投擲硬幣中的偶然性和必然性

在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平，應(yīng)避免學(xué)習(xí)過(guò)多或艱深的術(shù)語(yǔ)，從小學(xué)低年級(jí)開(kāi)始應(yīng)該非形式地介紹概率思想，而非嚴(yán)格的定義、單純的計(jì)算。因此，在小學(xué)可以用“可能性”來(lái)代替“概率”這個(gè)概念。但作為教師應(yīng)該懂得它的意義，否則就會(huì)出笑話。有的教師讓學(xué)生在課堂上做 20次拋擲硬幣的試驗(yàn)，希望學(xué)生能得到出現(xiàn)正面的可能性是1/2，這是極其幼稚的想法。人們?cè)趻仈S一枚硬幣時(shí)，究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果事先是不能確定的，但是當(dāng)我們?cè)谙嗤臈l件下，大量重復(fù)地拋擲同一枚均勻硬幣時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的1/2左右。這里的“大量重復(fù)”是指多少次呢?歷史上不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家，例如皮爾遜等人作過(guò)成千上萬(wàn)次拋擲硬幣的試驗(yàn)，其試驗(yàn)記錄如下：

投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上還是反面向上，事前是無(wú)法預(yù)測(cè)的，完全是隨機(jī)的（偶然性），但是在大量地投擲后，會(huì)發(fā)現(xiàn)正面出現(xiàn)的次數(shù)和反面出現(xiàn)的次數(shù)大致是相等的。

如果我們把出現(xiàn)正面朝上叫做事件A，出現(xiàn)反面朝上的事件叫B，一次試驗(yàn)中每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性叫做概率，記作P（A）或P（B），多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后出現(xiàn)的規(guī)律性就稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在重復(fù)n次這樣的試驗(yàn)后，假設(shè)事件A發(fā)生n_A次，n_A稱為這一事件在這n次中發(fā)生的頻數(shù)，f_n(A)=n_A/n稱為頻率。頻率f_n(A)越大，事件A出現(xiàn)越頻繁，這意味著A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率越大。重復(fù)多次以后，頻率f_n(A)總接近于一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率P（A），這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律（必然性）的具體表現(xiàn)。

再回到投擲硬幣，歷史上有數(shù)學(xué)家做過(guò)這種試驗(yàn)，得到如下的數(shù)據(jù)：

n為他們擲硬幣的總次數(shù)，n_A是正面朝上的次數(shù)，f_n (A)為頻率即n_A/n。我們發(fā)現(xiàn)，在每一次隨機(jī)的拋擲后面，隱藏著一種必然趨勢(shì)，由于硬幣質(zhì)地是均勻的，因此拋擲次數(shù)越多，越能顯示出正面出現(xiàn)的次數(shù)和反面出現(xiàn)的次數(shù)趨向接近。

可以看出，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的頻率波動(dòng)越來(lái)越小，頻率在1/2這個(gè)定值附近擺動(dòng)的性質(zhì)是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內(nèi)在必然性規(guī)律的表現(xiàn)，1/2恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面可能性大小的數(shù)值，1/2就是拋擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率。而拋擲20次就要得出10次正面，是很難做到的。正因如此，概率的統(tǒng)計(jì)定義一般得出的是概率的近似值。

統(tǒng)計(jì)與概率可以為發(fā)展和運(yùn)用比、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)這些概念提供背景。因此我們可以用建構(gòu)的方式，建立這部分內(nèi)容與小學(xué)其它知識(shí)的聯(lián)系，從而建構(gòu)有意義的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而更深入、更靈活地學(xué)習(xí)。

總之，在小學(xué)，統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)既要具有科學(xué)性又要符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)，它還是解決問(wèn)題的有力工具，它也是架起與其它內(nèi)容之間的橋梁。

（數(shù)據(jù)引用于《十萬(wàn)個(gè)為什么》（數(shù)學(xué)分冊(cè)）