現(xiàn)了他們特有的智慧、創(chuàng)新、潛能和情感．由于學(xué)生親歷了解題的完整過程，使得數(shù)學(xué)題不再是冰冷的符號，而是具有真實含義、飽和了學(xué)生真切情感的活的知識．

3. 充分體現(xiàn)了解題學(xué)習(xí)的規(guī)律和解題學(xué)習(xí)的完整過程．波利亞在《怎樣解題》一書中提出了解題學(xué)習(xí)的四個階段：理解題意---擬定方案---執(zhí)行方案---回顧．由于長期傳授式解題教學(xué)，老師們已形成了“解題的目的就是找答案”．解題教學(xué)一般都是教師講解分體解題思路，板書解題過程，缺乏“理解題意”和“解題回顧”，照成了“燒中段，去兩頭”的解題教學(xué)弊端，從而造成解題教學(xué)效率低下^【4】．而本課的學(xué)案則在給出了例題后，不是教師積極忙忙的去分析解題思路，講述解答尋求結(jié)論，而是用“思路啟迪”引導(dǎo)學(xué)生自己去“理解題意”、“擬定方案”，學(xué)生在“執(zhí)行解題方案”后，也不是就此結(jié)束，而是又用“解后反思”引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)一步總結(jié)提煉解題的規(guī)律，進(jìn)一步挖掘例題本身的價值和拓展，從而達(dá)到解一題，通一類，舉一反三，提高解題能力，進(jìn)而學(xué)會解題．這就充分體現(xiàn)了解題學(xué)習(xí)的規(guī)律和解題的完整個過程，從而也使波利亞的解題理論走向了實際解題學(xué)習(xí)之中．

特別值得一提的是，本節(jié)課中提出的是“解題學(xué)習(xí)課”，而不是“解題教學(xué)課”或“習(xí)題課”，這充分體現(xiàn)了教師的教學(xué)觀念和教學(xué)行為方式由關(guān)注教師的“教”轉(zhuǎn)向了關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，從而真正回到了解題教學(xué)的本真：學(xué)生是通過經(jīng)歷解題的完整過程而學(xué)會如何解題的．實際上,數(shù)學(xué)不是講會的，數(shù)學(xué)題是講不完，講了的學(xué)生也不一定會，只有讓學(xué)生自己真正經(jīng)歷解題學(xué)習(xí)的完整過程，才能真正學(xué)會解題，提高解題能力．

當(dāng)然,“DJP教學(xué)”的研究時間還不是很長，還有許多問題需要進(jìn)行一步研究，但從這節(jié)課我們已經(jīng)看到了它極強(qiáng)的生命活力，這是我國學(xué)者自己研究的教學(xué)方式，希望大家來共同關(guān)心，精心呵護(hù)，也希望更多的研究者和一線老師參與到DJP教學(xué)的實驗中與課題的研究者一起共同探討、研究，進(jìn)一步完善和提升該課題的研究水平．

               （成都市龍泉驛區(qū)教育研究培訓(xùn)中心王富英老師點評）

參考文獻(xiàn)：

①王富英，王新民，譚竹. DJP教學(xué)：促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的教學(xué)模式[J].中國數(shù)學(xué)教育，2009