1．整除的概念

在小學(xué)書中所學(xué)的自然數(shù)和零，都是整數(shù)。同學(xué)們都知道，如果一個整數(shù)a除以一個自然數(shù)b，商是整數(shù)而且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，記作a│b。這時a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)。

例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15；也可以說15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。

由整數(shù)概念可知，整除必須同時滿足三個條件：（1）被除數(shù)是整數(shù)，除數(shù)是自然數(shù)；（2）商是整數(shù)；（3）沒有余數(shù)。這三個條件只要有一個不滿足，就不能叫整除。

例如，16÷5=3.2，商不是整數(shù)，所以不能說5整除16。又如，10÷2.5=4，除數(shù)不是自然數(shù)，所以不能說10能被2.5整除。

2．整除的性質(zhì)

（1）如果兩個整數(shù)都被同一個自然數(shù)整除，那么它們的和、差（大減?。┮捕寄鼙贿@個自然數(shù)整除。換句話說，同一個自然數(shù)的兩個倍數(shù)之和、差（大減?。┤允沁@個自然數(shù)的倍數(shù)。

例如，18與42都能被6整除，那么18與42的和60、差24也都能被6整除；即從6│18及6│42可知6│（18+42）、6│（42－18）。

（2）如果甲數(shù)整除乙數(shù)，乙數(shù)整除丙數(shù)，那么甲數(shù)整除丙數(shù)。即如果丙數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，乙又是甲數(shù)的倍數(shù)，那么丙數(shù)是甲數(shù)的倍數(shù)。

例如，7│28，28│84，那么就有7│84。

（3）如果甲數(shù)整除乙數(shù)，那么甲數(shù)就整除乙數(shù)與任一整數(shù)的乘積。也就是說如果乙數(shù)是甲數(shù)的倍數(shù)，那么乙數(shù)的任一倍數(shù)也是甲數(shù)的倍數(shù)。

例如，13│39，39×4=156，因此13│156。

（4）如果甲數(shù)能被丙數(shù)整除，而乙數(shù)不能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)與乙數(shù)的和、差都不能被丙數(shù)整除。即如果甲數(shù)是丙數(shù)的倍數(shù)，乙數(shù)不是丙數(shù)的倍數(shù)，那么甲數(shù)與乙數(shù)的和、差（大減小）都不是丙數(shù)的倍數(shù)。

例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83（48+35=83），也不整除13（48－35=13）。

3．?dāng)?shù)的整除特征

（1）個位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除；反過來，個位數(shù)字是1、3、5、7、9的數(shù)都不能被2整除。

（2）個位數(shù)字是0或5的數(shù)都能被5整除；反過來，個位數(shù)字既不是0也不是5的數(shù)都不能被5整除；反過，個位數(shù)字既不是0也不是5的數(shù)都不能被5整除。

（3）末兩位數(shù)能被49或25）整除的數(shù)，必能被4（或25）整除；反過來，末兩位數(shù)不能被4（或25）整除的數(shù)，必不能被4（或25）整除。

（4）末三位數(shù)能被8（或125）整除的數(shù)，必須被8（或125）整除；反過來，末三位數(shù)不能被8（或125）整除的數(shù)，必不能被8（或125）整除。

上述各條可以綜合推廣成一條：

末n位數(shù)能被2 （或5 ）整除的數(shù)，本身必能被2 （或5 ）整除；反過來，末n位數(shù)不能被2 （或5 ）整除的數(shù)，本身必不能被2 （或5 ）整除。

例如，364789056能不能被16整除？因為16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。從16整除9056就可知16整除364789056。

（5）各位數(shù)字之和能被3（或9）整除的數(shù)，本身也能被3（或9）整除；反過來，各位數(shù)字之和不能被3（或9）整除的數(shù)，本身也不能被3（或9）整除。

我們通過具體例子來說明其中的道理：

83256

=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6

=8×（9999+1）+3×（999+1）+2×（99+1）+5×（9+1）+6

=（8×9999+3×999+2×99+5×9）+（8+3+2+5+6），

因為第一個括號內(nèi)的結(jié)果是3的倍數(shù)，所以如果第二個括號內(nèi)的結(jié)果是3的倍數(shù)，那么根據(jù)整除的性質(zhì)（1），原數(shù)就是3的倍數(shù)；如果第二個括號內(nèi)的結(jié)果不是3的倍數(shù)，那么根據(jù)整除的性質(zhì)（4），原數(shù)就不是3的倍數(shù)?，F(xiàn)在第二個括號內(nèi)的結(jié)果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍數(shù)，所以原數(shù)是3的倍數(shù)。完全類似，因為第一個括號內(nèi)的結(jié)果是9的倍數(shù)，第二個括號內(nèi)的結(jié)果不是9的倍數(shù)。所以根據(jù)整除的性質(zhì)（4），原數(shù)不是9的倍數(shù)。

（6）能被（7（11或13）整除的數(shù)的特征：這個數(shù)的末三位數(shù)字所表示數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大減?。┠鼙?（11或13）整除。

例如判斷1265817能否分別被7、11、13整除？把1265817分成兩段：1265與817，因為1265－817=448，而7整除448，所以7整除1265817；11不整除448，所以11不整除1265817；同樣，13不整除448，所以13不整除1265817。

這是什么道理呢？

因為7×11×13=1001，所以凡是001的倍數(shù)都能被7、11、13整除。

1265817=1265×1000+817

       =1265×1001－1265＋817

       =1265×1001－（1265－817），

因為1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果（1265－817）能被7整除，那么1265817也能被7整除；反過來，如果1265817能被7整除，那么（1265－817）也能被7整除。這就說明，1265817能否被7整除，完全取決于（1265－817）能否被7整除。而817與1265正是1265817的末三位數(shù)字與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)。

對于11和13來說，情形完全一樣。

如果把1265817換成其它數(shù)，上述推導(dǎo)過程可以照樣進(jìn)行，所以我們能用上述方法來判斷一個數(shù)能否被7（11或13）整除。

由此整除特征可以看到，把一個三位數(shù)連寫兩遍所得的六位數(shù)必能同時被7、11、13整除。例如382382就能同時被7、11、13整除。實際上，這樣的數(shù)是1001的倍數(shù)，而1001=7×11×13。

（7）能被11整除的數(shù)的特征二：這個數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。

我們利用92587來說明其中的道理。

92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7

     =9×（909×11+1）+2×（91×11－1）+5×（9×11+1）+8×（11－1）+7

     =（9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11）+（9－2+5－8+7）

因為第一括號內(nèi)的結(jié)果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取決于第二個括號內(nèi)的結(jié)果能否被11整除。第二個括號內(nèi)恰好就是奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差。

現(xiàn)在9－2+5－8+7=11，所以原數(shù)92587能被11整除。

（8）能被11整除的數(shù)的特征三（割尾減尾法）：這個數(shù)除去個位數(shù)字之外其余數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)與個位數(shù)之差被11整除。

例如：7249=724×10+9=724×11－724+9=724×11－（724－9）。

因為724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取決于（724－9）能否被11整除，而（724－9）正是這個數(shù)除去個位數(shù)字之外其余數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)與個位數(shù)之差。從此例就可看出這種方法為什么是正確的。

（9）如果一個數(shù)能被互質(zhì)的兩個自然數(shù)整除，那么它一定能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。

把這一性質(zhì)與前邊所學(xué)數(shù)的整除特征相聯(lián)系，我們就可以得到一大批數(shù)的整除特征。

例如，因為2和3互質(zhì)，并且2×3=6，所以一個數(shù)能被6整除的特征是這個數(shù)既能被2整除又能被3整除。又如，因為3和5互質(zhì)，并且3×5=15，所以一個數(shù)能被15整除的特征是這個數(shù)既能被3整除又能被5整除。

〖請你讀一讀〗

例1.在□處填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使四位數(shù)23□□能被3整除。問□□處可有多少種不同的填法？

【分析與解答】根據(jù)23□□能被3整除的條件知：2+3+a+b=5+a+b能被3整除，則a+b=3n+1，又每個□中數(shù)字a，b最大只能填9，所以3n+1<18。

                   0，1

當(dāng)n=0時，3n+1=1       即有2種填法。

1，0

                   0，1，2，3，4

當(dāng)n=1時，3n+1=4                即有5種填法。

                  4，3，2，1，0

當(dāng)n=2時，3n+1=7，有8種填法。

當(dāng)n=3時，3n+1=10，有9種填法。

當(dāng)n=4時，3n+1=13，有6種填法。

當(dāng)n=5時，3n+1=16，有3種填法。

當(dāng)n=6時，3n+1=19>18，不合題意。

2+5+8+9+6+3=33（種）

因此□□中有33種不同的填法。

答：共有33種不同的填法。

試一試：有一個四位數(shù)3aa1，它能被9整除，則a代表多少。

例2.從數(shù)字1、2、3、4、5中任意挑選四個數(shù)字組成能被5整除而各個數(shù)位上數(shù)字不同的四位數(shù)，共有多少個？

【分析與解答】因為組成的數(shù)能被5整除，所以挑選時5必須包括在內(nèi)，其他四個數(shù)中任取三個，這樣共有四種不同的挑選方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4、和5。每種挑選方法5肯定在個位上，其余3個數(shù)子位置可以交換，能組成六個能被5整除的四位數(shù)，例如：1、2、3、5四個數(shù)字可組成1235、1325、2135、2315、3125和3215。因此四種選法一共可組成6×4=24個能被5整除的四位數(shù)。

答：共有24個。

試一試：從數(shù)字0、1、2、3、4、5中任意挑選5個數(shù)字組成能被5整除而各個數(shù)位上數(shù)字不同的五位數(shù)，共有多少個？

（提示：本題解題思路與例3相似，但注意數(shù)字0不能擺在自然數(shù)的最高位上。）

例3.173□是個四位數(shù)字。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個□中先后填入3個四位數(shù)，依次可被9、11、6整除”。問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？

【分析與解答】解這道題的關(guān)鍵是：怎樣的自然數(shù)，才能被9整除？被11整除？被6整除？這里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶數(shù)。

因為能被9整除的數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，并且四位數(shù)173□的數(shù)字和是1+7+3+□=11+□而□內(nèi)的數(shù)字最大不超過9。所以□內(nèi)只能填7。

因為能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得到的差是11的倍數(shù)，即

（7+□）－（1+3）=3+□應(yīng)是11的倍數(shù)。

所以□內(nèi)只能填8。

因為能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù)，并且數(shù)字和是3的倍數(shù)，而1+7+3+□=11+□，所以□內(nèi)只能填4。

故數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是7+8+4=19。

答：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是19。

例4.用0~9這十個數(shù)字組成能被11整除的最大十位數(shù)是多少，最小十位數(shù)是多少？

【分析與解答】因為0~9這十個數(shù)字的和是45，根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，這個十位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和之差是11的倍數(shù)，所以這個差只能是0、11、22、33和44五種情況。

由于各位數(shù)字之和是45，根據(jù)數(shù)的奇偶性可知，十位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之只能是一奇一偶。所以他們的差為奇數(shù)，不可能是0、22和44。

若差是33，而和是45，根據(jù)和差問題數(shù)量關(guān)系可知奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和只能分別為39和6，則于所給十個數(shù)字中最小五個數(shù)字和都超過6，所以差不可能是33。這樣差必定是11。

根據(jù)差為11，和為45，可得奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和分別是（45+11）÷2=28和（45－11）÷2=17。而若十位數(shù)且最大，則其高位數(shù)字應(yīng)盡可能大，經(jīng)湊數(shù)后者，最大十位數(shù)是9876524130。

想一想：最小十位數(shù)是多少？

試一試：用1、2、3、4四個數(shù)字，組成能被11整除的四位數(shù)共有多少個？

例5.將1、2、3、……30從左往右依次排成一個51位數(shù)，這個數(shù)被11除的余數(shù)是多少？

【分析與解答】此題是求這個51位數(shù)被11除的余數(shù)是幾，顯然不可用這個數(shù)去除以11找它的余數(shù)的方法。同樣可根據(jù)“一個數(shù)被11除的余數(shù)與這個數(shù)其奇數(shù)位數(shù)字和減去偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除的余數(shù)是相等的”這一性質(zhì)解答。

依題意排成的51位數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字依次是1、3、5、7、9、0、1、2、3……8、9、0、1、2、3、……8、9、0。

奇數(shù)位數(shù)字和是：1+3+5+7+9+2×（1+2+3+……+8+9）=115

這個數(shù)的偶數(shù)位上的數(shù)字和是：

2+4+6+8+1×10+2×10+3=53

而115－53=62，62÷11=5……7

所以這個數(shù)被11除的余數(shù)是7。

答：這個數(shù)被11除的余數(shù)是7。

注意：運用這一性質(zhì)時，必須是奇數(shù)位數(shù)字和減去偶數(shù)位數(shù)字和，不可反之。由于這個題目恰巧是奇數(shù)位上的數(shù)字和大，偶數(shù)位上的數(shù)字和小，所以計算起來比較方便。如果有一個這樣的題，奇數(shù)位上的數(shù)字和小，偶數(shù)位上的數(shù)字和大，即不夠減時，又應(yīng)該怎樣計算呢？

如：919293949596979899這個18位數(shù)被11除，問余數(shù)是多少？

此題奇位上的和是45，偶位上的和是81，即45減81則不夠減，那么應(yīng)該怎樣計算呢？可先將奇數(shù)位數(shù)字和加上11的倍數(shù)，再減去偶數(shù)位數(shù)字和。或者先將偶數(shù)位數(shù)字和減去11的倍數(shù)，然后再用奇數(shù)位數(shù)字和來減。所得到的差被11除的余數(shù)就是原數(shù)被11除的余數(shù)。

試一試：求出上面18位數(shù)被11除的余數(shù)是多少？

例6.把整除由1開始按順序?qū)懴氯?，一直寫到?7位為止，即 。那么這個數(shù)用9除的余數(shù)是多少？寫出你的想法。

【分析與解答】一個整數(shù)被9除的余數(shù)與這個數(shù)各位數(shù)字和被9除的余數(shù)相同。根據(jù)這一性質(zhì)，將該數(shù)各位數(shù)字之和被9除，其余數(shù)即為所求。

解一：因為（87－9）÷2=39。則87位數(shù)里所寫的兩位數(shù)有39個，即從10－48。所以這個87位數(shù)是12345……4748。

該數(shù)的前9位數(shù)的數(shù)字之和是1+2+3+4+5……+9=45

第10~29位數(shù)各數(shù)字之和是

10+11+12+……+19=1×10+45=55

第30~49位數(shù)各數(shù)字之和是

20+21+22+……+29=2×10+45=65

第50~69位數(shù)各數(shù)字之和是

30+31+32+……+39=3×10+45=75

第70~87位數(shù)各數(shù)字之和是

40+41=42+……+48=4×9+36=72

這個數(shù)的各位數(shù)字之和是45+55+65+75+72=312

312÷9=34……6

因此這個數(shù)用9除的余數(shù)是6。

結(jié)論：一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只需將這個數(shù)的各位數(shù)字之和求出，若和大于9則再次求各位數(shù)字之和，直到和不大于9為止，而最后的和數(shù)即為被9除的余數(shù)。

解二：因為1+2+3+……+8=36，1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，則這個數(shù)的前8位和前9位數(shù)都能被9整除。

又因為1011121314151617的各位數(shù)字和是1+2+3+……+8=36，能被9整除：101112131415161718的各位數(shù)字和是1+2+3+……+9=45，能被9整除。

由此不難發(fā)現(xiàn)，從1開始按順序?qū)憯?shù)，當(dāng)寫到的自然數(shù)其數(shù)字和為8或9時，所組成的數(shù)能被9整除，即寫到的自然數(shù)為8、9、17、18、26、27、35、36、44、45、53……。

根據(jù)題意1234……這個87位數(shù)是1234……4748，當(dāng)寫到45時所組成的81位數(shù)能被9整除，所以我們只需考慮464748這個六位數(shù)被9除的余數(shù)。

4×3+7×3=33，3+3=6

因此，這個數(shù)被9除的余數(shù)是6。

答：這個數(shù)被9除的余數(shù)是6。

例7．一個六位數(shù)是23□56□是88的倍數(shù)，這個數(shù)除以88所得的商得多少？

【分析與解答】設(shè)六位數(shù)為 ，因為六位數(shù)是88的倍數(shù)，88=8×11，且8與11互質(zhì)，所以六位數(shù)既是8的倍數(shù)又是11的倍數(shù)。

由 是8的倍數(shù)的條件，可知 能被8整除，則B是0或是8兩種可能。

由是11的倍數(shù)的條件，可知奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（B+5+3）－（6+A+2）=（B－A）能被11整除，而且只有B－A=0（11、22、……不可能）一種可能。由于B是0或是8，那么A也是0或是8。

根據(jù)上述，這個六位數(shù)就是230560或是238568，它們除以88的商是2620或是2711。

答：這個數(shù)除以88的商是2620或是2711。

試一試：42□28□是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99的商是多少？

例8．將自然數(shù)1、2、3、4、5……依次寫下去組成一個數(shù)：12345678910111213……。如果寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個自然數(shù)是多少？

【分析與解答】因為72=8×9，8與9互質(zhì)，所以能被72整除的數(shù)一定能被8和9整除。

若是被9整除，則各位數(shù)字之和能被9整除，而1+2+3+……+8=36，1+2+3+……+9=45，36和45均能被9整除，所以從自然數(shù)1依次寫到8或9所組成的八位數(shù)或九位數(shù)都能被9整除。又1011121314151617的各位數(shù)字和也是1+2+3……+8=36，能被9整除；101112131415161718的各位數(shù)字和也是1+2+3+……+9=45，能被9整除。由此不難發(fā)現(xiàn)，依題意寫到的自然數(shù)其數(shù)字之和是8或9的時，所組成的數(shù)能被9整除，即寫到的自然數(shù)為：8、9、17、18、26、27、35、36、44、45……。

若要被8整除，則末三位數(shù)必須能被8整除，而被8整除的數(shù)一定能被2整除，即末位數(shù)必為偶數(shù)。因此寫到的自然數(shù)只能是8、18、26、36、44、54……。

經(jīng)過試算，寫到這些自然數(shù)時所組成的數(shù)的末三位678、718、526、536、344、……，得到第一次能被8整除的末三位數(shù)是536，即寫到的自然數(shù)是36。

所以，寫到36時所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除。

答：這個自然數(shù)是36。

例9．小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3……13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有多少個？

【分析與解答】設(shè)兩個口袋分別為a和b，則a=1,2,3,……13；b=1,2,3……13。因為6=2×3，所以，能被6整除的乘積的因數(shù)中至少含有2和3。

當(dāng)a=6時，b=1，2，3……13時均成立，有13個。

當(dāng)a=7，8，9，10，11，12，13時b=12時成立，有7個。

當(dāng)a=10，b=9時成立，有1個。

所以，不相等的乘積中能被6整除的共有13+7+1=21（個）

答：能被6整除的乘積共有21個。

試一試：用1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字組成一個六位數(shù)，要求前兩位數(shù)是2的倍數(shù)，前三位數(shù)是3的倍數(shù)，前四位數(shù)是4的倍數(shù)，前五位數(shù)是5的倍數(shù)，前六位數(shù)是6的倍數(shù)，滿足條件的六位數(shù)是多少？

例10．七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是多少的時候，不管千位上是0到9中的哪一個數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

【分析與解答】設(shè)這個七位數(shù)是 。由能被11整除的數(shù)的特征可知12+B與9+A的差是0或11兩種可能。

12+B之和有12，13，14，15，16，17，18，19，20，21十種可能，9+A之和有9，10，11，12，13，14，15，16，17，18十種可能。

根據(jù)上述，將12+B與9+A配對如下表：

由此可知，19與9+A的十種可能的差不是11的倍數(shù)。

又因為19=12+7，所以這個七位數(shù)的末位數(shù)字是7時，不管千位上填任何數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

答：這個七位數(shù)的末位數(shù)字是7時，不管千位上填任何數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

試一試：七位數(shù) 的千位數(shù)字是多少的時候，不管個位上填任何數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。

〖請你試一試〗

1.有0,1,4,7,9五個數(shù)字,從中選出四個數(shù)字組成不同的四位數(shù),如果把其中的能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來,第五個數(shù)的末位數(shù)字是多少?

2.任取一個四位數(shù)乘6543，用A表示其積的位數(shù)有兩種可能，即七位數(shù)或八位數(shù)。

3.用1、9、8、8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)？

4.123456789□□，這個十一位數(shù)能被36整除，那么這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是多少？

5.如果六位數(shù)1992□□能被105整除，那么它最后兩位數(shù)是多少？

6.下面這個四十一位數(shù)

55……5□99……9（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？

7.某個七位數(shù)1993□□□能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)依次是多少？

8.如果將數(shù)字0，1，2，3，……9以任意的次序填入下列一排數(shù)字中的空位上。

8（    ）396（     ）9（     ）（    ）5（     ）383（      ）23（      ）5（      ）28（      ）0（     ）7（   ）36構(gòu)成一個28位數(shù)，請你寫出3個可整除這個28位數(shù)的兩位數(shù)。（      ）、（    ）、（    ）。

9.四位數(shù) 能同時被2、3、5整除，問這個四位數(shù)是多少？

10.首位數(shù)字是9，各位上的數(shù)字互不相同，并且能同時被2、3整除的七位數(shù)中，最小的是幾？

11.一個四位數(shù)，減去它各位數(shù)字之和，其差還是一個四位數(shù) ，試求出A。

12．用數(shù)字6、7、8各兩個，組成一個六位數(shù)，使它能被168整除。這個六位數(shù)是多少？

13.如果各位數(shù)字都是1的某個整數(shù)能被33333整除，那么這個整數(shù)中的1的個數(shù)最少有多少？

〖參考答案〗

1.解：因為組成的數(shù)能被3整除,所以選出的四位數(shù)字之和必是3的倍數(shù),這樣共有二種不同選法:0、1、4、7和1、4、7、9。第一種選法組成的四位數(shù)從小到大排列為：1047、1074、1407、1470、1704……。

綜上所述，不難得出，滿足條件的第五個數(shù)是1479。

所以這樣的第五個數(shù)的末位數(shù)字是9。

2.解：因為6543+727×9的被數(shù)，所以任何一個四位數(shù)乘6543的積一定能被9整除。根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征可知，其積的各各位數(shù)字之和A也能被9整除。由于積是一個七位數(shù)或八位數(shù)，因此A之值為9、18、27、36、45、54、63、72這八種可能。由此可知、A之值的各位數(shù)字之和B的值總是9，B之值的各位數(shù)字之和C的值也一定是9，所以C是9。

3.解：用1、9、8、8四個數(shù)組成的四位數(shù)排列如下：

1988，1898，1889；

9188，9818，9881；

8918，8981，8891，8819，8198，8189。

而除以11余8的四位數(shù)，其個位上數(shù)字與百位上數(shù)字的和減去十位上數(shù)字與千位上數(shù)字的和，所得的差必須等于8。

通過試算，不難得出滿足此條件的四位數(shù)有1988，1889，8918和8819。

因此，用1、9、8、8四個數(shù)字排成除以11余8的四位數(shù)共有四個。

4.解：因為36=4×9，且4與9互質(zhì)，由數(shù)的整除性可知這個十一位數(shù)既能被4整除又能被9整除。

又因為1+2+3+……+8+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征可知□+□之和是0（0+0），9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）。

再由能被4整除的數(shù)的特征可知□□是00，04，08，12，……36，……，72，……96。這樣，□□應(yīng)有00，36，72三種可能情況，則這十一位數(shù)是12345678900，12345678936，12345678972三種情況。

因此，能被36整除的十一位數(shù)的個位數(shù)最小值是0。

5.解：因為105=3×5×7，且3、5和7兩兩互質(zhì)，由數(shù)的整除性可知這個六位數(shù)能被3、5和7整除。

根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，可知這個數(shù)的個位數(shù)是0或5兩種可能，再根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，可知這個六位數(shù)有如下七種可能情況。

199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275。

上述七個數(shù)中，根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，可知290－199=91，91是7的13倍，所以，199290能被7整除。

這樣，199290能被105整除，它的最后兩位數(shù)是90。

6.解：根據(jù)被7整除的特征：一個數(shù)的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差能被7整除，則這個數(shù)能被7整除，可知各位數(shù)字相同的六位數(shù)一定能被7整除（因為它們的差為0）。所以有六個5和六個9的數(shù)都能被7整除。

而題中5和9的個數(shù)各有20個，20÷6=3……2。因此，本題只需考慮55□99能被7只能整除，□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)字。

又因為，55除以7商7余6，99除以7的商的個位數(shù)為7時，才能滿足被7整除的條件。這樣，也需要考慮6□5被7整除□應(yīng)填的數(shù)字。除一下，就知方格內(nèi)數(shù)字是6。

所以，中間方格內(nèi)數(shù)字是6。

7.解：依題意七位數(shù)1993□□□能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，即能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)整除。而[2、3、4、5、6、7、8、9]=[5、6、7、8、9]=[5，7和72]=5×7×72=2520

又1993000÷2520=790……2200，若1993□□□被2520整除則聽將193000加2520－2200=320。即1993000+320=1993320能被2520整除。因此，滿足條件的最后三位數(shù)依次是320。

8.解：因為0+1+2+3+……+9=45是9的倍數(shù)，且題中一排以知數(shù)字之和為90也是9的倍數(shù)，所以將數(shù)字0～9這十個數(shù)字以任意的次序填入后構(gòu)成的28位數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)，即這個28位數(shù)一定能被9整除。同時，也能被3整除。

又依題知，構(gòu)成的28位數(shù)的末兩位數(shù)是36，為4的倍數(shù)，所以構(gòu)成的28位數(shù)一定能被4整除，也能被2整除。

綜上所述，構(gòu)成的28位數(shù)能被2、3、4、9整除，根據(jù)整除的性質(zhì)可知，構(gòu)成的28位數(shù)能被3×4=12，2×9=18，4×9=36，這三個兩位數(shù)整除。

想一想：構(gòu)成的28位數(shù)能否被2×3×4=24整除，為什么？

9.分析：能同時被2、3、5整除，所以滿足以下三個條件：個位數(shù)字B在0、2、4、6、8之中。第一個和第三個條件都是針對個位數(shù)字的，所以可以先根據(jù)它們確定個位數(shù)字B，再根據(jù)第二個條件確定百位數(shù)字A。

解：要使能同時被2和5整除，個位數(shù)字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3整除。可以看出，當(dāng)A取0、3、6、9時，各位數(shù)字之和9+A可以被3整除，所求的四位數(shù)是8010、8310、8610、8910。

10.分析：不考慮“最小”，就有許多數(shù)都合乎要求。特別地，如果一個七位數(shù)符合要求，那么只要不改變首位數(shù)字和個位數(shù)字，把中間數(shù)位上的數(shù)字任意交換一下，所得到的新數(shù)仍符合要求。因此可以從“最小”這個條件入手。

設(shè)所求的七位數(shù)是，要使求出的數(shù)最小，而且各位數(shù)字互不相同，可先取a=0、b=1、c=2、d=3、e=4，再根據(jù)“能同時被2、3整除”來確定個位數(shù)字f。

解：因為所求的數(shù)各位上的數(shù)字互不相同且要最小，所以可設(shè)它為。要使它能被2整除，f可取0、2、4、6、8；但因各位上的數(shù)字互不相同，而0、2、4前邊數(shù)位上以用過，所以f只能取6或8。要使所求的數(shù)能被3整除，各位數(shù)字之和9+0+1+2+3+4+f =19+f應(yīng)是3的倍數(shù)，所以f=8，所求的數(shù)是9012348。

11.分析：設(shè)這個四位數(shù)為 ，則

   =1000×a+100×b+10c+d，

它的各位數(shù)字之和為a+b+c+d。于是有

－（a+b+c+d）

= =1000×a+100×b+10c+d－（a+b+c+d）

=999×a+99×b+9×c

=9×（111×a+11×b+c）。

這表明“一個自然數(shù)減去它各位數(shù)字之和后，所得之差一定是9的倍數(shù)”，又以知這個差等于 ，由此就求A來。

解：一個自然數(shù)減去它各位數(shù)字之和后，所得之差一定是9的倍數(shù)，所以是9的倍數(shù)。根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，6+0+3+A=9+A應(yīng)是9的倍數(shù)，可見A可取0或9。

12．分析：168=3×56，3與56互素。因為6+6+7+7+8+8=42，42是3的倍數(shù)，所以用6、7、8各兩個組成的所有六位數(shù)都能被3整除。問題轉(zhuǎn)化為使組成的六位數(shù)能被56整除。因為56=7×8，7與8互素，所以只要組成的數(shù)既能被7整除，又能被8整除，只要看末位三位數(shù)，如果僅用6、7、8各一組成能被8整除的三位數(shù)，那么把它連寫兩遍得到的六位數(shù)就合乎要求。而用6、7、8各一不難組成能被8整除的三位數(shù)。

解：768嫩被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7與8互素，所以它能被7與8的積56整除。

7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除。由于3與56也互素，因此768768就能被3與56的積168整除。

13.分析：由于33333=3×11111，并且3與11111互素，所以只要這個整數(shù)既能被3整除，又能被11111整除，并且最小即可。

解：這類整數(shù)要能被3整除，各位數(shù)字之和也就是是1的個數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)；這類整數(shù)要能被11111整除，所含1的個數(shù)應(yīng)是5的倍數(shù)。由于3和5的最小公倍數(shù)是15，所以這類整數(shù)中既能被3整除又能被又能被11111整除的最小數(shù)，共包含15個1，從而知這類整數(shù)中能被33333整除的最小包含15個1。