問題框架：

1. 如何在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡？

2. 如何在正反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想？

3. 如何處理好 “ 問題解決 ” 教學(xué)中生活情境具體和數(shù)量關(guān)系抽象的關(guān)系？

4.  如何在教學(xué)中凸顯問題解決的策略？

具體內(nèi)容：

“數(shù)與代數(shù)”部分是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。這部分的內(nèi)容包括數(shù)的概念、數(shù)的運(yùn)算、數(shù)量的估計(jì)；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算；方程、方程組、不等式，函數(shù)等。

數(shù)的概念是學(xué)生認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的開始，從自然數(shù)逐步擴(kuò)展到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，學(xué)生將不斷增加對數(shù)的理解和運(yùn)用。數(shù)的運(yùn)算伴隨著數(shù)的形成與發(fā)展不斷豐富，從最基本的自然數(shù)四則運(yùn)算，擴(kuò)展到有理數(shù)的運(yùn)算。伴隨著字母的引入，代數(shù)式和方程的出現(xiàn)是數(shù)及其運(yùn)算的進(jìn)一步抽象。 本專題中，我們和您交流的內(nèi)容主要涉及后面兩部分，下面我們結(jié)合新課標(biāo)，聚焦幾個(gè)老師們實(shí)踐中的問題，進(jìn)行深入的交流。

一、在方程教學(xué)中幫助學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡

1. 方程教學(xué)的目標(biāo)

對式與方程這部分內(nèi)容，課標(biāo)有如下具體要求：

1．在具體情境中能用字母表示數(shù)。

2．結(jié)合簡單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。

3. 能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用。

4．了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。

在每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程中，“字母” 的出現(xiàn)都是一次認(rèn)識上的飛躍。在“字母表示數(shù)”以及“方程”教學(xué)中，要肩負(fù)著幫助學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維進(jìn)行過渡。學(xué)習(xí)“字母表示數(shù)”的過程是幫助學(xué)生建立數(shù)感與符號意識的重要過程，是學(xué)習(xí)和認(rèn)識數(shù)學(xué)的一次飛躍，同時(shí)也是學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)式、整式、分式和根式等一系列概念及相關(guān)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，具有非常重要的意義，需要引起高度重視，并貫穿于學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的始終。

在小學(xué)的第二學(xué)段 中就安排了“式與方程”的內(nèi)容，就是要引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中會(huì)用字母表示數(shù)；結(jié)合簡單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。從第一學(xué)段過渡到第二學(xué)段，隨著學(xué)生年齡的增長，思維水平和理解能力也在逐漸提高。這一時(shí)期的學(xué)生正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡階段。在第一學(xué)段的基礎(chǔ)上，第二學(xué)段不僅擴(kuò)大了數(shù)的認(rèn)識和運(yùn)算的范圍，同時(shí)在較為抽象的水平上初步認(rèn)識代數(shù)知識和滲透函數(shù)思想。

引入簡易方程的價(jià)值在于，為學(xué)生提供用代數(shù)方法解決問題的途徑。小學(xué)階段解決問題的基本方式是算術(shù)方法?；镜臄?shù)量關(guān)系模型一是求和的關(guān)系（部分 + 部分 = 整體），二是求積的關(guān)系（每份數(shù) × 份數(shù) = 總量）。具體的表現(xiàn)為加、減、乘、除的意義。算術(shù)方法解決問題基本上是根據(jù)加減乘除四則運(yùn)算的含義，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一個(gè)算式。這個(gè)算式的基本特征是將已知的數(shù)量構(gòu)成的算術(shù)式使其結(jié)果等于所求的數(shù)量。

例如： 小明原來有一些鉛筆，爸爸和媽媽又分別給他買 10 枝新鉛筆，這時(shí)他一共有 38 枝鉛筆，原來小明有幾只鉛筆？

用算術(shù)方法列出的算式是： 38-10 × 2=

而用方程來解要先用字母 x 表示原來鉛筆的數(shù)量。按照數(shù)量關(guān)系，可以列出方程： X+10 × 2=38

后者是直接用部分 + 部分 = 總體的思路，未知數(shù) X 和其它已知數(shù)一起進(jìn)行運(yùn)算。而前者是求和逆運(yùn)算，即已經(jīng)和與一個(gè)部分，求另一個(gè)部分。在解決較為復(fù)雜的問題時(shí)，方程與算術(shù)方法的區(qū)別會(huì)更為明顯。

對于解方程， 《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“用等式的性質(zhì)解簡單的方程”。等式的性質(zhì)反映了方程的本質(zhì)，將未知數(shù)和已知數(shù)同等看待。這正是代數(shù)思維與算術(shù)思維的基本區(qū)別。

開始從算術(shù)方法到代數(shù)方法可能顯得比較繁瑣，特別是對于簡單的數(shù)量關(guān)系，用算術(shù)方法操作起來更為容易，但在解簡單方程時(shí)仍倡導(dǎo)老師們關(guān)注用等式性質(zhì)的思路，一方面它體現(xiàn)著代數(shù) 方法的本質(zhì)，另一方面也是與第三學(xué)段方程學(xué)習(xí)的重要銜接。

2．從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的飛躍。

【片段 1 】趙震 —— 《用字母表示數(shù)》

趙老師通過“神奇的魔盒”，讓學(xué)生充分經(jīng)歷輸入數(shù)與輸出數(shù)的游戲，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、概括規(guī)律，從“圖形 ( △ → □ ) ” 到“字母”、從無關(guān)系的字母（ a→b ）到揭示規(guī)律的字母（ a→a+10 ），引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生簡明表達(dá)規(guī)律的內(nèi)需 —— “用字母表示數(shù)”，真正理解字母表示數(shù)的價(jià)值。

【片段 2 】趙震 —— 《用字母表示數(shù)》

對，我也聽過 趙 老師這節(jié)課，唱兒歌 —— 《數(shù)青蛙》：

一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿。

兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿。

三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿。

……

讓學(xué)生邊拍手邊有節(jié)奏地哼唱，與此同時(shí)課件不斷顯示更多的青蛙，直到多得數(shù)不清，這 時(shí)趙 老師問：還能唱嗎？學(xué)生感到有困難了，于是教師發(fā)給學(xué)生每人一個(gè)小條，試著寫一寫。

學(xué)生在練習(xí)紙上填：

生 1 ：無數(shù)只青蛙無數(shù)張嘴，無數(shù)只眼睛無數(shù)條腿。

生 2 ： a 只青蛙 b 張嘴， c 只眼睛 d 條腿。

生 3 ： a 只青蛙 a 張嘴， b 只眼睛 c 條腿。

生 4 ： a 只青蛙 a 張嘴， aa 只眼睛 aaaa 條腿。

生 5 ： a 只青蛙 a 張嘴， 2a 只眼睛 4a 條腿。

通過傾聽學(xué)生的發(fā)言與交流，展現(xiàn)了學(xué)生不同的結(jié)論及不同的思維層次：

例如：生 1 還沒有達(dá)到“用字母表示數(shù)”的水平，停留在用語言來描述數(shù)量及關(guān)系；

生 2 雖然達(dá)到了“用字母表示數(shù)”的水平，但沒有表示出數(shù)量關(guān)系；

生 3 走近了“用字母表示數(shù)”，有了一定的數(shù)量關(guān)系，但是不全面；

生 4 走近了“用字母表示數(shù)”，明白數(shù)量關(guān)系，但是表示不準(zhǔn)確，有待教師的引導(dǎo)；

生 5 真正走進(jìn)了“用字母表示數(shù)”，既用字母表示出了數(shù)，又準(zhǔn)確地表示出了數(shù)量之間的關(guān)系。

趙 老師在課堂上，通過學(xué)生喜歡的、生動(dòng)的“說兒歌”活動(dòng)，讓學(xué)生在數(shù)的過程中感受到“數(shù)”的具體，并由此產(chǎn)生尋求更簡潔、更概括的表示方法的心理需求。這為“字母表示數(shù)”的引出奠定了積極而充分的情感基礎(chǔ)。這個(gè)過程既是新知識的學(xué)習(xí)過程，更是學(xué)生由原有的算術(shù)思維水平不斷向代數(shù)思維水平邁進(jìn)的過程。孩子們在一句句誦讀兒歌的過程中，完成了思維水平的提升，完成了從數(shù)的具體到字母抽象的過渡。 從數(shù)字運(yùn)算到字母運(yùn)算。在此過程中，教師要緊緊把握好符號意識。

絕大多數(shù)學(xué)生，經(jīng)歷認(rèn)識上的這個(gè)過渡時(shí)，都不會(huì)自然而然、簡簡單單就完成的。需要教師精心地設(shè)計(jì)活動(dòng)，讓每個(gè)學(xué)生都有機(jī)會(huì)經(jīng)歷，有機(jī)會(huì)感悟，才可能慢慢地完成從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡。

的確，小學(xué)生在相當(dāng)長的時(shí)間里是以算術(shù)思維為主的，但伴隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維是每一個(gè)學(xué)生必須面對的。這個(gè)飛躍對于大多數(shù)學(xué)生而言都會(huì)存在不同程度的困難，都將是一次挑戰(zhàn)。這個(gè)過渡是個(gè)過程，而且這個(gè)過程的長短對不同的學(xué)生而言也會(huì)存在差異，教師在教學(xué)中首先應(yīng)重視對學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)。應(yīng)對不同的學(xué)生給予不同的關(guān)注和輔導(dǎo)，允許一部分學(xué)生在經(jīng)歷一段時(shí)間的學(xué)習(xí)和積累漸漸達(dá)到要求，完成過渡。與此同時(shí)，教師還應(yīng)著眼于學(xué)生的發(fā)展，整體把握目標(biāo)的達(dá)成。也就是說，“字母表示數(shù)”及“方程”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是在第二學(xué)段高年級出現(xiàn)的，但對學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)，不一定也不應(yīng)該等到這個(gè)時(shí)候才開始。在前面的很多內(nèi)容教學(xué)中應(yīng)該有意識地孕伏，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)在不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)中“找感覺”，積累經(jīng)驗(yàn)，不斷地為完成好認(rèn)識上的重要飛躍打基礎(chǔ)。

3．在低、中年級孕伏代數(shù)思維

這是北京小學(xué)杜雪飛老師執(zhí)教的“找算式中的數(shù)朋友”一課。這是二年級“表內(nèi)除法”單元中的練習(xí)課，源于對教材中的一道練習(xí)題。

既然學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡需要孕伏，那么這樣的孕伏就不能，也不應(yīng)該僅僅是高年級老師的教學(xué)任務(wù)。各年段的教師都應(yīng)該善于捕捉恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，善于尋找恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞?，及時(shí)訓(xùn)練代數(shù)思維，讓學(xué)生在活動(dòng)中有所感，有所悟。本課內(nèi)容的開發(fā)，便抓住了學(xué)生認(rèn)知中的這個(gè)困難點(diǎn)，通過一系列活動(dòng)使之變得形象，易于學(xué)生接受。

可以說，在相當(dāng)長的時(shí)間里，對于很多學(xué)生而言“ = ”更像一個(gè)從左向右的單方向箭頭（ ），因?yàn)樗闶娇偸窍戎罃?shù)據(jù)和符號，通過運(yùn)算得出結(jié)果。今天這節(jié)練習(xí)課中，杜老師將為學(xué)生們創(chuàng)造“倒著想”的機(jī)會(huì)，把“逆向”思考作為突破口，讓“ = ”在孩子們的頭腦中變成“雙向”的。這是對等式左右兩邊“相等”關(guān)系的更深入的理解，同時(shí)也是孩子們邁向代數(shù)思維的重要啟蒙。這是教師在低年級教學(xué)中為學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展奠定基礎(chǔ)的有益嘗試。

長期以來，在小學(xué)階段教學(xué)簡易方程，方程變形即解方程的主要依據(jù)是四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系。而新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下的教材中更強(qiáng)調(diào)了“等式性質(zhì)”的教學(xué)，這樣設(shè)計(jì)的意義又是什么呢？

這是一個(gè)老師們普遍存在的問題。其實(shí)，如果僅以“解方程”為目標(biāo)的話，也能用四則運(yùn)算各部分關(guān)系及等式性質(zhì)都是可以的，也就是都能夠讓學(xué)生順利地找到方程的解，進(jìn)而解決實(shí)際問題。但運(yùn)用四則運(yùn)算各部分關(guān)系的思路實(shí)際上是用算術(shù)思路求未知數(shù)。這樣的教學(xué)利用了學(xué)生已有的知識，因而易于理解，但是卻不易與中學(xué)的教學(xué)銜接，也不易于學(xué)生更好地代數(shù)思維的形成。根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，從小學(xué)起就引入等式的基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法。不僅有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，而且有利于學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展，為今后學(xué)生更好地把握方程的實(shí)質(zhì)奠定基礎(chǔ)?？偟膩碚f，在小學(xué)階段，只要達(dá)到能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如 3x+2 ＝ 5 ， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用，了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。并在這個(gè)過程中，了解等量關(guān)系、方程、等式與方程的解等與方程有關(guān)的常識，以及解簡單方程的方法。對于方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量關(guān)系，溝通已知數(shù)和未知數(shù)的一種數(shù)學(xué)模型提供了一些素材，留下了初步的印象；進(jìn)而通過解方程求得未知數(shù)的值，對實(shí)際問題做出合理解答，初步領(lǐng)會(huì)方程的意義。

在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師首先要把握好內(nèi)容的定位，正確理解它的意義。不能僅僅把“方程”當(dāng)作知識點(diǎn)，把“解方程”和“列方程解決問題”當(dāng)作技能，僅為達(dá)成知識目標(biāo)，心中要裝著學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的長遠(yuǎn)發(fā)展，以不同的形式、在不同的年段為學(xué)生代數(shù)思維的建立創(chuàng)造空間，以豐富而有層次的活動(dòng)幫助學(xué)生順利地完成認(rèn)識上的飛躍?？傊褪墙處煹男闹幸b著“知識技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”和“情感態(tài)度”四維目標(biāo)。

二、 在正、反比例教學(xué)中體現(xiàn)函數(shù)思想

在六年級的教學(xué)內(nèi)容中正比例和反比例一直是一個(gè)重要的內(nèi)容，這部分內(nèi)容同樣肩負(fù)了幫助學(xué)生完成一次認(rèn)識上飛躍的重要任務(wù)。學(xué)生將從大量對“常量”的認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)中逐步過渡到認(rèn)識“變量”，這是函數(shù)思想滲透的重要契機(jī)。

1．正、反比例教學(xué)的目標(biāo)

在課標(biāo)中，對這部分內(nèi)容的要求是：

  在實(shí)際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。

  通過具體情境，認(rèn)識成正比例的量和成反比例的量。

  會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值。

  能找出生活中成正比例和成反比例關(guān)系量的實(shí)例，并進(jìn)行交流。

從“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的發(fā)展來看，本質(zhì)上可以從兩個(gè)角度理解：第一，從數(shù)的擴(kuò)充角度，從常量到變量；第二，從關(guān)系的角度，從數(shù)量關(guān)系到等量、不等、變化關(guān)系。

2. 在教學(xué)中滲透函數(shù)思想

在有關(guān)正反比例的教學(xué)中，我們常說要滲透函數(shù)思想，但“函數(shù)”并不是小學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，那在小學(xué)學(xué)習(xí)正比例和反比例的價(jià)值是什么呢？

函數(shù)是一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)模型，在分析和解決一些實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一，本標(biāo)準(zhǔn)在三個(gè)學(xué)段中均安排了與函數(shù)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容目標(biāo)，希望學(xué)生能夠逐漸加深對函數(shù)的理解。因此，教材對函數(shù)內(nèi)容的編排應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的原則，分階段逐漸深化。

在第二學(xué)段中，引入正比例與反比例，它們 是一類常用的數(shù)量關(guān)系，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)是函數(shù)思想在小學(xué)的體現(xiàn)。

在現(xiàn)實(shí)中，有許多數(shù)量關(guān)系可以表示為成正比例的量和成反比例的量，其本質(zhì)是兩個(gè)量按一定的比例關(guān)系發(fā)生變化。

如果一個(gè)量增加（減少），另一個(gè)量按一定的比例增加（減少），兩個(gè)量是成正比例的量；如果一個(gè)量增加（減少），另一個(gè)量按一定的比例減少（增加），兩個(gè)量是成反比例的量、如果分別用 X 和 Y 表示兩個(gè)量，前者可以表示成 Y=aX(a>0); 后者可以表示成 Y=a/X ，或 XY=a(a>0) 。

正比例和反比例的關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，小學(xué)階段并不出現(xiàn)函數(shù)的概念，但要讓學(xué)生感知兩個(gè)量之間的關(guān)系。一是使學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識和理解更加豐富，二是為第三學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，以及學(xué)習(xí)一般的函數(shù)知識做準(zhǔn)備。教學(xué)中應(yīng)與實(shí)際情境緊密聯(lián)系，用學(xué)生可以理解的具體的方式呈現(xiàn)這些內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度，以及兩個(gè)量之間變化的規(guī)律的角度來理解并掌握這個(gè)內(nèi)容。

3．圖像在正、反比例教學(xué)中的價(jià)值

學(xué)生對“正反比例”的學(xué)習(xí)，就是從簡單的數(shù)量關(guān)系過渡到對“變化關(guān)系”的認(rèn)識和學(xué)習(xí)。與以往的教材和教學(xué)要求相比，在方格紙上畫圖是個(gè)新的要求，教材中也出現(xiàn)了“正比例”及“反比例”的圖像，它的價(jià)值是什么？教師該如何發(fā)揮好“圖像”的作用，更好地體現(xiàn)和滲透函數(shù)思想呢？

下面結(jié)合具體的案例來回答這個(gè)問題。北京實(shí)驗(yàn)一小 郭雯硯 老師執(zhí)教的《成正比例的量》，這節(jié)課上 郭 老師緊緊抓住了“圖像”作為幫助學(xué)生認(rèn)識和理解正比例的重要素材。

郭老師在學(xué)生根據(jù)表格、算式等熟悉的方式表示出正比例關(guān)系之后，教師地引出了“圖像”，把它作為新朋友非常隆重介紹給了學(xué)生。讓學(xué)生通過初步的猜想和分析，對圖像有初步的感知，為后面深入而細(xì)致的探究奠定了基礎(chǔ)。

的確，正比例教學(xué)是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟蒙階段；圖像教學(xué)能夠直觀地呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，使學(xué)生加深對正比例意義的理解。通過此課的教學(xué)，可以滲透函數(shù)思想，促進(jìn)中小銜接，能夠?yàn)閷W(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

因?yàn)閷W(xué)生有折線統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，描點(diǎn)連線對學(xué)生而言并不困難，可以自然地遷移。因此，在課堂上讓學(xué)生認(rèn)識正比例圖像是有認(rèn)知基礎(chǔ)的。但同時(shí)也會(huì)存在困難，例如，該不該從 0 開始畫呢？這個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)正比例圖像是普遍存在的問題，這個(gè)問題對于學(xué)生理解正比例有怎樣的意義呢？讓我們帶著這個(gè)問題看看當(dāng)時(shí)課堂上的情況吧。

可以看出，課堂上 雖然學(xué)生能畫出圖像，但他們大都是依據(jù)畫折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，這其實(shí)是錯(cuò)誤的。在教學(xué)中， 郭 老師及時(shí)抓住了學(xué)生生成的問題，逐步進(jìn)行深入的剖析，使學(xué)生明確這條直線是由無數(shù)個(gè)處在同一條直線上的點(diǎn)形成的。

從剛才的教學(xué)片段來看， 學(xué)生在探究的過程中，雖然會(huì)描點(diǎn)連線，甚至能找到變化規(guī)律，但是并沒能夠順利地有在圖像、表格和規(guī)律之間建立有機(jī)的聯(lián)系。對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識還是比較孤立，比較靜止的，缺乏運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)和變量的意識。這正是函數(shù)的核心所在，是引導(dǎo)學(xué)生深入理解正比例關(guān)系的要害所在，也正是發(fā)揮 “圖像”作用的重要契機(jī)。課堂上，郭老師準(zhǔn)確而巧妙地捕捉到了這一點(diǎn)，借助直觀的課件，幫助學(xué)生進(jìn)一步展開了分析，對圖像的補(bǔ)充過程，恰恰是學(xué)生對正比例關(guān)系認(rèn)識的完善過程。

函數(shù)有三種數(shù)學(xué)表示方法：表格、關(guān)系式和圖像，這就是人們通常所說的函數(shù)的多重表示。多重表示的方法不僅可以加強(qiáng)概念的理解，也是解決問題的重要策略。圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，函數(shù)關(guān)系用圖像來表示，以其直觀性有著其他表示方式所不能替代的作用，它是“看見”兩種量之間的關(guān)系和變化情況的途徑之一。學(xué)生在現(xiàn)階段學(xué)習(xí)正比例圖像，是十分困難的，這是他們第一次接觸函數(shù)圖像。在學(xué)習(xí)的過程中，重在讓學(xué)生認(rèn)識圖像，感受圖像的作用、價(jià)值和美，為將來繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)和圖像做好心理準(zhǔn)備。

看來在課堂上發(fā)揮好“圖像”的作用，可以有效地幫助學(xué)生更加深入地理解概念，感受變化關(guān)系，悄然地就實(shí)現(xiàn)了對函數(shù)思想的感悟。這一觀點(diǎn)，在郭老師設(shè)計(jì)的這節(jié)課后面的練習(xí)中仍有很好的體現(xiàn)。

這幅圖像反應(yīng)的是我們學(xué)校給住宿的同學(xué)買蘋果的情況。給出數(shù)據(jù)和具體的情境。

給出數(shù)據(jù)后，你又能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些信息？（ 12 千克蘋果 48 元。）

你怎么看出來的？

生 1 ：從橫軸上找到 12 千克 ，向上找到直線上對應(yīng)的點(diǎn)，再向左找到縱軸上的值。

生 2 ：還能看出 40 元可以買 10 千克 蘋果。

生 3 ：還有每千克蘋果 4 元。

學(xué)校又買來一些香蕉，哪個(gè)更貴呢？

學(xué)生覺得兩幅圖像分開畫不太容易觀察，利用電腦把兩個(gè)圖像合在一起。

這時(shí)，學(xué)生都認(rèn)為香蕉更貴，表示香蕉購買情況的這條直線更陡一些。

為什么直線越陡，價(jià)格就越貴？

生 1 ：同樣的數(shù)量，比如都是 6 千克 ，從橫軸上 6 千克 的位置向上看，香蕉的黃線在蘋果的上面，說明香蕉的總價(jià)比蘋果的多，所以香蕉更貴。

生 2 ：同樣的總價(jià)，比如都是 40 元，向右看可以買 10 千克 香蕉或 12 千克 蘋果，買的蘋果比香蕉多，所以香蕉比蘋果貴。

如果還買了一些橙子，我們已經(jīng)知道橙子的價(jià)格比蘋果還貴，你覺得這條直線應(yīng)該畫在哪里？ ( 畫在香蕉的上面。 )

由此可以看出，圖像已經(jīng)成為了學(xué)生分析變化關(guān)系，理解變化關(guān)系，呈現(xiàn)變化關(guān)系的重要工具了。的確，圖像讓抽象的變化關(guān)系變得直觀，變得讓學(xué)生有更容易有“感覺”了。

這是學(xué)生第一次接觸函數(shù)圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的。教師應(yīng)在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，大膽地為學(xué)生設(shè)計(jì)猜想、探究、實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證的活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)將已有的舊知識與新形式建立聯(lián)系，在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認(rèn)識，讓零散的連起來，讓靜止的動(dòng)起來，讓具體數(shù)變得抽象起來，這個(gè)過程就是函數(shù)思想滲透的重要過程。

看來多維教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成離不開教師對數(shù)學(xué)核心概念有清晰的認(rèn)識和準(zhǔn)確的把握，這就需要教師對教學(xué)中每個(gè)內(nèi)容有深入的分析，挖掘其背后的價(jià)值，為學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展奠定重要的基礎(chǔ)。

三、問題解決：從解題到建模

對于應(yīng)用題教學(xué)，我們都熟悉它的結(jié)構(gòu)、類型以及解題思路、方法等。新課標(biāo)把“應(yīng)用題”改為“解決問題”，現(xiàn)在又改為“問題解決”， 這不僅僅是名稱上的變化， 更為重要的是使應(yīng)用題教學(xué)的教育價(jià)值定位更加準(zhǔn)確，教育理念更加明確，課程體系更加寬泛，呈現(xiàn)形式更加靈活。

現(xiàn)在的“問題解決”和計(jì)算教學(xué)緊密融合；也不再單獨(dú)的安排一些單元，而是把問題解決貫穿到“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中；問題解決的呈現(xiàn)方式有了新的拓展：文字、圖表、圖文并茂、多余信息等。教材的這些變化給教師的教學(xué)實(shí)踐帶來了新的挑戰(zhàn)。

課標(biāo)關(guān)于“問題解決”的總體目標(biāo)：

  初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力。

  獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。

  學(xué)會(huì)與他人合作交流。

  初步形成評價(jià)與反思的意識。

具體到每一個(gè)學(xué)段，目標(biāo)有是什么呢？

第一學(xué)段問題解決

1．能在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡單的數(shù)學(xué)問題，并嘗試解決。

2．了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個(gè)問題可以有不同的解決方法。

3．體驗(yàn)與他人合作交流解決問題的過程。

4．嘗試回顧解決問題的過程 。

第二學(xué)段問題解決

1．嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用一些知識加以解決。

2．能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性。

3．經(jīng)歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程。

4．能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性。

在(標(biāo)準(zhǔn))提出的上述目標(biāo)中，發(fā)展應(yīng)用意識和形成解決問題的策略是重點(diǎn)。其中課標(biāo)修訂版一大變化就是“ 雙能”變成“四能”：由原來的分析問題能力和解決問題能力，變成了四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力。 提高學(xué)生解決問題的能力作為基本目標(biāo)；

第二就是幫助學(xué)生形成一些基本的策略，通過求解問題獲得更好的概念理解，包括促進(jìn)學(xué)生的交流，并能積極地從事數(shù)學(xué)證明等；

第三就是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。這也是問題解決的最高目標(biāo)；

第四反思也必不可少的環(huán)節(jié)之一；

過去在小學(xué)教學(xué)中，教師們非常重視“應(yīng)用題”的教學(xué)，目的是要通過培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題的能力。新課程改革以來，雖然應(yīng)用題不再成為獨(dú)立單元，反而是對解決問題能力的加強(qiáng)。

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將問題解決作為一個(gè)重要目標(biāo)，這是課程改革和發(fā)展的需要。

請吳老師說一說 問題解決與傳統(tǒng)“應(yīng)用題”的區(qū)別。

（一）問題解決與傳統(tǒng)“應(yīng)用題”的區(qū)別

1. 重視過程的教學(xué)：應(yīng)用題更多的強(qiáng)調(diào)盡快獲得答案；而問題解決是強(qiáng)調(diào)一個(gè)過程，就是尋求解決問題方式方法的過程。重視問題解決的過程，尋求問題解決的方法和策略比獲得一個(gè)結(jié)論本身來的更重要。

2．不僅僅依附一個(gè)知識點(diǎn)：應(yīng)用題往往是結(jié)合某一個(gè)具體的知識點(diǎn)，例如今天講加法，

就是加法應(yīng)用題，明天學(xué)乘法是乘法應(yīng)用題，原來的應(yīng)用題常常是依附在某一個(gè)知識點(diǎn)的背景下；而問題解決是強(qiáng)調(diào)針對具體的一個(gè)真實(shí)的情景，它更多的強(qiáng)調(diào)綜合解決問題的過程。例如今天講完加法后，問題解決的情景它可能不局限于用加法，也不局限于用減法，它要調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識來解決問題。它是不僅僅依附于某一個(gè)知識點(diǎn)的。

3．具體問題具體分析：應(yīng)用題教學(xué)把應(yīng)用題歸成類，集中一類問題進(jìn)行思考，強(qiáng)調(diào)速度和技巧；而問題解決強(qiáng)調(diào)的是具體問題具體分析，換句話說就是在一種新的情境中如何運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，使問題更具挑戰(zhàn)性，可能一個(gè)問題跟著一個(gè)問題。它更具有挑戰(zhàn)性，更具有新意。

4．問題的開放性和多元性：應(yīng)用問題強(qiáng)調(diào)廣泛性，即從生活中來、從兒童已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、從現(xiàn)在的科技、社會(huì)發(fā)展的過程中發(fā)現(xiàn)問題和提煉問題。問題本身的開放性和多元性也是其很重要一個(gè)特征。

（二）解決生活情景具體與數(shù)量關(guān)系抽象之間的矛盾

數(shù)學(xué)問題解決，指的是按照一定的思維對策進(jìn)行的一個(gè)思維過程，一步一步地接近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。也就是說，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的解決問題，不只是關(guān)心問題的結(jié)果，更重要的是關(guān)心求得結(jié)果的過程——探索、思考解決數(shù)學(xué)問題的過程，一般說來，是一個(gè)較為復(fù)雜。艱苦的歷程。學(xué)生除需要運(yùn)用抽象、歸納、類比。演繹等邏輯形式外，還需要運(yùn)用直覺、靈感或頓悟等非邏輯形式。

問題解決的過程

要能夠把握“問題解決”的問題，要準(zhǔn)確迅速地把握問題的關(guān)鍵，揭示問題的本質(zhì)屬性，搞清問題的求解目標(biāo)和已知條件、未知條件，是問題解決的第一步。

問題解決的第二步是設(shè)計(jì)求解計(jì)劃，這要求大量的分析綜合，嘗試與猜測、類比與聯(lián)想，問題解決的最后一步，就是對所得結(jié)果作檢驗(yàn)和回顧。

小結(jié)：理解題意 ( 分析數(shù)量關(guān)系 )------ 求解作答——檢驗(yàn)反思

在日常教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)有些孩子自己獨(dú)立讀題就不會(huì)做，老師或家長給讀完題后，就能順利解題了。我感覺學(xué)生在做應(yīng)用問題時(shí)最大的困難是讀不懂題意。吳老師您能不能給我們說說怎樣幫助學(xué)生讀懂題？

對于解決問題，學(xué)生的困難，一是讀懂題，二是分析數(shù)量關(guān)系。

1. 如何讀懂題意

怎樣是讀題，我們可以采用如下方法：

一遍讀，搞清楚是什么事；盤點(diǎn)數(shù)學(xué)信息，從題中獲得哪些數(shù)學(xué)信息？（力求不遺漏）

二遍讀，進(jìn)行篩選，捕捉有用的數(shù)學(xué)信息，誰和誰有關(guān)系，有什么關(guān)系。（力求無偏差）

三遍讀，告訴我們解決什么問題。讓學(xué)生梳理“有用信息”及“目標(biāo)問題”，進(jìn)一步明確解題指向。這樣只有我們讀懂了題，才能更好地進(jìn)行解決問題。

怎樣幫助學(xué)生讀懂題

·手勢理解。

·情景再現(xiàn)。

·邊讀題邊記錄。畫批的方法，給思維以方向，給思維以范圍。

·抽象出問題的骨架，可以是畫出圖表示關(guān)系。

·從數(shù)學(xué)的角度觀察、思考，提取數(shù)量關(guān)系，提出并解答數(shù)學(xué)問題。

2. 分析數(shù)量關(guān)系

我們要重視對運(yùn)算意義的教學(xué)。加、減、乘、除運(yùn)算的意義是核心概念，要讓學(xué)生積累原型，在什么時(shí)候用加、減、乘、除運(yùn)算。

  積累數(shù)學(xué)原型

加法可以作為合并、移入、增加、繼續(xù)往前數(shù)等的模型；

減法可以作為剩余、比較、往回?cái)?shù)、減少或加法逆運(yùn)算等的模型；

乘法可以作為相等的數(shù)的和、面積計(jì)算、倍數(shù)、組合等的模型；

除法可以作為平均分配、比率或乘法逆運(yùn)算等的模型。

除此之外，還要 在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價(jià) = 單價(jià)×數(shù)量、路程 = 速度×?xí)r間，并能解決簡單的實(shí)際問題。

注重對數(shù)量關(guān)系的分析。

在解決具體問題時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)際操作、思考討論，尋找問題中所隱含的數(shù)量關(guān)系，強(qiáng)調(diào)對問題實(shí)際意義和數(shù)學(xué)意義的真正理解。例如，教師要鼓勵(lì)學(xué)生首先看懂問題情境，用自己的語言或者熟悉的符號表達(dá)問題情境和需要解決的問題；根據(jù)所求的問題和情境中的條件，運(yùn)用圖、表格等多種形式分析數(shù)量關(guān)系；回憶所學(xué)運(yùn)算及其他內(nèi)容的數(shù)學(xué)意義，將數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來，這就是 關(guān)注題目的大邏輯 ：

如：三年級植樹 20 棵，六年級植樹的棵樹是三年級的 3 倍，三年級和六年級一共植樹多少棵？

此題的大邏輯：三年級種的棵樹＋六年級種的棵樹 = 總數(shù)

小桶裝水 8 千克，大桶裝水的質(zhì)量比小桶多 5 千克， 4 個(gè)大桶可以裝水多少千克？

此題的大邏輯：一個(gè)大桶的質(zhì)量× 4= 總質(zhì)量

還可以讓學(xué)生畫枝形圖：從條件入手畫枝形圖，表示題中的數(shù)量關(guān)系，這就是用綜合法來分析題中的信息。

也可以從結(jié)論入手畫枝形圖，表示題中的數(shù)量關(guān)系，這就是用分析法來詮釋題中的數(shù)量之間的關(guān)系。

看來分析數(shù)量關(guān)系的方法：從條件入手、從問題入手這些分析方法該告訴學(xué)生還得告訴學(xué)生，那什么從問題解決情景中逐步抽象出模型呢？

從眾多情景中抽象出模型

建立數(shù)學(xué)模型；向別人解釋自己所列模型的實(shí)際意義。在學(xué)習(xí)了一段時(shí)間后，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)一些數(shù)學(xué)模型的典型實(shí)例。

一輛客車 3 小時(shí)行 270 千米，照這樣計(jì)算， 6 小時(shí)行多少千米？

3 瓶飲料花 27 元， 5 瓶這樣的飲料花多少元？

王師傅 2 小時(shí)生成 18 個(gè)機(jī)器零件，照這樣計(jì)算， 9 小時(shí)可以生產(chǎn)多少個(gè)機(jī)器零件？

這三道題全部是歸一問題，傳統(tǒng)的基于題型的訓(xùn)練也是建模；為什么這樣說呢？

一是從眾多例證中抽取共性的東西：都是先求單一量，這一步是中間問題，也是解決問題的關(guān)鍵所在；二是在選取素材時(shí)選取了基本的數(shù)量關(guān)系：如速度×?xí)r間 = 路程；單價(jià)×數(shù)量 = 總價(jià)；補(bǔ)充了工作效率×工作時(shí)間 = 工作總量。這就是建立模型的過程。

教學(xué)中也有一些老師經(jīng)常問這樣的問題：實(shí)際問題解決之后，用不用給學(xué)生總結(jié)歸納基本的數(shù)量關(guān)系：每份數(shù)×份數(shù) = 總數(shù)，單價(jià)×數(shù)量 = 總價(jià)……似乎老師給總結(jié)了就有灌輸?shù)南右伞?

其實(shí)，這些基本的數(shù)量關(guān)系在學(xué)生充分感悟的基礎(chǔ)上，需要教師總結(jié)提煉，這也是抽象概括的過程。學(xué)生可以運(yùn)用這幾個(gè)基本的數(shù)量關(guān)系去解決其它類似的問題。當(dāng)然不要過早地揭示，更不能強(qiáng)加給學(xué)生。

從模型出發(fā)引發(fā)新的問題情景

像“植樹問題”在新課標(biāo)教材中，不論哪個(gè)版本都有涉及。植樹問題分三種情況：

第一種是兩端種樹，第二種是一端種樹，第三種是兩端都不種。

在四年級的一次調(diào)研測試時(shí)，有幾道題目從不同角度詮釋了植樹問題：

（ 1 ）小明早晨去學(xué)校時(shí)，氣溫是零下 3 ℃， 中午休息時(shí)，氣溫是 5 ℃。那么氣溫上升了 ( ) ℃。

這是屬于一端種樹的問題，學(xué)生可以根據(jù)直觀圖數(shù)段數(shù)，也可以進(jìn)行計(jì)算。

(2) 從 20 數(shù)到 50 ，兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，一共數(shù)（ ）次。

這是一年級學(xué)過的 100 以內(nèi)數(shù)的數(shù)數(shù)問題，到了四年級呈現(xiàn)此題時(shí)，目的時(shí)讓學(xué)生不斷把學(xué)過的知識進(jìn)行分類、歸類和建構(gòu)。這道題就是四年級學(xué)過的植樹問題，兩端都種的情況。

換成解決問題的題目：一條 30 米長的路，每 2 米栽 1 棵月季花，從頭到尾一共栽多少棵？這就是模型思想。需要教學(xué)中經(jīng)常變化情景，做到變中抓不變。

什么是“好”的問題？

對于教材編寫和教學(xué)，一個(gè)首要的方面是提出“好”的問題。對于“好”的標(biāo)準(zhǔn)也許并不統(tǒng)一，這里只是談一談我們的思考?！昂谩钡膯栴}絕不等同于簡單的練習(xí)，解決問題也決不能簡單地理解為在一般的公式中對某個(gè)參數(shù)賦以具體的數(shù)值，也不能僅僅理解為會(huì)解決一些“人造”的問題。當(dāng)然，知識的簡單應(yīng)用是必要的，但不能僅僅停留于此，而是應(yīng)努力使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中“抽取”數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化過程，以及把數(shù)學(xué)模型放到現(xiàn)實(shí)中加以使用的過程。

在內(nèi)容上，它的內(nèi)容更具有現(xiàn)實(shí)性，更貼近孩子生活實(shí)際，從形式方面新穎活潑，從單一的文字形式到了圖文并茂的形式；

從思維價(jià)值上看更具有挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生在解決這個(gè)問題的過程當(dāng)中就獲得了思維的發(fā)展，換一句話說就是要用數(shù)學(xué)本身的魅力來吸引學(xué)生；

從趣味性層面看要能夠激發(fā)孩子的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望。

概括起來說，一個(gè)好問題具有以下四個(gè)特點(diǎn)：

（1）具有較強(qiáng)的探究性（或創(chuàng)造精神）

（2）具有一定的啟發(fā)性和發(fā)展空間

（3）具有一定的開放性

（4）具有給定信息的現(xiàn)實(shí)性和簡易性

四、教學(xué)中凸顯問題解決的策略

問題解決活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更多的是學(xué)生在問題解決過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些問題解決的基本策略，體驗(yàn)問題解決策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己解決問題的某些策略。

下面我們就來介紹幾種常用的解題問題的策略。

1．畫圖的策略。

把畫圖作為一種解決問題的策略。由于孩子年齡的局限，他們對符號、運(yùn)算性質(zhì)的推理可能會(huì)發(fā)生一些困難，如果適時(shí)的。讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學(xué)生解決問題的思路，幫助他們找到解決問題的關(guān)鍵。因此我們認(rèn)為，畫圖應(yīng)該是孩子們掌握的一種基本的解決問題的策略。為什么說畫圖很重要呢？主要是比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，把一些復(fù)雜的問題簡單化。下面我們來介紹幾種常用的畫圖的方法。

畫圖包括畫線段圖、 樹圖 、 集合圖 、 示意圖

除了剛才介紹的幾種圖以外，孩子們有的時(shí)候是沒有任何框框的，他們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，自己的思維的特點(diǎn)，可能畫出一些讓我們老師意想不到的、他所明白的一些圖。就是孩子們在解決問題的過程中，自己畫的圖。因此我們特別提出來，作為教師要尊重孩子們，特別是當(dāng)孩子們的示意圖畫出來的時(shí)候，可能是非常的嫩稚的，可能是非常不成熟的，但是我們要很好地、認(rèn)真地去挖掘他的思維價(jià)值，保護(hù)孩子們創(chuàng)造的積極性。

多樣化方法的呈現(xiàn)，讓學(xué)生的交流成為可能，實(shí)現(xiàn)了 “經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達(dá)自己的想法。” 這樣的課程目標(biāo)。

鼓勵(lì)學(xué)生畫圖分析問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生的畫圖意識。尤其是學(xué)生自己畫的富有個(gè)性的示意圖，是學(xué)生認(rèn)知風(fēng)格的具體體現(xiàn)。

畫圖，不僅讓學(xué)生思維外顯，而且讓教師了解學(xué)生的思維水平，為學(xué)生間的相互交流提供了有力的支撐；畫圖在具體形象和抽象數(shù)量關(guān)系之間架起了橋梁。

2．列表嘗試

列表的策略，有時(shí)候我們也叫列舉信息的策略。在解決問題的過程當(dāng)中，我們將問題的條件信息用表格的形式把它列舉出來，往往能對表征問題和尋求問題解決的方法，起到事半功倍的效果。

嘗試的策略，簡單的說就是不知道該從哪開始的時(shí)候，可以先猜一猜來進(jìn)行嘗試。但是猜測的結(jié)果，應(yīng)該是比較合理的，并且要把猜測的結(jié)果，放到問題中去進(jìn)行調(diào)整。

多數(shù)情況下這兩種策略同時(shí)使用?！峨u兔同籠》問題也是運(yùn)用列表的方法，在嘗試與調(diào)整中逐步逼近正確答案。

問題與策略之間不應(yīng)該是一一對應(yīng)的，解決同一個(gè)問題應(yīng)該有多種策略，一種策略也應(yīng)該能解決多種問題。

3．模擬操作。

模擬操作是通過探索性的動(dòng)手操作活動(dòng)，來模擬問題情境，從而獲得問題解決的一種策略。學(xué)生是通過自己探索的過程，將需要解決的問題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的問題來進(jìn)行推導(dǎo)性的研究。通過這種開發(fā)性的操作的策略的訓(xùn)練，不僅能夠使學(xué)生獲得問題的解決，而且在這個(gè)過程當(dāng)中，也能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

如：甲乙兩地相距 360千米 客車和貨車同時(shí)從甲開出?？蛙嚸啃r(shí)行 60千米 ，貨車每小時(shí)行 40千米 ，客車到達(dá)甲地后立刻返回，幾小時(shí)與乙相遇？

用手勢進(jìn)行模擬；或動(dòng)作模擬。學(xué)生明白做的路程是2個(gè) 360千米 ；

4. 逆推

逆推也叫還原，就是說從反面去思考，從問題的結(jié)果一步一步地反面去思考。在解決某一個(gè)問題的過程當(dāng)中，當(dāng)你從正面進(jìn)行思考遇到了阻礙，碰到困難的時(shí)候，可以換個(gè)思路從相反的方向，即從問題的結(jié)果一步一步的往前推。

小結(jié)解決問題的策略：

“列表”； “ 假設(shè)” ；“猜想嘗試”； “模擬操作”；“畫圖”； “逆推”；“簡化”等都是學(xué)生常用的解決問題的策略。

問題解決的建議：

1．理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)分析數(shù)量關(guān)系。

2．注重恰當(dāng)選擇解決問題的策略。

3．鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題提出問題的意識，提高學(xué)生問題解決的能力。

4．反思問題解決的過程及策略，逐步形成評價(jià)與反思的意識。

5. 嘗試用方程的方法解決實(shí)際問題。

義務(wù)教育階段，通過解決問題，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)思考與交流的能力，而不是將學(xué)生培養(yǎng)成解決問題的專家。特別是要使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)本身是有用的，促使他們碰到問題能想一想是否可以用數(shù)學(xué)來解決。 在這樣的思想指導(dǎo)下的應(yīng)用問題的教與學(xué) , 學(xué)生學(xué)會(huì)了真正意義上的 “ 具體問題具體分析 ”, 學(xué)會(huì)了如何利用各種手段收集和處理問題中隱含的信息，學(xué)會(huì)了如何從問題中發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)了如何從多個(gè)角度思考問題，因而也就學(xué)會(huì)了“舉一反三”，獲得了初步分析問題、解決問題的能力。