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數(shù)學(xué)史進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的意義和影響
(一)數(shù)學(xué)史在新一輪中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位和意義 在課程改革前的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和教材中，數(shù)學(xué)史主要起兩方面作用：通過介紹中國古代數(shù)學(xué)成就進(jìn)行愛國主義教育；通過提供少量“花絮”提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 在新一輪中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)史首先被看作理解數(shù)學(xué)的一種途徑。 義務(wù)教育階段各科課程目標(biāo)都圍繞三個(gè)基本方面：知識與技能，過程與方法，態(tài)度情感價(jià)值觀，對于理科課程，還進(jìn)而包括理解科學(xué)、技術(shù)與社會之間的關(guān)系，嘗試科學(xué)教育與人文教育的融合。 數(shù)學(xué)史對于揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)來源和應(yīng)用，對于引導(dǎo)學(xué)生體會真正的數(shù)學(xué)思維過程，創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氣氛，對于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)探索精神，對于揭示數(shù)學(xué)在文化史和科學(xué)進(jìn)步史上的地位與影響進(jìn)而揭示其人文價(jià)值，都有重要意義。 附錄：《數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》構(gòu)思 本書通過多個(gè)側(cè)面和大量具體案例論述數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，為教師將數(shù)學(xué)史內(nèi)容用于實(shí)際教學(xué)提供直接的指導(dǎo)和幫助。 第一章 讀史使人明智——數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值 一、揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)來源和應(yīng)用 歷史往往揭示出數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)來源和應(yīng)用，從而可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在文化史和科學(xué)進(jìn)步史上的地位與影響，認(rèn)識到數(shù)學(xué)是一種生動的、基本的人類文化活動，進(jìn)而引導(dǎo)他們重視數(shù)學(xué)在當(dāng)代社會發(fā)展中的作用，并且關(guān)注數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)系。 二、理解數(shù)學(xué)思維 一般說來，歷史不僅可以給出一種確定的數(shù)學(xué)知識，還可以給出相應(yīng)知識的創(chuàng)造過程。對這種創(chuàng)造過程的了解，可以使學(xué)生體會到一種活的、真正的數(shù)學(xué)思維過程， 而不僅僅是教科書中那些千錘百煉、天衣無縫，同時(shí)也相對地失去了生氣與天然的、已經(jīng)被標(biāo)本化了的數(shù)學(xué)。從這個(gè)意義上說，歷史可以引導(dǎo)我們創(chuàng)造一種探索與研究的課堂氣氛，而不是單純地傳授知識。這既可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的探索精神，歷史上許多著名問題的提出與解決方法還十分有助于他們理解與掌握所學(xué)的內(nèi)容。 歷史的發(fā)展過程可以告訴我們， 在一個(gè)專題、一個(gè)概念或一個(gè)結(jié)果的發(fā)展中，哪些思想、方法代表著該內(nèi)容相對于以往內(nèi)容的實(shí)質(zhì)性進(jìn)步，從而更深刻地理解它。歷史還可以告訴我們在學(xué)習(xí)過程中可能發(fā)生的困難以及克服該困難的可能的途徑。 比較歷史上的不同時(shí)期、不同民族或地區(qū)對同類問題的不同處理方式，或同類方法的不同地位與應(yīng)用， 可以啟發(fā)學(xué)生的解題思路， 并從中比較優(yōu)劣， 體會到數(shù)學(xué)思維的真諦。 歷史可以為我們提供那些答案是“不可能”或“不存在”的問題， 而對這些問題的探索， 是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)極為重要的方面， 也是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的一個(gè)重要方面。 三、數(shù)學(xué)歷史名題的教育價(jià)值 對于那些需要通過重復(fù)訓(xùn)練才能達(dá)到的目標(biāo)，數(shù)學(xué)歷史名題可以使這種枯燥乏味的過程變得富有趣味和探索意義，從而極大地調(diào)動學(xué)生的積極性，提高他們的興趣。對于學(xué)生來說，歷史上的問題是真實(shí)的，因而更為有趣；歷史名題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)背景，或者揭示了實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法，這對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法都是重要的；許多歷史名題的提出與解決與大數(shù)學(xué)家有關(guān)，讓學(xué)生感到他本人正在探索一個(gè)曾經(jīng)被大數(shù)學(xué)家探索過的問題，或許這個(gè)問題還難住了許多有名的人物，學(xué)生會感到一種智力的挑戰(zhàn)，也會從學(xué)習(xí)中獲得成功的享受，這對于學(xué)生建立良好的情感體驗(yàn)無疑是十分重要的；最后，歷史名題往往可以提供生動的人文背景。 向?qū)W生展示歷史上的開放性的數(shù)學(xué)問題將使他們了解到，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)靜止的、已經(jīng)完成的領(lǐng)域，而是一個(gè)開放性的系統(tǒng)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)正是在猜想、證明、錯(cuò)誤中發(fā)展進(jìn)化的，數(shù)學(xué)進(jìn)步是對傳統(tǒng)觀念的革新，從而激發(fā)學(xué)生的非常規(guī)思維，使他們感受到，抓住恰當(dāng)?shù)?、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題將是激動人心的事情。 數(shù)學(xué)中有許多著名的反例，通常的教科書中很少會涉及它們。結(jié)合歷史介紹一些數(shù)學(xué)中的反例，可以從反面給學(xué)生以強(qiáng)烈的震撼，加深他們對相應(yīng)問題的理解。 四、榜樣的激勵作用 帕斯卡16歲成為射影幾何的奠基人之一，19歲發(fā)明原始計(jì)算器。牛頓22歲發(fā)現(xiàn)一般的二項(xiàng)式定理，23歲創(chuàng)立微積分學(xué)。高斯19歲解決正多邊形作圖的判定問題，20歲證明代數(shù)基本定理，24歲出版影響整個(gè)19世紀(jì)數(shù)論發(fā)展、至今仍相當(dāng)重要的《算術(shù)研究》。波爾約23歲提出非歐幾何學(xué)的基本思想。黎曼被認(rèn)為是有史以來最大的幾位幾何學(xué)家之一，他在25-28歲期間在數(shù)學(xué)的三四個(gè)領(lǐng)域連續(xù)做出了重要的開創(chuàng)性工作。阿貝爾22歲證明一般五次以上代數(shù)方程不存在求根公式。伽羅瓦創(chuàng)建群論的時(shí)候只有18歲，死時(shí)還不滿21歲。克萊因23歲發(fā)表“愛爾朗根綱要”，全面推動了幾何學(xué)的研究。哥德爾25歲發(fā)表震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界的“不完全性定理”。圖靈24歲發(fā)表論理想數(shù)的論文，提出了通用計(jì)算機(jī)的基本原理，從而成為理論計(jì)算機(jī)之父。法國的布爾巴基學(xué)派對20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極大影響，它的幾位主要創(chuàng)建者當(dāng)時(shí)年紀(jì)最大的也只有32歲。 19世紀(jì)的大幾何學(xué)家施泰納出身農(nóng)家自幼務(wù)農(nóng)，直到14歲還沒有學(xué)過寫字，18歲才正式開始讀書，后來靠作私人教師謀生，經(jīng)過艱苦努力，終于在30歲時(shí)在數(shù)學(xué)上做出重要工作，一舉成名。外爾斯特拉斯讀大學(xué)耽于玩樂，未能畢業(yè)，離開大學(xué)后才開始發(fā)憤努力，40歲獲得數(shù)學(xué)界承認(rèn)，50歲左右成為杰出的數(shù)學(xué)家，晚年被歐洲數(shù)學(xué)界公認(rèn)為“我們大家的老師”、“數(shù)學(xué)的良心”。 古希臘數(shù)學(xué)家阿那克薩戈拉晚年因自己的科學(xué)觀點(diǎn)觸怒權(quán)貴而被誣陷入獄面臨死刑的威脅，但他在牢房中還在研究化圓為方問題。阿基米德在敵人破城而入、生命處于危急關(guān)頭的時(shí)候仍然沉浸在數(shù)學(xué)研究之中，他的墓碑上沒有文字，只有一個(gè)漂亮的幾何構(gòu)圖，那是他發(fā)現(xiàn)并證明的一條幾何定理。為了讓天文學(xué)家從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，納皮爾發(fā)明了對數(shù)，而為了計(jì)算對數(shù)表他自己卻整整花費(fèi)了20年的時(shí)間。17世紀(jì)初，魯?shù)婪蚋F畢生精力將圓周率π的值計(jì)算到35位小數(shù)，并將其作為自己的墓志銘。大數(shù)學(xué)家歐拉31歲右眼失明，晚年視力極差最終雙目失明，但他仍以堅(jiān)韌的毅力保持了數(shù)學(xué)方面的高度創(chuàng)造力，以致由于他的論文多而且長，科學(xué)院不得不對論文篇幅做出限制，在他去世之后的10年內(nèi)，他的論文仍在科學(xué)院的院刊上持續(xù)發(fā)表。 數(shù)學(xué)家的墓碑與墓志銘。阿基米德：圓柱容球。雅格布·伯努利：對數(shù)螺線。高斯：墓前塑像底座為正17邊形。 這樣的一個(gè)名單可以開得更長，這些杰出數(shù)學(xué)家的故事對于今天的許多學(xué)生來說，無疑有著巨大的激勵作用。 許多大數(shù)學(xué)家在成長過程中遭遇過挫折，不少著名數(shù)學(xué)家都犯過今天看來相當(dāng)可笑的錯(cuò)誤，介紹一些大數(shù)學(xué)家是如何遭遇挫折和犯錯(cuò)誤的，不僅可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)方法上從反面獲得全新的體會（這往往能夠獲得比從正面講解更好的效果），而且知道大數(shù)學(xué)家也同樣會犯錯(cuò)誤、遭遇挫折，對學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過程中遇到的困難、樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心會產(chǎn)生重要的作用。數(shù)學(xué)思想形成中的曲折與艱辛以及那些偉大的探索者的失敗與成功還可以使學(xué)生體會到，數(shù)學(xué)既不僅僅是訓(xùn)練思維的體操，也不僅僅是科學(xué)研究的工具，它有著豐富得多的人文內(nèi)涵。 第二章 源頭活水——數(shù)學(xué)知識的來源和背景 一、問題的提出、解決與發(fā)展 例如：小學(xué)數(shù)學(xué)中的“盈虧問題”，現(xiàn)在已經(jīng)成了一個(gè)固定的套路，由于簡單地認(rèn)為它所處理的僅僅是含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程組，因而或者認(rèn)為毫無介紹的必要，或者直接用線性方程組求解。實(shí)際上，《九章算術(shù)》中的“盈不足”算法的本意在于，通過兩次試驗(yàn)，將當(dāng)時(shí)出現(xiàn)的各種復(fù)雜的線性問題以及非線性問題化為盈虧類問題，給出一種統(tǒng)一的處理方法，對于線性問題得到精確解，對于非線性問題得到近似解。書中處理的問題，有的是二次方程問題，有的本質(zhì)上是指數(shù)方程問題。 中國古代數(shù)學(xué)書《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)著名的問題“物不知數(shù)”，看似一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)游戲，實(shí)際上是對中國古代天文學(xué)中推求上元積年算法的一個(gè)概括，或者說是推算上元積年的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。 幾何三大難題是怎樣提出的，希臘人為什么要研究這樣的問題，這三個(gè)問題難在何處，它們的最終結(jié)果是什么。雖然在義務(wù)教育階段不可能將有關(guān)的數(shù)學(xué)方法和結(jié)果真正說清楚，但是，首先，對許多學(xué)生來說，這三大難題是有趣的；其次，這三個(gè)問題地提出與發(fā)展十分典型地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題與方法演進(jìn)的一般規(guī)律，這不僅對學(xué)生理解初等幾何有很大的啟發(fā)作用，而且可以從中體會更一般的數(shù)學(xué)思想方法，例如，從反面去思考問題，不可能性問題在數(shù)學(xué)中的意義等；第三，幾何三大難題及其相關(guān)問題與初等數(shù)學(xué)中相當(dāng)廣泛的內(nèi)容有關(guān)系；最后，許多業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者為求解這三個(gè)問題花費(fèi)了大量精力，卻不知道它們早在19世紀(jì)就被否定地解決了。 二、方法、重要結(jié)果及原理的建立、應(yīng)用與發(fā)展 例如：畢達(dá)哥拉斯定理是初等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常優(yōu)美而深刻的定理，又有著極為廣泛的應(yīng)用。兩千多年來，它激起了無數(shù)人對數(shù)學(xué)的興趣。1940年，美國數(shù)學(xué)家盧米斯（E.S.Loomis）在所著《畢達(dá)哥拉斯命題》藝術(shù)的第二版中收集了了它的370種證明并作了分類，充分展現(xiàn)了這個(gè)定理的無窮魅力。圍繞這個(gè)著名定理既有許多動人的故事，它的多種證明方法又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想與方法的生動材料。 黃金分割同樣十分優(yōu)美和充滿魅力。早在公元前6世紀(jì)它就為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所研究，歐幾里得在《幾何原本》中給出了一個(gè)十分精彩的證明。近代以來人們又驚訝地發(fā)現(xiàn)，它與著名的斐波那契數(shù)列有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系。 割圓術(shù)起源于公元前5世紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家對化圓為方問題的研究。它非常直觀而又十分深刻。由于直觀，任何人都可以自然地接受它和理解它，而其中蘊(yùn)含的思想與定積分是相通的，對于理解一般的面積體積度量問題也有明顯的幫助。 劉祖原理通稱祖暅公理，西方稱之為卡瓦列利原理。它是初等幾何中處理面積體積問題的一個(gè)關(guān)鍵性定理，其基本思想在《九章算術(shù)》終就有所體現(xiàn)，劉徽（公元263年）在許多場合用它解決問題，祖暅（6世紀(jì)）明確概括了它，這比意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（17世紀(jì)）的相應(yīng)工作早了至少1000年。從直觀意義上這個(gè)原理并不難理解，但其中的思想也是與定積分相通的。 這些結(jié)果對于開闊學(xué)生的眼界、啟發(fā)思維和為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)都是重要的，而把它們作為歷史上的著名工作來介紹，又會增添許多文化韻味并極大地激發(fā)學(xué)生的興趣，從而有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)建立良好的情感體驗(yàn)。 三、概念的提出與發(fā)展 通過對歷史的介紹可以使學(xué)生更好地體會到，數(shù)起源于“數(shù)”（shǔ），量起源于“量”（liáng），因此數(shù)和興都來源于現(xiàn)實(shí)世界。 希臘人為什么要引入素?cái)?shù)，沒有素?cái)?shù)會怎么樣？從古至今尋找大素?cái)?shù)的競賽以及人們?yōu)槭裁匆@樣做。 作為位值制記數(shù)法中表示空位記號的零。作為一個(gè)數(shù)的零是怎樣被引入的，其中有什么困難。印度人的相應(yīng)工作。 最初無理數(shù)是怎樣被發(fā)現(xiàn)的，它為什么會被稱為“無理數(shù)”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。 最初的一些長度單位是如何確定的。 既然記數(shù)是10進(jìn)的，在度量角度時(shí)我們?yōu)槭裁匆?0進(jìn)制？從巴比倫人的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)談起。 圓周率π的簡要?dú)v史 (方法，數(shù)值， 公式， 性質(zhì))，其中有許多動人的故事。 四、理論體系、數(shù)學(xué)分支的建立 例如：通常所說的算術(shù)，在中國至少可以追溯到甲骨文的時(shí)代，在巴比倫至少可以追溯到公元前1900年，在古埃及至少可以追溯到公元前1850年。初等數(shù)論（公元前5世紀(jì)）。歐幾里得幾何（約公元前300年），非歐幾何（19世紀(jì)）。代數(shù)學(xué)作為解方程的學(xué)問（9世紀(jì)）；近代意義上的代數(shù)學(xué)（16世紀(jì)，韋達(dá)）。三角學(xué)作為初等數(shù)學(xué)中的獨(dú)立分支（13世紀(jì)阿拉伯，15世紀(jì)歐洲）。 希臘歷史學(xué)家希羅多德認(rèn)為，埃及幾何學(xué)起源于尼羅河每年泛濫之后土地的重新丈量。這或許是真的，但他所敘述的事情發(fā)生在大約1300B.C.，這比兩部主要的埃及數(shù)學(xué)紙草書的年代晚了許多，因此在時(shí)間上肯定是有問題的。 第三章 奇思妙想哪里來——揭示數(shù)學(xué)思想方法 一、主要數(shù)學(xué)方法溯源 二、中學(xué)數(shù)學(xué)中典型方法的歷史背景 三、經(jīng)典案例分析 第四章 數(shù)學(xué)是美麗的——引導(dǎo)數(shù)學(xué)欣賞 一、嘗試欣賞數(shù)學(xué) 二、數(shù)學(xué)歷史名題欣賞 三、數(shù)學(xué)方法與思想欣賞 四、數(shù)學(xué)推理、模型與構(gòu)圖欣賞 五、數(shù)學(xué)精彩結(jié)果欣賞 六、數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)欣賞 七、數(shù)學(xué)理論體系欣賞 八、欣賞數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué) 第五章 追隨大師的腳步——介紹名家名作 一、中國古代名家名作 二、外國古代名家名作 三、近現(xiàn)代名家名作 第六章 站在巨人的肩上——數(shù)學(xué)史與新課程 一、關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)史內(nèi)容的要求 1. 在“教材編寫建議”中對數(shù)學(xué)史內(nèi)容提供較為充分的線索，使教材編寫者有較大的選擇余地。 2．在“總體目標(biāo)”中原則性地提出要求。 3．在“分學(xué)段目標(biāo)”中，數(shù)學(xué)史知識可以作為完成其他具體要求的一種手段和途徑。 二、數(shù)學(xué)史進(jìn)入課程的基本形式 新的教學(xué)內(nèi)容的引入部分；例題；習(xí)題；閱讀材料（分為“小資料”和“擴(kuò)展性閱讀材料”兩類）。 三、論數(shù)學(xué)史閱讀材料的作用 (二)對高中數(shù)學(xué)史選修課的一點(diǎn)看法 基于本文第一部分的考慮，高中數(shù)學(xué)史選修課應(yīng)該主要是一門數(shù)學(xué)課，而不是歷史課。它的目標(biāo)和重點(diǎn)應(yīng)該在很大程度上圍繞高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和重點(diǎn)，同時(shí)兼顧義務(wù)教育階段已經(jīng)涉及的一些重要數(shù)學(xué)內(nèi)容。 目前高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)文化的課程定位、具體要求乃至選題設(shè)計(jì)都是相當(dāng)?shù)轿坏摹?/font> 在知識性問題上不應(yīng)要求過高，重在突出數(shù)學(xué)思想方法，突出啟發(fā)性和引導(dǎo)性，激發(fā)學(xué)生的興趣和思考。 由于只有18課時(shí)，不可能系統(tǒng)講授。又由于這門選修課是為在數(shù)學(xué)方面具有一定實(shí)力和足夠興趣的學(xué)生開設(shè)的，因此在內(nèi)容選取上要精心考慮。教材要有足夠的引導(dǎo)性和相當(dāng)程度的開放性。為使課程有適當(dāng)?shù)娜萘?，適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展閱讀是非常必要的。 基于上述考慮，這門課相當(dāng)比例的內(nèi)容可能按照如下模式進(jìn)行教學(xué)： 提出問題——引導(dǎo)閱讀（課外）——討論交流——教師的概括與提升——進(jìn)一步的閱讀 這樣的課程，一方面對教師的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)史素養(yǎng)提出了較高的要求，另一方面也對配套的課程資源提出了要求，如教師參考用書，學(xué)生課外讀物，電子音像資料，多媒體教學(xué)課件等。 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)學(xué)文化”沒有獨(dú)立的模塊，需要滲透在其他模塊或?qū)ｎ}中，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合應(yīng)該是必要的，而且?guī)缀跏潜厝坏?。對此，課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)要求和選題上已經(jīng)有明確的考慮，例如，有一半左右的推薦選題與數(shù)學(xué)史有直接關(guān)系。但是，對于實(shí)際的教學(xué)，似乎有必要給出更進(jìn)一步的引導(dǎo)，使教師可以方便地實(shí)施。 附錄：課程標(biāo)準(zhǔn)原文 要求 1.數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能有機(jī)地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的作用，同時(shí)也反映社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用。 2.學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認(rèn)識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律；了解人類從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識客觀世界的過程；發(fā)展求知、求實(shí)、勇于探索的情感和態(tài)度；體會數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性、嚴(yán)密性、應(yīng)用的廣泛性，了解數(shù)學(xué)真理的相對性；提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 3.以下選題供參考。 (1)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展； (2)歐幾里得《幾何原本》與公理化思想； (3)平面解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合的思想； (4)微積分與極限思想； (5)非歐幾何與相對論問題； (6)拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生； (7)二進(jìn)制與計(jì)算機(jī)； (8)計(jì)算的復(fù)雜性； (9)廣告中的數(shù)據(jù)與可靠性； (1O)商標(biāo)設(shè)計(jì)與幾何圖形； (11)黃金分割引出的數(shù)學(xué)問題； (12)藝術(shù)中的數(shù)學(xué)； (13)無限與悖論； (14)電視與圖像壓縮； (15)CT掃描中的數(shù)學(xué)一一拉東變換； (16)軍事與數(shù)學(xué)； (17)金融中的數(shù)學(xué)； (18)海岸線與分形； (19)系統(tǒng)的可靠性。 (三)數(shù)學(xué)史進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程帶來的連鎖反應(yīng) ●對中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)提出了較高要求 ●數(shù)學(xué)系本科數(shù)學(xué)史課程的普遍開設(shè) ●數(shù)學(xué)史碩士研究生的培養(yǎng) ●相關(guān)的數(shù)學(xué)史課程資源的開發(fā) 上述四方面工作，每個(gè)都是系統(tǒng)工程，有大量具體工作有待進(jìn)行。以下就這幾個(gè)方面發(fā)表一點(diǎn)粗淺的看法。 1．中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng) 小學(xué)和初中：具有初步的數(shù)學(xué)史常識、并且能將其初步融入數(shù)學(xué)課程的數(shù)學(xué)教師。培養(yǎng)途經(jīng)：1．?dāng)?shù)學(xué)系本科數(shù)學(xué)史課程。2．在職培訓(xùn)。 高中：能開設(shè)數(shù)學(xué)史選修課的教師。培養(yǎng)途經(jīng)：1．在數(shù)學(xué)系本科數(shù)學(xué)史課程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開設(shè)數(shù)學(xué)史討論班。2．在職培訓(xùn)。3．?dāng)?shù)學(xué)史碩士課程班。 數(shù)學(xué)史碩士課程班：以相對簡單的方式，較短的周期，解決中學(xué)數(shù)學(xué)課程對教師數(shù)學(xué)史基本知識的要求，特別是在較大范圍內(nèi)解決高中數(shù)學(xué)史選修課的任課教師問題。 對此，應(yīng)做好充分的前期準(zhǔn)備，包括對課程計(jì)劃的充分論證和相關(guān)的資源開發(fā)，不宜一哄而上。 2．?dāng)?shù)學(xué)系本科數(shù)學(xué)史課程的建設(shè) 第一步，努力在盡可能多的高師院校數(shù)學(xué)系開設(shè)數(shù)學(xué)史選修課。需要特別注意的是保證這門課程的開課質(zhì)量。目前的實(shí)際情況是絕大多數(shù)高師院校數(shù)學(xué)系缺少數(shù)學(xué)史教師，更缺少對數(shù)學(xué)史課程必要性的認(rèn)識。另外，以往某些學(xué)校的數(shù)學(xué)史課程是由一些對數(shù)學(xué)史有一定興趣但缺乏足夠了解的教師開設(shè)的，呆了一系列問題，例如課程在很大程度上照本宣科，成為大事年表或流水賬，枯燥乏味，缺少啟發(fā)性等。我的一個(gè)基本看法是，數(shù)學(xué)史課，開就要開好，否則不如僅僅設(shè)為討論班。數(shù)學(xué)史課成功的首要條件是有好的教師。 第二步，對高師院校數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)史課程在目標(biāo)和內(nèi)容等方面達(dá)成共識，形成較為規(guī)范統(tǒng)一的課程標(biāo)準(zhǔn)。1984年曾經(jīng)起草過一個(gè)教學(xué)大綱，但由于種種原因未能實(shí)行。 從目前的需要幾所具備的條件看，前兩步基本上可以同步進(jìn)行。 第三步，在前兩步的基礎(chǔ)上，形成與達(dá)成共識的課程標(biāo)準(zhǔn)相協(xié)調(diào)的高師院校數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史教材，可以開發(fā)多種不同風(fēng)格的教材，但在基本目標(biāo)和內(nèi)容上應(yīng)該是彼此大體相當(dāng)?shù)摹?/font> 第四步，努力使數(shù)學(xué)史課程成為高師院校數(shù)學(xué)系的主要選修課甚至必修課，前提是要有數(shù)量足夠的、具有足夠數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)史專業(yè)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)史教師。 3．高師院校數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史師資的培養(yǎng) （1）數(shù)學(xué)史博士或碩士研究生 數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)史主干內(nèi)容 適當(dāng)?shù)目茖W(xué)史、文化史、哲學(xué)（包括科學(xué)哲學(xué)、哲學(xué)史）素養(yǎng) 目前的感覺是，數(shù)學(xué)史碩士研究生的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)相對薄弱，哲學(xué)和文化史素養(yǎng)相當(dāng)缺乏。 （2）數(shù)學(xué)史研修班 協(xié)調(diào)國內(nèi)具有數(shù)學(xué)史研究生指導(dǎo)力量的單位（包括中科院、綜合性大學(xué)和高師院校），可以同時(shí)在幾個(gè)地點(diǎn)，利用大約兩個(gè)假期，為有興趣開設(shè)數(shù)學(xué)史課程而又缺少數(shù)學(xué)史專門人才的高師院校培訓(xùn)數(shù)學(xué)史教師。學(xué)員來自各高師院校，可能是數(shù)學(xué)教育研究方向的教師，也可以是其他研究方向的教師。研修班的規(guī)模不宜過大，例如不超過20人，從而可以較為充分地研討。 （3）數(shù)學(xué)史訪問學(xué)者 在國內(nèi)具有數(shù)學(xué)史研究生指導(dǎo)力量的單位（包括中科院、綜合性大學(xué)和高師院校）招收數(shù)學(xué)史研究方向的訪問學(xué)者，采取短期訪問、長期聯(lián)系的方式提高進(jìn)修者的數(shù)學(xué)史專業(yè)素養(yǎng)。 4．相關(guān)的數(shù)學(xué)史課程資源的開發(fā) （1）中學(xué)：高中數(shù)學(xué)史選修課教材；教師指導(dǎo)書；教師參考書系列；學(xué)生課外讀物；電子音像資料；多媒體教學(xué)課件等。 （2）高師院校數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)史教材建設(shè)；教師教學(xué)手冊；教師參考書系列；學(xué)生課外讀物；電子音像資料。
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