參數(shù)法是指在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問(wèn)題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。

辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無(wú)窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。

參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問(wèn)題。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1. 設(shè)2 ＝3 ＝5 >1，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。

2. （理）直線 上與點(diǎn)A(-2,3)的距離等于 的點(diǎn)的坐標(biāo)是________。

   （文）若k<－1，則圓錐曲線x －ky ＝1的離心率是_________。

3. 點(diǎn)Z的虛軸上移動(dòng)，則復(fù)數(shù)C＝z ＋1＋2ｉ在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的軌跡圖像為____________________。

4. 三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。

5. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，則f(x)的R上是______函數(shù)。(填“增”或“減”)

6. 橢圓 ＋ ＝1上的點(diǎn)到直線x＋2y－ ＝0的最大距離是_____。

   A.  3       B.         C.        D.  2

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)2 ＝3 ＝5 ＝t，分別取2、3、5為底的對(duì)數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小題：（理）A(-2,3)為t＝0時(shí)，所求點(diǎn)為t＝± 時(shí)，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a＝1，c＝ ，所以e＝－ ；

3小題：設(shè)z＝bｉ，則C＝1－b ＋2ｉ，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；

4小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則 xy＝6、 yz＝4、 xz＝3,所以xyz＝24,體積為4。

5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；

6小題：設(shè)x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝ 的最大值，選C。

Ⅱ、示范性題組：

例1.   實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。

【解】由a＋b＋c＝1，設(shè)a＝ ＋t ，b＝ ＋t ，c＝ ＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0，

∴  a ＋b ＋c ＝（ ＋t ） ＋（ ＋t ） ＋( ＋t ) ＝ ＋ (t ＋t ＋t )＋t ＋t ＋t ＝ ＋t ＋t ＋t ≥

所以a ＋b ＋c 的最小值是 。

【注】由“均值換元法”引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡(jiǎn)化，是本題此種解法的一個(gè)技巧。

本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進(jìn)行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥ 。

兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。

例2.   橢圓 ＋ ＝1上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)。連OP、OQ，若k ·k ＝－  ，

 ①．求證：|OP| ＋|OQ| 等于定值；     ②.求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。

【分析】 由“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè) （橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ 、θ 為P、Q兩點(diǎn)，先計(jì)算k ·k 得出一個(gè)結(jié)論，再計(jì)算|OP| ＋|OQ| ，并運(yùn)用“參數(shù)法”求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消參而得。

【解】由 ＋ ＝1，設(shè) ，P(4cosθ ,2sinθ )，Q(4cosθ ,2sinθ ),

則k ·k ＝ ＝－ ，整理得到：

cosθ  cosθ ＋sinθ  sinθ ＝0,即cos（θ －θ ）＝0。

∴  |OP| ＋|OQ| ＝16cos θ ＋4sin θ ＋16cos θ ＋4sin θ ＝8＋12(cos θ ＋cos θ )＝20＋6（cos2θ ＋cos2θ )＝20＋12cos（θ ＋θ ）cos（θ －θ ）＝20，

即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，

所以有( ) ＋y ＝2＋2(cosθ  cosθ ＋sinθ  sinθ )＝2,

即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為 ＋ ＝1。

【注】由橢圓方程，聯(lián)想到a ＋b ＝1,于是進(jìn)行“三角換元”，通過(guò)換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問(wèn)題進(jìn)行研究。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cosθ ＋ cosθ ） ＋（sinθ ＋sinθ ） ，這是求點(diǎn)M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步。一般地，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程運(yùn)用“參數(shù)法”時(shí)，我們可以將點(diǎn)的x、y坐標(biāo)分別表示成為一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)，再運(yùn)用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。

本題的第一問(wèn)，另一種思路是設(shè)直線斜率k，解出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)再求：

設(shè)直線OP的斜率k，則OQ的斜率為－ ，由橢圓與直線OP、OQ相交于PQ兩點(diǎn)有：

，消y得(1＋4k )x ＝16,即|x |＝ ；

，消y得(1＋ )x ＝16，即|x |＝ ；

所以|OP| ＋|OQ| ＝( ) ＋（ ）

＝ ＝20。即|OP| ＋|OQ| 等于定值20。

在此解法中，利用了直線上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|＝ |x －x |求|OP|和|OQ|的長(zhǎng)。

例3.已知正四棱錐S—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=-cos β。

【分析】要證明cosα=-cos β，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解。

【解】連AC、BD交于O，連SO；取BC中點(diǎn)F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。

 設(shè)BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝ ＝ ,

SC＝ ＝

＝

又 ∵BE＝ ＝ ＝

在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝ ＝ ＝－cos β。

所以cosα＝－cos β。

【注】 設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個(gè)作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問(wèn)題。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.   已知復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1，則復(fù)數(shù)z＋2ｉ在復(fù)平面上表示的點(diǎn)的軌跡是________________。

2.   函數(shù)y＝x＋2＋ 的值域是________________。

3.   拋物線y＝x －10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin θ與x軸兩個(gè)交點(diǎn)距離的最大值為_____

A.  5      B.  10      C.  2      D.  3

4.   過(guò)點(diǎn)M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L ：x－3y＋10＝0及L ：2x＋y－8＝0所截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線L方程。

5.   求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。

6.   f(x)＝(1－ cos x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實(shí)數(shù)a的取值范圍。

7. 若關(guān)于x的方程2x ＋xlg ＋lg ( )＋lg ＝0有模為1的虛根，求實(shí)數(shù)a的值及方程的根。

8. 給定的拋物線y ＝2px  (p>0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點(diǎn)M，使得對(duì)于拋物線的任意一條過(guò)點(diǎn)M的弦PQ，有 ＋ 為定值。