求 摩擦力對 y 軸的力矩

解

在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進行計算

例如

2. 剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律




在國際單位中 k = 1

剛體的轉(zhuǎn)動定律

討論


(2) 力矩相同，若轉(zhuǎn)動慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同
(3) 與牛頓定律比較：

3. 轉(zhuǎn)動慣量
剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量 J 等于剛體中每個質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之總和。
定義式    質(zhì)量不連續(xù)分布

質(zhì)量連續(xù)分布

物理意義


轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量。
它與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。

計算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:
(1)總質(zhì)量； (2)質(zhì)量分布； (3)轉(zhuǎn)軸的位置
(1) J 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)
例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量

(2) J 與質(zhì)量分布有關(guān)

例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量




例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量

(3) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)

4 平行軸定理

例 均勻細棒的轉(zhuǎn)動慣量
　

         


(2) (薄板)垂直軸定理

x,y 軸在薄板內(nèi)；
z 軸垂直薄板。


例如求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量

已知

(3) 幾種剛體的轉(zhuǎn)動慣量

下面給出了一些常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量。

請注意在轉(zhuǎn)動慣量的計算中，轉(zhuǎn)軸位置的重要性。

5. 轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例

例 一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量 J=0.5 kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計， (見圖)

求 (1) 飛輪的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速                  
解                                                                    

例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平
面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置

解 取一質(zhì)元  

重力對整個棒的合力矩等于重力全部 集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩
 

對一有限過程

從上式看到：外力對剛體所作的功等于合力矩對角位移的積分，它是力做的功在剛體轉(zhuǎn)動中的特殊表現(xiàn)形式。
討論
(1) 合力矩的功 

(2) 力矩的功就是力的功。

(3) 內(nèi)力矩作功之和為零

3. 轉(zhuǎn)動動能定理 ——力矩功的效果

對于一有限過程

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。

這就是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的——動能定理
　

對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立：
系統(tǒng)外力所作的功與系統(tǒng)非保守內(nèi)力所作的功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。如果只有保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)的機械能也守恒。

例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平
面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置
　

解

由動能 定理

此題也可用機械能守恒定律方便求解