能表示為某個整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡稱平方數(shù)。

例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,

324,361,400,441,484,…

     觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識。 

一、平方數(shù)有以下性質(zhì)：  
【性質(zhì)1】完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。  
【性質(zhì)2】奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。
【性質(zhì)3】如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。

推論1：如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。 
【性質(zhì)4】（1）凡個位數(shù)字是5，但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；

（2）末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)（不包括0本身）不是完全平方數(shù)；

     100，10000，1000000是完全平方數(shù)，

10，1000，100000等則不是完全平方數(shù)。

（3）個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。

需要說明的是：個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)一定不是完全平方數(shù)，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

但個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為偶數(shù)的自然數(shù)不都是完全平方數(shù)。如：21，44，89不是完全平方數(shù)，但49，64，81是完全平方數(shù)。

【性質(zhì)5】偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。

這是因?yàn)?nbsp;  (2k+1)^2=4k(k+1)+1                    (2k)^2=4k^2

【性質(zhì)6】奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。

【性質(zhì)7】平方數(shù)的形式一定是下列兩種之一：3k,3k+1?！咀⒁猓壕邆湟陨蠗l件的不一定是完全平方數(shù)（如13，21，24，28等）】

【性質(zhì)8】不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。

【性質(zhì)9】平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。 
除了上面關(guān)于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。

例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。

下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。

關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：

【性質(zhì)10】完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。

證明   因?yàn)橐粋€整數(shù)被9除只能是

9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而 (9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1 (9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 (9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7

除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：

【性質(zhì)11】a^2b為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。

【性質(zhì)12】如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但p^2不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。

證明   由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p，但無因子p^2，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時，各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。

【性質(zhì)13】在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即

【性質(zhì)14】一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個因子(包括1和n本身)。

【性質(zhì)15】完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個。約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個的自然數(shù)是完全平方數(shù)。

【性質(zhì)16】若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)a，則p^2|a。

【性質(zhì)17】任何四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個平方數(shù)。 

二、重要結(jié)論（不是完全平方數(shù)的特點(diǎn)）

1.個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  

2.個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

3.個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

5.形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；

8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)


三、個位數(shù)與正整數(shù)冪

正整數(shù)冪的個位與其底數(shù)的個位有周期性關(guān)系。

【性質(zhì)1】和的個位數(shù)字是諸加項(xiàng)個位數(shù)字之和的個位數(shù)字.

【性質(zhì)2】積的個位數(shù)字是諸因數(shù)個位數(shù)字之積的個位數(shù)字.


四、例題剖析

【例1】有一個1000位的數(shù),它由888個1和112個0組成,這個數(shù)是否可能是一個平方數(shù)?

解法一：這個1000位數(shù)的各位數(shù)字和為：888→24→6，

根據(jù)各位數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)判定，此數(shù)不是完全平方數(shù)。

解法二：設(shè)這個1000位數(shù)=A，是a的平方的完全平方數(shù)，

因?yàn)锳能被3整除，所以也能被3整除，即A能被9整除，但9不能整除888，

所以A不是完全平方數(shù)。


【例2】如果m是整數(shù)，那么m的平方+1的個位數(shù)可能是（     ）。

解：因?yàn)橥耆椒綌?shù)的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，

所以m的平方+1的個位數(shù)可能是1，2，5，6，7，0


【例3】有4個不同的數(shù)字可共組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是多少?

解：（1）由4個不同的數(shù)字可以構(gòu)成：4*3*2*1=24個不同的4位數(shù)，只能構(gòu)成18個4位數(shù)說明含有一個數(shù)字“0”，即：3*3*2*1=18。

（2）這些4位數(shù)中，最小的為a0bc,次大的為cb0a（其中0<a<b<c）。

（3）完全平方數(shù)的個位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，

令c=9，則b必須為偶數(shù)（試取8），a取1（1+0+8+9=18→9，☆完全平方數(shù)的各位數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9），

得：1089=33的平方，9801=99的平方。

（4）平均數(shù)的千位數(shù)：（1+8+9）*6/18=6

      百、十、個位數(shù)：(1+8+9+0)*4/18=4

所求：6444


【例4】1987的1987次冪乘以1988的1988次冪乘以1989的1989次冪的個位數(shù)是幾？

解：先要確定高次冪的個位數(shù)周期

1987的1，2，3，...1987次冪的個位數(shù)分別是7，9，3，1，7，9...，周期為7，9，3，1這4個個位數(shù)循環(huán)，1987÷4...3,所以的個位數(shù)為3；

1988的1，2，3，...1988次冪的個位數(shù)分別是8，4，2，6，8，4...，周期為8，4，2，6這4個個位數(shù)循環(huán)，1988÷4...0,所以的個位數(shù)為6；

1989的1，2，3，...1989次冪的個位數(shù)分別是9，1，9，1，...，周期為9，1這2個個位數(shù)循環(huán)，1989÷2...1,所以的個位數(shù)為9；

所求：個位數(shù)是3×6×9的個位數(shù)即為2.


總結(jié)：（1）和的余數(shù)等于余數(shù)的和；

       （2）差的余數(shù)等于余數(shù)的差；

       （3）積的余數(shù)等于余數(shù)的積。


【例5】12345678987654321是否是完全平方數(shù).

解：12345678987654321的個位數(shù)字和為：36+9+36=81→9

所求：是一個完全平方數(shù)

迎春杯07年六年級組第11題

   有4不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是：                。

分析與解答：

一，首先涉及到排列組合與乘法原理：
當(dāng)沒有0時，4個不同的數(shù)字共可組成4！=24個不同的4位數(shù)。
       如果只能組成18個不同的4位數(shù)，說明其中必有0,即按3×3！=18算出來的。

二，在這四個不同的數(shù)中，設(shè)最小的數(shù)（小0中大）＝A2，倒數(shù)第二個則是（大中0?。?B2,
    兩數(shù)正好是一對反序數(shù)。
    根據(jù)完全平方數(shù)的尾數(shù)特點(diǎn)，
    “小”、“大”兩數(shù)必是1,4,6,9之中的兩個。且中數(shù)在小大之間。

三，分類討論，使用枚舉法一一驗(yàn)證，但是注意使用平方數(shù)的判斷技巧。
    1，先判斷小數(shù)，再用大數(shù)驗(yàn)證。
    2，利用平方數(shù)的整除特征：是2的倍數(shù)必是4的倍數(shù)，是3的倍數(shù)必是9的倍數(shù)，是5的倍數(shù)必是25的倍數(shù)。
    3，利用高位估算法與尾數(shù)特點(diǎn)確定。例如平方數(shù)為1056，那么肯定是34或者36的平方，然后再驗(yàn)算即可。

四，可以分為以下3類：
   （1）當(dāng)“大”＝4，那么只有1024,1034符合，
     1024＝32*32,但4201不成立。
     1034是2的倍數(shù)不是4的倍數(shù)。
   （2） 當(dāng)“大”＝6, 那么1026，1036，1046，1056，4056符合。
     1026，1046是2的倍數(shù)不是4的倍數(shù)，排除。
     4056是3的倍數(shù)，不是9的倍數(shù)，排除。
     32*32＜1036，1056＜33*33，排除1036與1056，其實(shí)也可以排除1026，1046。
   （3）當(dāng)“大”＝9,

    在（10中9）的數(shù)中，取332=1089, 而9801可以用992來試算，知9801＝992.符合。
    在（40中9）的數(shù)中，取632,672不成立。
    在（50中9）的數(shù)中，取672，732不成立。
    在（60中9）的數(shù)中，取732，772不成立。
   所以，符合條件的數(shù)只能是由1089開始的四位數(shù)。

五，求這18個數(shù)的和，有兩種方法，一種是枚舉法，當(dāng)然要結(jié)合找規(guī)律，但是也很難計(jì)算；
   另一種是計(jì)數(shù)法，即根據(jù)每一位上的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來統(tǒng)一計(jì)算。
   又分兩種思路：
   1，直接計(jì)算：千位上1，8，9出現(xiàn)的次數(shù)為3！=6次，百位十位個位上出現(xiàn)1，8，9的次數(shù)為2*2！=4次，所以18個數(shù)的總和為（1+8+9）*6444，所以平均數(shù)為6444。
   2，利用排除法：假設(shè)0也可以作為高位，例如0189也算符合要求的，那么這24個數(shù)的總和應(yīng)該是（0+1+8+9）*6666。那么多加的6個數(shù)用同樣的方法可知總和為（1+8+9）*222，所以18個數(shù)的總和為18*6666-18*222，所以平均數(shù)為6444。


點(diǎn)評：
1，此題也是難度非常大的一道綜合題型，涉及到排列組合計(jì)數(shù)原理的考察，有數(shù)字大小的排列，然后主要是平方數(shù)的判斷，其實(shí)都是奧數(shù)課程里面的基本內(nèi)容，但是組合起來之后就難度變很大了。

2，第一步思路是根據(jù)18個數(shù)判斷出其中必有一個為0，這個一般同學(xué)都能判斷出，但是這一步離最后答案還相差十萬八千里，所以可以看出，計(jì)數(shù)原理都是作為附屬考察內(nèi)容滲透進(jìn)每道試題，難度不大，但是不過關(guān)又無從下手。

3，第二步思路主要是根據(jù)分類原則逐一對平方數(shù)進(jìn)行判斷，需要使用平方數(shù)的特征，同時需要同學(xué)有很強(qiáng)很快的計(jì)算能力。很多同學(xué)不重視平方數(shù)的特征，尤其是判斷過程，因?yàn)樗麄冇X得這個東西無法考察（因?yàn)椴皇翘羁疹}型），通過這道題目的學(xué)習(xí)就應(yīng)該知道每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都是有用的，而且是可以用題目考察到的，不要輕易放過任何一個有用的數(shù)學(xué)原理，比如五六年級的抽屜原理也是，很多同學(xué)覺得沒用，不會考，從考試角度來說確實(shí)考察的頻率相對底，但是體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是在很多題目當(dāng)中有體現(xiàn)的。