把握轉(zhuǎn)折:從“算術(shù)”走向“代數(shù)”
——“式與方程”和“正比例、反比例”備課解讀與難點(diǎn)透視
賁友林
“式與方程”、“正比例、反比例”都是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容。“式與方程”主要學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識,包括用字母表示數(shù)、簡易方程和列方程解決簡單的實(shí)際問題。“正比例、反比例”是小學(xué)最后階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容,主要學(xué)習(xí)比、比例、按比例分配、比例尺、正比例、反比例。這兩部分內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn),即從算術(shù)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向代數(shù)的學(xué)習(xí),從對“數(shù)量”的理解轉(zhuǎn)向?qū)?#8220;關(guān)系”的探討。它們是后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。
一,內(nèi)容變化解讀。
與傳統(tǒng)的“代數(shù)初步知識”、“比和比例”教學(xué)內(nèi)容相比,《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中的“式與方程”和“正比例、反比例”的內(nèi)容安排從表面上看,似乎沒有大的變化。但是《標(biāo)準(zhǔn)》在這兩部分內(nèi)容的目標(biāo)定位、具體要求以及相應(yīng)的教材編寫建議方面,有了許多實(shí)質(zhì)性的改變。在目標(biāo)上更強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn):
1,重視教學(xué)內(nèi)容的思想價(jià)值。
在“式與方程”、“正比例、反比例”的研究中,充滿著已知與未知、特殊與一般、具體與抽象的對立與統(tǒng)一,充滿著運(yùn)動(dòng)、變化的思想。以學(xué)生所要學(xué)習(xí)的“正比例”為例,其圖像的呈現(xiàn)形式,從表面上看是靜止的,但從列表、描點(diǎn)到連線這一過程看,卻是運(yùn)動(dòng)的、變化的。再進(jìn)一步考察,畫成的圖像從表面上看是完整的,其實(shí)是局部的、不完整的。因?yàn)樗€可以延伸,即不斷地運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化。
在以往的教學(xué)中,重視的往往是教學(xué)內(nèi)容本身,就內(nèi)容教內(nèi)容,忽視這些內(nèi)容所包含的重要的數(shù)學(xué)思想與教育價(jià)值,從而使教學(xué)如同蜻蜓點(diǎn)水,缺乏深度與后繼生長力。我們應(yīng)充分認(rèn)識到“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及教育價(jià)值,不露痕跡地滲透于教學(xué)過程中,促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的理解與掌握,提高認(rèn)識能力,形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如“用字母表示數(shù)”,是數(shù)學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行辯證思維教育的開端。列含有字母的式子,可以使學(xué)生體會(huì)“用字母表示數(shù)”能夠簡潔地表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,方便地表達(dá)一般規(guī)律,是對數(shù)量關(guān)系的概括性表述;而在“求含有字母的式子的值”的學(xué)習(xí)中,通過將每一個(gè)變量取定一個(gè)數(shù)值代入式子,經(jīng)運(yùn)算而獲得一個(gè)確定的值的過程,使學(xué)生體會(huì)“對應(yīng)”的思想,領(lǐng)悟“變化”與“確定”之間的辯證關(guān)系。通過對“求含有字母的式子的值”操作過程的描述,即以具體的數(shù)值代替字母,可以使學(xué)生初步感受“換元”的思想??傊谟米帜副硎緮?shù)的教學(xué)中,可以有意識地滲透符號化、對應(yīng)、換元等思想方法,既加深學(xué)生對“用字母表示數(shù)”的理解,又促進(jìn)他們接觸、了解代數(shù)的研究方法,初步體會(huì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法的精神實(shí)質(zhì)。再如,認(rèn)識比例的教學(xué),把圖形的擴(kuò)大、縮小與比例知識的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來,滲透數(shù)形結(jié)合的思想,既使“比例”的引入顯得比較直觀、自然,學(xué)生容易理解,也促進(jìn)學(xué)生感受數(shù)量關(guān)系與空間形式的聯(lián)系。
2,強(qiáng)調(diào)對模式與關(guān)系的體會(huì)、理解。
方程的學(xué)習(xí),以往注重的是有關(guān)概念和技能,如什么叫方程,什么叫方程的解,什么叫解方程,方程的解與解方程有什么不同,怎樣解方程等。再如列方程解應(yīng)用題,歷來被看作是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),在教學(xué)中,教師往往滿足于頭頭是道地給學(xué)生分析等量關(guān)系,機(jī)械地列出方程,解答問題。這樣的教學(xué),學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程,無法體會(huì)方程是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用意識和實(shí)踐能力的培養(yǎng)也就成了一句空話。
方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型?!稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)從“數(shù)學(xué)建模”的角度開展方程的教學(xué)。結(jié)合具體的總是情境教學(xué)方程的含義,如“用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系”,讓學(xué)生通過觀察、分析,寫出式子,再比較式子的異同,在討論和交流中,由具體到抽象感受、理解方程的含義。解方程的教學(xué),讓學(xué)生依據(jù)等式的性質(zhì)對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行變換,探求方程的解。教學(xué)列方程解決簡單的實(shí)際問題,要求學(xué)生在問題情境中,探索、研究、尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系,建立數(shù)量之間的相等關(guān)系,即把日常語言抽象成數(shù)學(xué)語言(數(shù)量關(guān)系式),進(jìn)而轉(zhuǎn)換成符號語言(方程式)。在經(jīng)歷多次這樣的活動(dòng)后,學(xué)生將逐步感受到方程與實(shí)際問題的聯(lián)系,領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程,提高解決問題的能力和信心。
函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。正比例、反比例中隱含的數(shù)學(xué)函數(shù)思想,對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科有重要的促進(jìn)作用。學(xué)習(xí)正比例、反比例,數(shù)學(xué)思維方式發(fā)生重要轉(zhuǎn)折,即思維從靜止走向運(yùn)動(dòng),從離散走向連續(xù),從運(yùn)算走向關(guān)系。以入教學(xué)“正比例、反比例”,教師的著力點(diǎn)往往是引導(dǎo)學(xué)生判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成比例,是成正比例還是反比例,以及怎樣應(yīng)用比例知識解答應(yīng)用題。在《標(biāo)準(zhǔn)》中,通過繪圖、估計(jì)值、找實(shí)例交流等不同于以往的教學(xué)活動(dòng),幫助學(xué)生體會(huì)兩個(gè)變量之間相互依存的關(guān)系,豐富關(guān)于變量的經(jīng)歷,為以后學(xué)習(xí)函數(shù)概念打下基礎(chǔ)。
3,注重在具體情境中去體驗(yàn)、理解有關(guān)知識。
“式與方程”、“正比例、反比例”的具體教學(xué)目標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)“在具體情境中”進(jìn)行教學(xué)。這是因?yàn)?,小學(xué)階段,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從以具體形象思維為主要形式向抽象邏輯思維為主要形式過渡,其抽象邏輯思維在很大程度上仍與感性經(jīng)驗(yàn)直接相關(guān)聯(lián)。“式與方程”、“正比例、反比例”的內(nèi)容在表達(dá)形式上比較抽象,作為代數(shù)、函數(shù)學(xué)習(xí)的啟蒙階段,通過創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識背景密切相關(guān)的,又是學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)情境,把學(xué)習(xí)的過程置于一個(gè)學(xué)生能夠體驗(yàn)的環(huán)境,從而在直觀的感受中,理解字母表達(dá)式所反映的等量關(guān)系,并會(huì)用代數(shù)的方式解決一些實(shí)際問題,掌握正比例、反比例知識。這正如《標(biāo)準(zhǔn)》所認(rèn)為的:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律”。
如果說數(shù)字符號是對生活中各種物體個(gè)數(shù)的抽象概括,那么代數(shù)式則是對各種數(shù)字符號的抽象概括。在認(rèn)識用字母表示數(shù)時(shí),教材一般從學(xué)生熟悉的生活中選擇一些典型數(shù)量關(guān)系,先讓學(xué)生用算式表示問題的結(jié)果,再通過改變具體數(shù)量,抽象出用字母表示數(shù),寫出相應(yīng)的含有字母的式子。具體情境能激活學(xué)生已經(jīng)積淀的算術(shù)層面對數(shù)量關(guān)系的理解,支撐學(xué)生在代數(shù)層面對數(shù)量關(guān)系的理解。既使新知識“含有字母的式子”的學(xué)習(xí)過程有場景作依托,又使學(xué)生在讀解式子時(shí)便于產(chǎn)生聯(lián)想并理解和表述,使學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的代數(shù)知識中感到言之有物,還能認(rèn)識到代數(shù)的學(xué)習(xí)可以使我們對數(shù)量關(guān)系的表達(dá)更清晰、簡潔。這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程,幫助學(xué)生從“算術(shù)”走向“代數(shù)”,促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的概括性和抽象性,發(fā)展符號感。再如,“會(huì)用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”這一目標(biāo)的重點(diǎn)也是“在具體情境中,用方程建立等量關(guān)系”。
4,加強(qiáng)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。
以前小學(xué)階段的解方程,其基本依據(jù)是加與減、乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系。中學(xué)學(xué)習(xí)解方程用的是代數(shù)的方法?!稑?biāo)準(zhǔn)》明確要求:在小學(xué)里學(xué)習(xí)解方程也是利用等式的性質(zhì),這樣中學(xué)學(xué)習(xí)不再是另起爐灶。小學(xué)里解方程的教學(xué),與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接,不僅僅表現(xiàn)為解方程方法的一致,更有價(jià)值的是:思考問題的方法趨向一致。根據(jù)四則運(yùn)算的互逆關(guān)系解方程,屬于算術(shù)領(lǐng)域的思考方法;用等式性質(zhì)解方程,屬于代數(shù)領(lǐng)域的解方程。兩者有聯(lián)系,但后者是前者的發(fā)展與提高。這樣,在解方程的教學(xué)中,學(xué)生將逐步接受并運(yùn)用代數(shù)的方法思考、解決問題,使思維水平得到提高。
二,教材梳理。
在不同版本的教材中,這兩部分內(nèi)容的編寫有較多的一致性,如,都安排在第二學(xué)段,都采用了循序漸進(jìn)、螺旋上升的編寫方式。但具體到哪一冊教材安排了哪些內(nèi)容,不同版本的教材略有不同。由于數(shù)學(xué)知識前后之間具有系統(tǒng)性、邏輯性,因而各版本教材中具體知識點(diǎn)學(xué)習(xí)的先后順序是相同的。
1,遵循知識的形成過程,符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
以蘇教版教材為例,對“式與方程”、“正比例、反比例”這兩部分具體內(nèi)容的編排布局作如下的梳理。
“式與方程”——先是學(xué)習(xí)用字母表示數(shù),為學(xué)習(xí)方程及其他代數(shù)知識奠定基礎(chǔ)。用字母表示數(shù),教材先是通過簡單的問題情境,讓學(xué)生理解字母可以表示數(shù),并學(xué)習(xí)用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的計(jì)算公式;再聯(lián)系一些稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)用含有字母的式子表示稍復(fù)雜的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和計(jì)算公式,接著學(xué)習(xí)化簡形如“ax±bx”這樣含有字母的式子,既初步“涉足”代數(shù)式運(yùn)算,又為后繼學(xué)習(xí)了解形如ax±bx=c的方程作準(zhǔn)備。到方程部分,教材首先結(jié)合具體的情境,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識等式和方程,了解等式與方程的關(guān)系;再探索并理解等式的性質(zhì),學(xué)習(xí)解只有加法或減法、乘法、除法的簡單方程;然后學(xué)習(xí)列方程解決簡單的實(shí)際問題。在學(xué)習(xí)只有加、減、乘、除一步計(jì)算的方程之后,再由淺入深、由易到難,探討解稍復(fù)雜一些的方程以及解稍復(fù)雜一些的實(shí)際問題。在解決整數(shù)、小數(shù)實(shí)際問題的基礎(chǔ)上,結(jié)合分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí),探討列方程解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的實(shí)際應(yīng)用問題。
“正比例、反比例”——這部分內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中僅涉及“按比例分配”、“正比例、反比例”,猶如冰山露出水面之一角。按比例分配的學(xué)習(xí)前提是認(rèn)識比,比與分?jǐn)?shù)除法有著較多的聯(lián)系,因而教材在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除法之后,安排比的認(rèn)識,探索比的基本性質(zhì),并在比的應(yīng)用(按比例分配)中加深理解比。比的學(xué)習(xí)又是比例的基礎(chǔ),在學(xué)習(xí)正比例、反比例之前,教材安排了比例尺的學(xué)習(xí)。關(guān)于比例尺,教材先是通過實(shí)際問題認(rèn)識比例尺,理解比例尺的意義,再讓學(xué)生探索解決已知比例尺和圖上距離,求實(shí)際距離的實(shí)際問題以及綜合應(yīng)用比例尺和空間與圖形的知識解決實(shí)際問題。
2,教材對這兩部分內(nèi)容作了早期孕伏。
例如,學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”,字母并不是一下子很突兀地呈現(xiàn)于學(xué)生面前。在此之前,教學(xué)加法和乘法的運(yùn)算定律時(shí),已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生用字母表示各運(yùn)算定律;在第一學(xué)段學(xué)習(xí)長方形、正方形等平面圖形的面積計(jì)算時(shí),已經(jīng)接觸了用字母表示各圖形的面積計(jì)算公式;這些都是學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”的基礎(chǔ)。又如,學(xué)生通過前面幾個(gè)學(xué)期“算術(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí),對簡單實(shí)際問題中的基本數(shù)量關(guān)系已比較熟悉。以“速度、時(shí)間、路程”為例,在以往解決具體問題的過程中,學(xué)生初步理解了三者之間的關(guān)系,而在學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)之后,進(jìn)行抽象概括,用公式表示,這樣對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識與理解達(dá)到更高的抽象水平。而這些,又是學(xué)習(xí)方程時(shí)建立數(shù)學(xué)模型的重要知識基礎(chǔ)。再如,關(guān)于正比例、反比例的教學(xué),教材在此之前也安排了相關(guān)的問題設(shè)計(jì)。如蘇教版三年級教材結(jié)合乘法、除法的教學(xué),練習(xí)中安排了如下習(xí)題:
●王老師準(zhǔn)備用72元錢去買筆記本。如果買單價(jià)是2元的,能買多少本?如果買單價(jià)是3元、4元或6元的呢?
筆記本的單價(jià)
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2元
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3元
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4元
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6元
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買的本數(shù)
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觀察上表,你有什么發(fā)現(xiàn)?
●小紅家養(yǎng)了5匾蠶,平均每匾能收180個(gè)蠶繭。你能把下表填寫完整嗎?
匾的個(gè)數(shù)
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1
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2
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3
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4
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5
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蠶繭的個(gè)數(shù)
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180
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觀察上表,你有什么發(fā)現(xiàn)?
像這樣的練習(xí),學(xué)生通過計(jì)算、觀察、比較,體會(huì)數(shù)量之間相互依存的關(guān)系,為后繼學(xué)習(xí)正、反比例埋下伏筆。
三,教學(xué)中值得特別注意的問題。
“式與方程”是代數(shù)學(xué)習(xí)的開端;“正比例、反比例”使學(xué)生進(jìn)入對“關(guān)系”的探討。作為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn),教師在教學(xué)中要注意的問題比較多。下面結(jié)合一些具體案例作探討。
1,學(xué)習(xí)用字母表示數(shù),不能一蹴而就。
用字母表示數(shù)是代數(shù)學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié),理解用字母表示數(shù)的意義是學(xué)習(xí)代數(shù)的關(guān)鍵,也是在后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行交流的前提條件。字母表示數(shù)的思想,深刻地提示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性,把認(rèn)識和推理提到一個(gè)更高的水平。學(xué)生對用字母表示數(shù)的理解,要在經(jīng)歷大量運(yùn)用字母表示具體情境中數(shù)量關(guān)系的活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)。
英國關(guān)于兒童數(shù)學(xué)概念發(fā)展水平的研究表明,學(xué)生對字母表示數(shù)的理解方式可以概括為六個(gè)水平:
(1)一看到字母,就直接賦予它一個(gè)數(shù)值;(2)對題中的字母視而不見,不理睬,或者承認(rèn)其存在,但不賦予它任何意義;(3)把代數(shù)式中的字母看作具體物體的記號,或直接看作物體;(4)把字母看作特定的未知量,這時(shí)字母在兒童心中是某個(gè)(具體的)未知數(shù)的記號,可以直接參與運(yùn)算;(5)把字母看作廣義的數(shù),這時(shí),在兒童心中字母是數(shù),而且可以取多個(gè)值;(6)把字母看作變量,即兒童把字母看作可在一定范圍內(nèi)的變數(shù),兩組這種數(shù)之間有一種系統(tǒng)的關(guān)系。
研究還表明,只有少部分學(xué)生把字母看作廣義的數(shù),把字母看作變量的就更少了。大多數(shù)學(xué)生把字母當(dāng)作具體的對象。正如一位教授所言:“字母表示數(shù)”,是一個(gè)非常豐富而又“難產(chǎn)”的概念。由此,我們要建立這樣的認(rèn)識:學(xué)生經(jīng)歷從用數(shù)字表示數(shù)到用字母表示數(shù)的過程是一個(gè)漫長的過程,需要經(jīng)歷大量的活動(dòng),積累豐富的經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在具體情境中反復(fù)體會(huì)用字母表示數(shù)的意義。在小學(xué),學(xué)生對代數(shù)知識的認(rèn)識非常膚淺。例如,許多學(xué)生認(rèn)為2x=9與2y=9的意義不同。我們要注意糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成的不恰當(dāng)概念。在教學(xué)時(shí),從學(xué)生熟悉的生活中選擇一些典型的數(shù)量關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生用字母表示數(shù)。具體說來,要抓住三個(gè)環(huán)節(jié):如何引入用字母表示數(shù);怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解含有字母的式子不僅表示數(shù),還表示數(shù)量關(guān)系;注意讓學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)的好處。
案例1:用字母表示數(shù)
片段1:創(chuàng)設(shè)情境,引入用字母表示數(shù)。
課件呈現(xiàn)學(xué)生分小組用小棒擺三角形的場景。場景1:一組學(xué)生擺了1個(gè)三角形。場景2:一組學(xué)生擺了2個(gè)三角形。場景3:一組學(xué)生擺了3個(gè)三角形。場景4:一組學(xué)生擺三角形,但所擺的三角形的個(gè)數(shù)從場景中辨識不出來。
教師依次提問并完成板書:
擺1個(gè)三角形用3根小棒;
擺2個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是:2×3;
擺3個(gè)三角形用小棒的根數(shù)是:3×3;
場景4呈現(xiàn)后,提問:他們擺了多少個(gè)三角形?要用幾根小棒?
學(xué)生做出“擺4個(gè)三角形”、“擺5個(gè)三角形”等各種猜測后,有學(xué)生指出:他們可能擺了任意個(gè)三角形。
師:我贊同你的說法。擺任意個(gè)三角形,要用多少根小棒?
學(xué)生獨(dú)立思考后全班交流。
生1:可以用?×3,用?代表未知的多少個(gè)三角形。
生2:可以用( )×3。
生3:可以用X表示,用了X×3根。
師:X表示什么?
生3:X表示三角形的個(gè)數(shù)。
生4:用字母表示,用a表示。
師:當(dāng)不知具體有多少個(gè)時(shí),通常可以用字母表示數(shù)。(板書:用字母表示數(shù))
用字母表示數(shù),看似簡單,實(shí)則不然。如何引入字母?教師讓學(xué)生經(jīng)歷從“具體事物——個(gè)性化地用符號表示——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表示”這一逐步符號化、形式化的過程,在交流、分享的過程中豐富經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生用自己的語言進(jìn)行描述,并在師生互動(dòng)過程中運(yùn)用符號將這個(gè)關(guān)系和規(guī)律表示出來。
片段2:感悟含有字母的式子既表示數(shù),又表示數(shù)量關(guān)系。
師:咱們來玩?zhèn)€猜年齡的游戲。誰悄悄地在我耳邊告訴我:今年幾歲了?
學(xué)生耳語時(shí),教師板書:b b+22
師:如果b和b+22中有一個(gè)是我的歲數(shù),有一個(gè)是他的歲數(shù),想一想,究竟哪一個(gè)表示我的歲數(shù),哪一個(gè)是他的呢?說說你的想法。
結(jié)合學(xué)生的回答,教師引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)“從式子b+22中可以看出老比這位學(xué)生大22歲”。
師:看到這個(gè)式子b+22,你能聯(lián)想到什么呢?比如,他1歲時(shí),我多大?
學(xué)生例舉回答學(xué)生的歲數(shù)與老師的歲數(shù)之后,教師小結(jié):字母b表示的是一個(gè)可以變化的數(shù),但只要b確定了,b+22就是一個(gè)確定的數(shù)。
師:如果用n表示老師的歲數(shù),這位學(xué)生的歲數(shù)可以表示為——
生:n-22。
師:從這個(gè)式子中,我們可以看出:這位學(xué)生比老師——
生:小22歲。
師:對!n-22,既表示這位同學(xué)的歲數(shù),又表示了他和我兩人歲數(shù)之間的關(guān)系。
用字母表示數(shù)的教學(xué),學(xué)生除了經(jīng)歷運(yùn)用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的過程之外,反過來,當(dāng)他們面對一個(gè)含有字母的式子時(shí),要能理解它所代表的實(shí)際意義,理解其中所蘊(yùn)含的規(guī)律,并據(jù)此進(jìn)行解釋或解決問題。上面的教學(xué),熟悉的具體場景給學(xué)生一個(gè)從具體到抽象的依據(jù)和支柱,使學(xué)生既能夠從具體情境中抽象出“含有字母的式子”,讀懂式子的含義,又能夠面對一個(gè)含有字母的式子聯(lián)想情境,闡述基子所表示的意義。通過b和b+22的比較,幫助學(xué)生讀懂b+22這個(gè)含有字母的式子的內(nèi)涵,領(lǐng)會(huì)其同意又表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。
片段3:體會(huì)用字母表示數(shù)的簡潔與便利。
師:我們已學(xué)過運(yùn)算定律。還記得嗎?能寫出來嗎?
學(xué)生在表格中填寫后,教師指著加法交換律a+b=b+a,提問:a和b分別表示什么?
生:a、b表示兩個(gè)加數(shù),兩個(gè)加數(shù)交換位置,和不變。
師:為什么不用數(shù)表示?
生:簡單。
師:用具體的數(shù)只能反映具體的例子,有局限性,用字母表示呢?
生:字母可以表示任意一個(gè)數(shù),數(shù)字只表示具體的一個(gè)數(shù)。
出示文字:兩個(gè)數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變。
師:為什么不用文字表示?
生:用字母表示方便。
生:不啰唆。
師:是的,用字母表示,簡明易記,便于應(yīng)用。
教師充分利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)“舊話重提”,通過對以往已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)用字母表示運(yùn)算定律進(jìn)行再認(rèn)識,促使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)字母可以代表任何數(shù),并初步體會(huì)用字母表示數(shù)的簡明與普遍性。
2,認(rèn)識方程,不能一告了之。
方程思想的首要方面是“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出方程,體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型”。因此,教學(xué)應(yīng)通過設(shè)計(jì)豐富的情境,讓學(xué)生經(jīng)歷建立方程模型的過程。在教學(xué)認(rèn)識方程時(shí),教師就要有“建模”意識。
小學(xué)生由于認(rèn)識的局限性,他們往往把運(yùn)算中的等號看作是“做什么”的標(biāo)志。如在算式“3+2”的后面寫上等號,往往被理解為執(zhí)行運(yùn)算的標(biāo)志。他們通常把等號解釋為“答案是……”而實(shí)際上,他們應(yīng)把等號看作是相等和平衡的符號,逐步認(rèn)識到:這個(gè)符號表示一種關(guān)系,即等號兩邊的數(shù)量是相等的,也就是在3+2與5之間建立了相等的關(guān)系。由此可見,在以往的教學(xué)中我們要注意糾正如下“錯(cuò)誤”,如,學(xué)生學(xué)習(xí)兩步計(jì)算的實(shí)際問題時(shí),有學(xué)生列出這樣的算式:3×5=15+2=17(本),而正確的寫法應(yīng)當(dāng)是:3×5=15(本),15+2=17(本),或3×5+2=17(本)。認(rèn)識方程以及后續(xù)方程的學(xué)習(xí),等式是學(xué)生需要面臨和著力理解的重要代數(shù)概念。
案例2:“方程的意義”片段(河南 牛獻(xiàn)禮)
場景1:超市舉行學(xué)習(xí)用品大展銷。部分商品的標(biāo)價(jià)是:日記本單價(jià)5元,文具盒單價(jià)10元,足球單價(jià)30元,書包、乒乓球拍未標(biāo)注單價(jià)。
師:書包、乒乓球拍的單價(jià)不知道,我們可以怎么表示?
生:分別用x、y表示它們的單價(jià)。
師:如果拿50元錢去購買商品,用錢的結(jié)果會(huì)有哪幾種不同的情況?(三種情況:有余額、不夠、剛好用完。)
師:如果請你自己購物的話,你準(zhǔn)備選擇什么?把你的購買情況與用錢結(jié)果用式子表示出來。
學(xué)生獨(dú)立思考,根據(jù)不同買法寫出不同的式子:30+10+5×250,30+x=50,10+y<50等。
場景2:一場籃球比賽,紅、藍(lán)兩隊(duì)打得很激烈。組織學(xué)生根據(jù)場景圖中的信息用數(shù)學(xué)式子表示兩隊(duì)比分關(guān)系:26<33。
師:紅隊(duì)教練叫暫停,作了戰(zhàn)術(shù)調(diào)整,剛上場的一段時(shí)間里,只有紅隊(duì)連續(xù)得了x分,請你猜一猜,兩隊(duì)的情況會(huì)怎樣呢?你能用數(shù)學(xué)式子表示比分可能出現(xiàn)的幾種關(guān)系嗎:26+x<33,26+x>33,26+x=33。
場景3:天平上,4塊月餅的質(zhì)量一共是400克。學(xué)生用式子表示:4x=400。
場景4:一個(gè)水壺里裝滿了2000毫升水,剛好倒?jié)M2個(gè)熱水瓶和1個(gè)200毫升的杯子。學(xué)生用式子表示:2x+200=2000。
教師將剛才對場景描述所得到的式子集中呈現(xiàn)。
師:你能把這些式子按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類嗎?在小組里先說一說,再匯報(bào)。
組1:我們把有等號的式子分成一類,有大于號、小于號的式子分成一類。
根據(jù)學(xué)生的匯報(bào),教師將上述式子作如下整理:
是否是等式
30+10+5×2=50 10+y<50
30+x=50 26<33
26+x=33 26+x<33
4x=400 26+x>33
2x+200=2000
組2:有的式子中有字母,可分成一類;式子中沒有字母的,分成一類。
師:對!字母在這些式子中表示的是——未知數(shù)。我們可以把這樣的分類方法和剛才一組匯報(bào)的分類方法綜合起來。
教師對上述整理的式子進(jìn)行整理。
是否是等式
① ②
30+x=50 10+y<50
26+x=33 26+x<33
4x=400 26+x>33
2x+200=2000
是否含有
未知數(shù) 30+10+5×2=50 26<33
③ ④
師:我們同學(xué)通過思考、交流,把這些式子分成了4類。請觀察這4類式子,說一說每一類式子有什么特征?
……
師:正如我們同學(xué)所描述的像第①類式子這樣,含有未知數(shù)的等式是方程。
以上教學(xué)片段,從生活實(shí)際——購物場景中引入,學(xué)生有生活的經(jīng)驗(yàn),很自然地想到用錢結(jié)果會(huì)有三種情況,用式子表示,引出等式與不等式;在等式與不等式的比較中建構(gòu)對“相等關(guān)系”、“等式”的理解。接著,在不同的場景中,用數(shù)學(xué)方式表述現(xiàn)實(shí)場景中各種關(guān)系,再通過觀察、比較、分類、交流等活動(dòng),概括方程概念。概念的構(gòu)建過程,并不是由教師機(jī)械地傳授乃至直接告訴學(xué)生,而是用數(shù)學(xué)符號提煉現(xiàn)實(shí)生活中特定關(guān)系的過程。方程對小學(xué)生來說,不僅是形式上的認(rèn)識,也是感受在解決實(shí)際問題過程中建立模型的過程。
3,解方程的教學(xué),不能一仍舊貫。
方程作為一種重要的思想方法,它對豐富學(xué)生解決問題的策略,提高解決問題的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義。與以往教學(xué)不同的是,解方程的教學(xué),一是與解決實(shí)際問題結(jié)合,學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題列出方程后,再探索方程的解法。二是學(xué)生在解方程的過程中,要探索、理解再應(yīng)用等式的性質(zhì)。我們還要認(rèn)識到:解方程的著眼點(diǎn)不僅僅是去求方程的解的過程,而是在求方程的解的過程中,進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的變換,進(jìn)一步體會(huì)“相等關(guān)系”。
案例3:“利用等式的性質(zhì)解方程”教學(xué)片段
出示場景圖:一共有9個(gè)皮球,盒內(nèi)有x個(gè),盒外有3個(gè)。
提問:你能根據(jù)圖列出方程嗎?
板書:x+3=9
啟發(fā):怎樣解這個(gè)方程?你有什么辦法?把你的辦法先和小組里的同學(xué)交流。
學(xué)生在全班交流后,教師運(yùn)用課件將天平圖如如下動(dòng)態(tài)演示:
![](http://image25.360doc.com/DownloadImg/2011/03/2621/10375417_1.jpg)
結(jié)合演示過程,板書解方程的過程。
引導(dǎo):x=6是不是正確的答案呢?我們可以通過檢驗(yàn)來判斷……
從以上教學(xué)片段可見,“天平”為處理方程提供了一個(gè)強(qiáng)有力的智力圖像。方程類似于一組天平,方程中的等號表示處于平衡狀態(tài),用天平平衡的道理,形象直觀地幫助學(xué)生深化對“相等關(guān)系”的理解。利用等式性質(zhì)解方程,重要的是幫助學(xué)生建立如下規(guī)則:在等式的兩邊進(jìn)行相同的運(yùn)算,那么平衡就得到了維持。解方程的過程,不能演繹為操作、訓(xùn)練解方程技巧的過程,而應(yīng)當(dāng)成為深刻理解上述規(guī)則的過程。
還要指出的是:在教學(xué)解方程的過程中,注意教給學(xué)生檢驗(yàn)的方法,并在練習(xí)中經(jīng)常提醒學(xué)生對解方程過程中的每一步進(jìn)行檢驗(yàn)。
4,比的認(rèn)識與應(yīng)用教學(xué),不能一語道破。
掌握比是學(xué)習(xí)正、反比例的基礎(chǔ)。比的概念實(shí)質(zhì)上兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較,表示它們之間的倍比關(guān)系。任何相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量的比,都可以抽象為兩個(gè)數(shù)的比。在認(rèn)識比時(shí),我們應(yīng)以比的意義的理解為突破口,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入對兩個(gè)數(shù)關(guān)系的探討。這一過程,不是由由用一兩句話去說明,而應(yīng)由學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中充分感悟。
案例4:“比的意義”教學(xué)片段(湖北 劉建紅)
師:最近,市質(zhì)監(jiān)局對市場上甲、乙兩種太陽能熱水器的質(zhì)量狀況進(jìn)行抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果是這樣的:
師:如果我想買一臺熱水器,大家?guī)臀页龀鲋饕猓瑧?yīng)該買哪個(gè)系列呢?為什么?
生:應(yīng)該買乙系列熱水器。這是因?yàn)?/span>5>2,甲系列不合格數(shù)>乙系列不合格數(shù)。
師:你說得有道理。如果抽查的情況是這樣的——
|
不合格數(shù)
|
抽查臺數(shù)
|
甲
|
5
|
150
|
乙
|
2
|
50
|
師:你現(xiàn)在的想法是——
生:我覺得應(yīng)該買甲系列熱水器,這是因?yàn)榧紫盗械牟缓细衤蕿?/span>5÷150=
,乙系列的不合格率為2÷50=
,
>
。
師:你很有見解,我先同。這是從甲、乙兩大系列不合格臺數(shù)占抽查臺數(shù)的比率,比較出兩者之間的關(guān)系和區(qū)別。你知道還可以怎樣比嗎?
生:還可以通過先求出兩大系列不合格臺數(shù)與抽查臺數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系來比:5÷2=2.5;150÷50=3。
生:還可以用150÷5=30,50÷2=25,……
師:請大家觀察這些比較的方法,有什么相同的地方?
生:都是用除法來比的。
師:對!都是運(yùn)用除法比較兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,這又可以用一種新的表示形式:比。
板書:
5÷150 甲系列不合格臺數(shù)和抽查臺數(shù)的比是5比150。
2÷50 乙系列不合格臺數(shù)和抽查臺數(shù)的比是2比50。
5÷2 甲系列不合格臺數(shù)和乙系列不合格臺數(shù)的比是5比2。
150÷5……
50÷2……
師:請大家觀察板書的內(nèi)容,同桌交流一下,什么叫做比?
……
以上教學(xué)在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,通過引導(dǎo)比較兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,逐步領(lǐng)悟:單純從絕對量的多少進(jìn)行比較是不夠的,有時(shí)有一定的局限性,還要用相對量來比較。再根據(jù)知識的連接點(diǎn)和生長點(diǎn),從“運(yùn)用除法,比較兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)入對“比”的認(rèn)識,讓學(xué)生感受到“比是兩個(gè)數(shù)之間關(guān)系的一種表示形式”,從而緊緊扣住“比”的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,幫助學(xué)生初步建立比的概念。
按比例分配在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,它的數(shù)學(xué)意義是應(yīng)用比的概念把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。教學(xué)“按比例分配”,以往較多的是關(guān)注如何解決問題,甚至是應(yīng)用不同的解法解決問題,但弱化了對比的意義的理解。下面的教學(xué)中,教師注重在解決問題的過程中從理解比的意義出發(fā),既解決了問題,又體會(huì)了比的應(yīng)用,深化了對比的理解。
案例5:“按比例分配”
教師出示規(guī)格為5×5的方格圖:這節(jié)課,先請大家做一個(gè)涂色練習(xí)。
學(xué)生躍躍欲試。
師:請給25個(gè)方格分別涂上紅色或黃色。
學(xué)生面露不解之色,有學(xué)生質(zhì)疑:紅顏色涂多少格?黃顏色呢?
師:你能用數(shù)學(xué)語言間接說明紅、黃顏色的方格各涂多少嗎?
生:紅色的方格占
,黃色的方格占
。
師:你是應(yīng)用“分?jǐn)?shù)”進(jìn)行陳述,如果告訴我們:紅色方格個(gè)數(shù)與黃色方格的比是3:2,你能涂出來嗎?怎么想呢?
……
師:從“3:2”中我們知道了什么?
生:紅色方格個(gè)數(shù)與黃色方格個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。
師:對!比,提示了兩者之間的關(guān)系。
從條件缺失到提示3:2及對3:2的追問,教師的著眼點(diǎn)都是讓學(xué)生感受按比例分配的過程,是理解比的過程,也是體會(huì)比的意義與價(jià)值的過程,從而將學(xué)生的視角引向?qū)?#8220;關(guān)系”的關(guān)注。
5,學(xué)習(xí)正比例和反比例,不能一概而論。
正比例和反比例是兩個(gè)變量的考察。與以往相比,無論是內(nèi)容還是要求,變化都比較大。首先,我們要注意的是:要通過具體問題的討論,使學(xué)生認(rèn)識成正比例和反比例的量,而不能背誦形式化的結(jié)論。
根據(jù)正比例、反比例的意義,判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成正比例,比較抽象,學(xué)生不易理解。因此需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)具體的問題幫助學(xué)生認(rèn)識。例如,一輛汽車在高速公路上行駛,每小時(shí)行100千米,2小時(shí)行多少千米?3小時(shí)、4小時(shí)……呢?學(xué)生在回答這些問題后,可以讓學(xué)生把相關(guān)的數(shù)據(jù)填入表格中,然后說一說有什么發(fā)現(xiàn),時(shí)間和路程有什么變化,這兩種變化著的量之間存在什么關(guān)系?接著再舉此類問題的實(shí)例,讓學(xué)生充分討論,教師給予歸納,引出相關(guān)概念。
在了解了什么是成正比例、反比例關(guān)系的量之后,我們還要注意:對正比例、反比例的教學(xué)要求是不同的,《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出:通過將正比例關(guān)系描繪在有坐標(biāo)系的方格紙上,加深學(xué)生對正比例的認(rèn)識。
案例6:正比例
教師在課始即明確“以前從數(shù)的角度學(xué)了正、反比例,今天再從‘形’的角度繼續(xù)學(xué)習(xí)正比例的意義”。然后出示兩個(gè)表格的數(shù)據(jù)(見下圖),請學(xué)生自選一個(gè),在方格圖上描出各點(diǎn),再把各點(diǎn)順次連接起來,看看圖像如何,與同伴交流。
例1:
時(shí)間(小時(shí))
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
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路程(千米)
|
50
|
100
|
150
|
200
|
250
|
300
|
例2:
耕地時(shí)間(小時(shí))
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
耕地面積(公傾)
|
50
|
100
|
150
|
200
|
250
|
300
|
學(xué)生畫圖,小組交流,再全班交流。學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的是一條直線,并且都是向上的,也能解釋原因。老師再出示兩組正比例圖象,坐標(biāo)分別是鋼筆支數(shù)與錢數(shù)、公里數(shù)與時(shí)間,并要求學(xué)生說明圖象表示的具體數(shù)關(guān)系,以及具體直線上某點(diǎn)代表的意義。
圖像對于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義,其作為表示變化規(guī)律的方法之一,有著其他表示方式不能替代的作用。上面的教學(xué)將正比例關(guān)系用坐標(biāo)系的圖像來表示,相應(yīng)的關(guān)系“可視化”,進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想。數(shù)形結(jié)合,促進(jìn)學(xué)生對成正比例的量的變化規(guī)律有一個(gè)形象鮮明的印象,使學(xué)生能在日常語言與圖、表語言之間靈活轉(zhuǎn)換。
一個(gè)凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)領(lǐng)域
——“探索規(guī)律”備課解讀與難點(diǎn)透視
浙江省杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心課題組
一,《標(biāo)準(zhǔn)》解讀。
數(shù)學(xué)從屬于科學(xué),那么數(shù)學(xué)是一門怎樣的科學(xué)?在這些根源性問題的哲學(xué)思辨中,“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”得到了更多的認(rèn)同。“也就是說,在數(shù)學(xué)中我們是通過(量化)模式的建構(gòu),并以此為直接對象來從事客觀世界量化規(guī)律性研究的。”基于此,我們就能理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在大量的規(guī)律、公式和算法,也就不難理解《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》從一個(gè)新的視角定位“探索規(guī)律”,并對學(xué)生探求模式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出新的要求。
《標(biāo)準(zhǔn)》把“探索規(guī)律”作為內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的一個(gè)重要方面,第一學(xué)段要求:發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的簡單規(guī)律;第二學(xué)段要求:探求給定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢。同時(shí)還要求“探索并理解簡單的數(shù)量關(guān)系”、“探索和理解運(yùn)算規(guī)律”、“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”,等等。“探索規(guī)律”蘊(yùn)藏著重要的教育內(nèi)涵和價(jià)值,也從一個(gè)側(cè)面說明了“探索規(guī)律”的教育地位和意義。探索規(guī)律并非是一個(gè)全新的內(nèi)容,在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中早有呈現(xiàn),只是沒有得到高度重視和持續(xù)關(guān)注,知識相對散落,編排較為隨機(jī)。在新課程中,這部分內(nèi)容被獨(dú)立出來,其實(shí)也只是相對獨(dú)立,因?yàn)樗€是要依托“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”等領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識和基本技能。
二、“探索規(guī)律”的教學(xué)意義。
《辭海》將“規(guī)律”解釋為:事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系和趨勢。至于“探索”,則是當(dāng)代學(xué)習(xí)理論所倡導(dǎo)的,強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考和發(fā)現(xiàn)。因此,探索規(guī)律是一個(gè)發(fā)現(xiàn)關(guān)系、發(fā)展思維的過程,有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ),更能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考,凸顯過程與方法,同時(shí),也能夠讓學(xué)生在自主探索與思考中感受到學(xué)習(xí)的快樂,形成積極的學(xué)習(xí)情感與態(tài)度。
1,實(shí)現(xiàn)夯實(shí)基礎(chǔ)與思維發(fā)展的結(jié)合。
注重“雙基”,規(guī)律的探索才會(huì)變得更有可能。探索規(guī)律不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“空中樓閣”,它是在認(rèn)識個(gè)體學(xué)習(xí)對象的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)個(gè)體之間的關(guān)系或者事物發(fā)展趨勢的過程。而這種關(guān)系或趨勢的獲得,從某種角度看來,恰愉是在追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì),是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程。因此,探索規(guī)律的加強(qiáng),為實(shí)現(xiàn)夯實(shí)基礎(chǔ)與思維發(fā)展之間的結(jié)合提供了更多的可能。
案例1:
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從掌握基本知識和技能的角度看,本題要求學(xué)生能根據(jù)具體的實(shí)物用相應(yīng)的數(shù)來表示,并能正確書寫。然而作為探索規(guī)律的要求,則是在這個(gè)基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)圖與圖、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,能夠從這些數(shù)中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的變化規(guī)律:每次都多2。這種基于一組數(shù)據(jù)現(xiàn)象的概括,從關(guān)注實(shí)物與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系到關(guān)注數(shù)與數(shù)之間的變化關(guān)系,正是探索規(guī)律所追尋的思維發(fā)展的具體體現(xiàn)。
2,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。
改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式是新課程的一個(gè)主要目標(biāo)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有多種學(xué)習(xí)方式并存,我們應(yīng)該處理好接受性學(xué)習(xí)與自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式之間的關(guān)系,兩者不能相互替代。因?yàn)?#8220;學(xué)什么與怎樣學(xué)是分不開的”,離開了學(xué)習(xí)內(nèi)容,學(xué)習(xí)方式本身也無優(yōu)劣之說。而作為探索規(guī)律的教學(xué),應(yīng)該依托內(nèi)容來驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行自主思考、主動(dòng)探究,根據(jù)需要進(jìn)行合作學(xué)習(xí)。
探索規(guī)律的內(nèi)容更需要學(xué)生自主思考。例如:5×5=( ),6×6=( ),7×7=( ),8×8=( ),…你能發(fā)現(xiàn)什么?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰的數(shù)的平方數(shù)之間的變化關(guān)系。這樣的探索規(guī)律,需要學(xué)生思考“是什么”,而且還要知道“為什么”,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中,不僅需要知道每一個(gè)算式的結(jié)果,而且還要發(fā)現(xiàn)結(jié)果之間的變化關(guān)系,而知道了變化關(guān)系:分別相差11,13,15,…也僅僅解決了規(guī)律是什么的問題。對于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說,還有一個(gè)更重要的問題是“為什么”。引導(dǎo)學(xué)生利用乘法的分配律來作解釋,如:6×6=(5+1)×(5+1)=5×5+5+5+1;也就是a×a=b×b+2b+1,a,b為相鄰的自然數(shù),a>b。學(xué)生反思探索規(guī)律的過程中有觀察、有猜想、有驗(yàn)證,而相應(yīng)的能力往往是在學(xué)生自主思考的過程中形成的。
探索規(guī)律中有一部分內(nèi)容可以采用合作學(xué)習(xí)的方式組織教學(xué),發(fā)展學(xué)生的合作能力。
案例2:神奇的“495”
任選三個(gè)數(shù),如7、9、2,組成一個(gè)三位數(shù),最大的數(shù)是( ),最小的數(shù)是( ),用最大的數(shù)減去最小的數(shù),差是( )。將差的三個(gè)數(shù)字再組成一個(gè)最大的三位數(shù)和一個(gè)最小的三位數(shù),求出它們的差,重復(fù)上面的做法。
972-279=693
963-369=594
954-459=
請你想三個(gè)不相同的數(shù)字,按上面的做法做一做,看看有什么發(fā)現(xiàn)。
在日常教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn),有的合作是來自老師的指令,而并非是學(xué)生的自覺自愿。理想的合作,應(yīng)該是在學(xué)生個(gè)體獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,因?qū)W習(xí)需要而自主尋求的合作。這個(gè)問題的關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)活動(dòng)本身是否需要合作。就該案例而言,當(dāng)出現(xiàn)結(jié)果是“495”后,便不斷地重復(fù)了,這會(huì)是一種巧合嗎?從教學(xué)的組織形式來分析,可以單獨(dú)完成,也可以小組合作。我們可以想見,與獨(dú)立學(xué)習(xí)相比,小組之間的合作探究從知識形成的角度來說,獲得的規(guī)律更具有數(shù)學(xué)的普遍性,因?yàn)槔C不是來自一個(gè)個(gè)體,而是一個(gè)群體。當(dāng)然,小組合作與獨(dú)立學(xué)習(xí)相比還有其他的教育價(jià)值。
探索規(guī)律本身就是一種探究活動(dòng)。探究性學(xué)習(xí)不僅天然地應(yīng)成為其普遍的學(xué)習(xí)方式,反過來,探索規(guī)律這一內(nèi)容也能很好地發(fā)展學(xué)生的探究能力。
案例3:曬50塊手帕要多少個(gè)夾子呢?
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像這樣用一個(gè)夾子夾住相鄰的兩塊手帕,一共要多少個(gè)夾子?
與一般基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)相比,探索規(guī)律的教學(xué)具有更大的思維強(qiáng)調(diào),具有更大的挑戰(zhàn)性和思維驅(qū)動(dòng)性。求夾50塊手帕所要的夾子,首先要通過學(xué)生的理解,把這個(gè)生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,這是思維的抽象,也是數(shù)學(xué)化的過程。50塊手帕,那么多,直接去操作太麻煩,所以要促使學(xué)生主動(dòng)探尋其中的規(guī)律。怎么發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢?先從數(shù)量少的開始,1塊,2塊,3塊,4塊……從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律:夾子個(gè)數(shù)比手帕塊數(shù)多1。是不是所有的情況都是這樣的呢?然后驗(yàn)證。最后,再應(yīng)用規(guī)律解決問題。這個(gè)探索規(guī)律的過程,就是一個(gè)“觀察思考發(fā)現(xiàn)問題,提出猜想,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,驗(yàn)證規(guī)律,應(yīng)用規(guī)律解決問題”的過程。這個(gè)過程也正是一個(gè)學(xué)生主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)過程。作為致力于發(fā)展思維的探索規(guī)律來說,其內(nèi)容更具綜合性和間接性,并不是基礎(chǔ)知識的簡單回顧或重復(fù),也不是基本技能的同一水平層次的操練或鞏固,而是一種提升,需要學(xué)生從綜合性問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,或者將具有現(xiàn)實(shí)性的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。探索規(guī)律的這些特點(diǎn),決定了它的教學(xué)與探究性學(xué)習(xí)的不解之緣。
至此,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式不是來自教師的指令,而是來自探索規(guī)律的內(nèi)容本身。這樣的學(xué)習(xí)方式是來自學(xué)生內(nèi)需,不是外在的壓力,更不是一種形式上的模仿。
3,給學(xué)生創(chuàng)造成功的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。
教育俗語“跳一跳,摘桃子”,是寓意學(xué)習(xí)具有一定的挑戰(zhàn)性,學(xué)生才會(huì)樂于參與,才會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)的成功感。從教育學(xué)“成就動(dòng)機(jī)理論”也同樣可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)問題的成功可能性P=50%時(shí),學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度最大,最愿意參與學(xué)習(xí)。在教學(xué)實(shí)踐中,我們也可以發(fā)現(xiàn)“隨隨便便的成功,學(xué)生很難有深刻的體驗(yàn)”。由此,與一般的教學(xué)內(nèi)容相比,探索規(guī)律具有一定的挑戰(zhàn)性,具有吸引學(xué)生參與學(xué)習(xí)、參與挑戰(zhàn)的一種潛質(zhì),探索規(guī)律的教學(xué),能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,讓學(xué)生在探究過程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)成功的不易,同時(shí)也真切地體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂。
案例4:探索 幾十一乘幾十一的乘法速度(《現(xiàn)代小學(xué)新數(shù)學(xué)》第6冊)
1,根據(jù)下面的算式和乘積,尋找規(guī)律。
11 21 31 51
×11 ×41 ×41 ×61
121 861 1271 3111
2,分小組討論:算式的特點(diǎn)和積的規(guī)律。
3,用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做下面各題。
21×21= 61×81=
41×41= 31×51=
71×51= 91×31=
在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生來探索特殊類型乘法算式速算的規(guī)律,首先引導(dǎo)學(xué)生觀察算式,概括出特殊類型的特征,然后發(fā)現(xiàn)積與乘數(shù)之間的關(guān)系,提出猜想,再通過舉例,驗(yàn)證猜想,表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一旦學(xué)生發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律,這樣不僅方便了計(jì)算,更增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心。
三、教學(xué)內(nèi)容分析。
著名優(yōu)秀教師張?zhí)煨⑾壬恢鳖^注小學(xué)生思維能力的培養(yǎng),他認(rèn)為對于小學(xué)生而言,探索規(guī)律在內(nèi)容上,除了對數(shù)學(xué)中的法則、共識、性質(zhì)等規(guī)律的探索以外,還包括數(shù)、式、符號、圖形排列規(guī)律的探索,也包括數(shù)與數(shù)之間的規(guī)律和運(yùn)算規(guī)律的探索以及數(shù)形結(jié)合規(guī)律的探索等內(nèi)容。
1,探索數(shù)的規(guī)律。
案例5:
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如上圖:教材以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了“排隊(duì)”的情景,將1~5五個(gè)自然數(shù)依次呈現(xiàn),形象地提示了相鄰數(shù)之間的關(guān)系,讓學(xué)生從整體上感知自然數(shù)組成的基本原理:每一個(gè)數(shù)比前面一個(gè)數(shù)大1,反之前一個(gè)數(shù)比后一個(gè)數(shù)小1,引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)的序列性規(guī)律。
探索數(shù)的規(guī)律,不是游離于數(shù)的認(rèn)識的一種“另辟蹊徑”,而是基于數(shù)的認(rèn)識,同時(shí)又不局限于單個(gè)數(shù)的認(rèn)識,用發(fā)現(xiàn)多個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系或者變化規(guī)律,以此來加深對數(shù)的理解。對于低年級的學(xué)生來說,除了規(guī)律本身,這種樂于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的意識也是值得關(guān)注的。弗賴登塔爾就曾舉過一個(gè)例子:小朋友從1數(shù)到100,有時(shí)他們會(huì)很不耐煩地?cái)?shù),數(shù)了一些數(shù)后,31,32,33,34,35,…“就這樣繼續(xù)下去”。就怎樣繼續(xù)下去呢?0后面是1,1后面是2,2后面是3,…,9后面是0,同時(shí)在左邊添加1。之所以這樣說,說明學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。我們不期望他們?nèi)フJ(rèn)識多位數(shù),也不期望他們明白無限大的存在,我們珍視的是學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的意識。
2,探索式的規(guī)律。
案例6:
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把一些算式排列在一起,讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律也是“探索規(guī)律”的內(nèi)容。如上案例中,奪紅旗的兩條不同路線,安排了兩組不同的進(jìn)位加法算式,在計(jì)算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。雖然算式簡單,但蘊(yùn)藏的規(guī)律卻非常豐富。從左側(cè)的加法算式中,引導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn):加數(shù)7不變,另一個(gè)加數(shù)遞曾1,結(jié)果和也遞增1;從右側(cè)看,加數(shù)8不變,另一個(gè)加數(shù)遞增1,結(jié)果和也遞增1。而橫向比較,還蘊(yùn)含的規(guī)律是:一個(gè)加數(shù)增加1,另一個(gè)加數(shù)減少1,和相等。這樣的探索規(guī)律,起點(diǎn)低,但拓展空間大。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中,重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)探求方法、總結(jié)規(guī)律,而不是死記結(jié)論,只有經(jīng)過自己的探索,才能“知其然”,并知其“所以然”。探索式的規(guī)律,就不只要求知道式的結(jié)果,而是通過比較發(fā)現(xiàn)式與式之間的異同,發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律,而應(yīng)用規(guī)律又能作用于式的結(jié)果的得出。
3,探索形的規(guī)律。
案例7:六連方
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6個(gè)正方形會(huì)有多少種不同的排列法呢?引導(dǎo)學(xué)生如何有序地排列才能不遺漏不重復(fù)呢?在這個(gè)排列的過程中,學(xué)生需要正確辨別各個(gè)正方形之間的空間位置關(guān)系,也要弄清圖形與圖形之間的關(guān)系,看是否有重復(fù)。引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作,如通過畫圖探索六連方的規(guī)律。在畫出所有的六連方后,結(jié)合對正方體的認(rèn)識,再繼續(xù)探索:哪些六連方會(huì)是正方體的展開圖呢?進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。類似于這樣探索圖形之間的變化規(guī)律,就是探索形的規(guī)律的主要內(nèi)容。
4,探索數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律。
案例8:
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數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的基本內(nèi)容,將數(shù)與形的規(guī)律加以聯(lián)系,讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,是“探索規(guī)律”的另一個(gè)重要內(nèi)容。
如上案例,先觀察上面圖形與下面圖形中數(shù)的變化,再根據(jù)規(guī)律在下面的空格中填上合適的數(shù)。學(xué)生在解決這些問題時(shí),如果只從數(shù)或形的規(guī)律去思考是不夠的。一方面需要考慮圖形的對稱(上下對稱和左右對稱);另一方面需要考慮數(shù)的排列規(guī)律,通過數(shù)形結(jié)合的思想去探索規(guī)律,解決問題。在探索數(shù)與形的規(guī)律中,一方面關(guān)注數(shù)與數(shù)之間的大小變化關(guān)系;另一方面還關(guān)注了空間觀念的培養(yǎng),同時(shí)數(shù)形結(jié)合的探索規(guī)律也很好地把數(shù)學(xué)中的不同領(lǐng)域整合在一起。
四、探索規(guī)律的數(shù)學(xué)教育價(jià)值。
“探索規(guī)律”作為一個(gè)獨(dú)立的教學(xué)領(lǐng)域,其內(nèi)容之間有時(shí)也是相互交融、綜合呈現(xiàn)的,在一個(gè)問題情境中,既有數(shù)的規(guī)律、式的規(guī)律,也可能并存形的規(guī)律。不管內(nèi)容怎樣,都體現(xiàn)著豐富的教育價(jià)值。
1,有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號感。
新課程關(guān)注學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng),但學(xué)生的數(shù)感是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗(yàn)和建立起來的,探索規(guī)律作為一個(gè)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的重要部分,也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要載體。
案例9:
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1,看卡片,找規(guī)律,后面接著畫。
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教材巧妙地將“探索規(guī)律”滲透到認(rèn)識數(shù)等有關(guān)知識的教學(xué)中,采用看圖數(shù)數(shù)、寫數(shù)、填一填、圈一圈、找規(guī)律畫點(diǎn)等練習(xí)形式,讓學(xué)生在具體情境中感知和體驗(yàn)。在比較數(shù)與數(shù)之間的大小關(guān)系以及變化規(guī)律中,增強(qiáng)對數(shù)的感悟。
《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的符號感,并指出:“符號感主要表現(xiàn)在:能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,并用符號來表示。”探索規(guī)律的過程中,要把規(guī)律從具體的情境中抽象出一般的模型,就很需要借助符號來思考。這個(gè)符號不僅僅是一個(gè)代號,起著縮寫的簡約作用,更重要的是可以借助符號操作和推導(dǎo),發(fā)現(xiàn)規(guī)律的本質(zhì)。
案例10:
請你想好一個(gè)數(shù)記在心里,現(xiàn)在將它加上5,然后乘以2,再減去4,再除以2,然后減去你記在心里的那個(gè)數(shù),結(jié)果得到的數(shù)是什么?請你算出來,但不要告訴我,因?yàn)槲乙呀?jīng)知道了。請你猜我是怎么知道的?
n,n+5,2n+10,2n+6,n+3,3。
最后的結(jié)果一定是3。
在以上的教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,從而體驗(yàn)將問題解決過程“符號化”的優(yōu)越性。
2,有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。
觀察就是找出事物的特征、結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系,以便掌握數(shù)、形、式等規(guī)律。觀察題目的特征,聯(lián)想學(xué)過的有關(guān)知識,探索解題思路的過程,也就是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力的過程。
案例11:
整理“10以內(nèi)加法表”,學(xué)生可從多方向進(jìn)行觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律——①從橫行觀察……②從豎列觀察……③從斜列觀察……經(jīng)過討論交流、猜想、驗(yàn)證,作出一般的歸納,在頭腦中建立數(shù)學(xué)模型。
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學(xué)生通過觀察算式的排列規(guī)律、悟出道理和方法后,老師進(jìn)一步安排了“活動(dòng)與探索”的內(nèi)容:“應(yīng)用你觀察、發(fā)現(xiàn)算式之間的規(guī)律,獨(dú)立整理十幾加幾的算式”。學(xué)生親自經(jīng)歷“觀察規(guī)律——建立模型——解釋和應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程,體會(huì)到了規(guī)律的應(yīng)用價(jià)值。
3,有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。
“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”是《標(biāo)準(zhǔn)》對推理能力培養(yǎng)的主要闡述。能力發(fā)展絕不等同于知識和技能的獲得,不是“懂”了,也不是“會(huì)”了,而是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自己“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律、“悟”出道理和思想方法。這種“發(fā)現(xiàn)”只能在教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行,因此教材給學(xué)生提供了豐富的素材,創(chuàng)設(shè)了探索交流的空間,組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、探究、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”,并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在這樣的“過程”之中。
案例12:
這些算式有什么規(guī)律?
13―9= 15―9= 12―9=
14―9= 13―9= 15―8=
12―8= 14―8=
觀察算式,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?學(xué)生可能會(huì)猜想:減數(shù)不變,被減數(shù)與差之間的變化規(guī)律;也可能猜:被減數(shù)不變,減數(shù)與差之間的變化規(guī)律。驗(yàn)證:12-9=,14-9=;12―9=,12―8=;原來的猜想成立嗎?再繼續(xù)驗(yàn)證,結(jié)論成立嗎……這是一個(gè)經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的過程,既有合情推理又有演繹推理,學(xué)生學(xué)到的不只是結(jié)論,還包括學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想方法。
4,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。
探索規(guī)律的教學(xué)中可以提供一些開放題,通過信息呈現(xiàn)的選擇性與問題解決策略的多樣性,來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。
案例13:
1,□里該填什么數(shù)?
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
2,在□里填合適的數(shù),你有哪些不同的填法?
![](http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif)
第1題,學(xué)生根據(jù)相鄰數(shù)之間的遞增關(guān)系:2+1=3,3+2=5,5+3=8,8+4=12在方框里填12;也可以運(yùn)用相鄰數(shù)之和等于第三個(gè)數(shù)的規(guī)律,在方框里填13……同樣的問題,由于學(xué)生觀察規(guī)律的角度不同,因此呈現(xiàn)的思維方式不同,解題策略也不相同,培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維。第2題,由于題目只給出了一個(gè)數(shù),因此學(xué)生就可以根據(jù)對數(shù)、式、形規(guī)律的理解,自己構(gòu)建規(guī)律。筆者曾經(jīng)就類似的題目在一年級學(xué)生中做過案例分析,所測試的總?cè)藬?shù)中有86.2%的學(xué)生能構(gòu)建五種及以上的規(guī)律,共得出37種不同的方法,解題策略呈多樣性,這充分說明了“探索規(guī)律”的教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的重要性。
5,有利于滲透數(shù)學(xué)建模思想。
數(shù)學(xué)模型是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)語言,概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在探索規(guī)律的教學(xué)中,需要引導(dǎo)學(xué)生概括出事物的共性特征,或者分析數(shù)量之間的本質(zhì)關(guān)系,在數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)地表達(dá)。從具體情境中探索出規(guī)律,是將問題一般化的過程。一般化超越了具體問題的具體形態(tài),深刻提示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性,把認(rèn)識和推理提到一個(gè)更高的水平。這也包含在當(dāng)前頗有爭議的應(yīng)用題教學(xué)中。傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)在,對那些固化解決問題方法、僵化學(xué)生解題策略的做法應(yīng)當(dāng)摒棄,但對學(xué)生來說,從紛繁的具體問題中概括出問題的共性特征,形成一種對應(yīng)的解決問題的策略,用一種結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)模型來解決問題,這應(yīng)該是值得倡導(dǎo)的。
案例14:
(1)一輛客車2小時(shí)行駛180千米,照這樣計(jì)算,5小時(shí)行駛多少千米?
(2)3瓶飲料27元,5瓶這樣的飲料要多少元?
(3)旅游紀(jì)念品廠3小時(shí)生產(chǎn)60個(gè)產(chǎn)品,照這樣計(jì)算,8小時(shí)可以生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品?
此例通過先后安排三個(gè)不同問題的解決,試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)生各個(gè)問題之間的異同,不同的數(shù)量關(guān)系(分別從單價(jià)、數(shù)量、總價(jià),速度、時(shí)間、路程和工作效率、工作時(shí)間、工作總量來描述),卻有相同的問題結(jié)構(gòu),有同樣的問題解決的策略,都要先求出單一量,再根據(jù)數(shù)量求出相應(yīng)的總量。
五、教學(xué)中要注意的問題。
1,從無序到有序。
從教材知識呈現(xiàn)方式看,探索規(guī)律的內(nèi)容在增強(qiáng)。每當(dāng)教材向?qū)W生提供觀察、思考與猜測的機(jī)會(huì)時(shí),更多地要問學(xué)生諸如“你發(fā)現(xiàn)了什么”這樣的問題,提示學(xué)生注意探索其規(guī)律,逐漸增強(qiáng)學(xué)生探索規(guī)律的意識。然而,探索規(guī)律作為小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)新的部分,也需要系統(tǒng)的眼光,構(gòu)建一個(gè)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的序列。在新課程實(shí)施過程中,孤立地看某些探索規(guī)律比較難,但從實(shí)際教學(xué)效果看,卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握得比較理想,這就是探索規(guī)律系統(tǒng)編排、有序訓(xùn)練所帶來的積極影響。
案例15:數(shù)列的規(guī)律
(1)1,2,3,4,5,( ),( )——遞增
(2)20,18,16,14,( ),( )——遞減
(3)1,2,4,8,( ),( )——擴(kuò)大倍數(shù)關(guān)系
(4)32,16,8,( ),( )——縮小倍數(shù)關(guān)系
(5)1,3,7,15,( ),( )——幾倍多幾關(guān)系
(6)1,2,3,5,8,( ),( )——前兩個(gè)數(shù)的和等于第三個(gè)數(shù)
就數(shù)的排列而言,有很多適合學(xué)生探索的規(guī)律,教學(xué)時(shí)就在于如何有序地編排,由易到難,螺旋上升,以便于學(xué)生順序發(fā)現(xiàn)規(guī)律,成功地進(jìn)行探索。誠然,在不同階段,對學(xué)生也應(yīng)該有不同的要求,如題:( ),( ),12,( ),( )。在不同的學(xué)習(xí)階段,學(xué)生的解決策略也不同。教學(xué)時(shí),不能不分析學(xué)生原探索規(guī)律的基礎(chǔ),而對學(xué)生的探索能力做片面的要求和評價(jià)。從無序到有序,不僅指的是數(shù)學(xué)問題,也同時(shí)指的是要求。
2,兼顧動(dòng)手、動(dòng)口與動(dòng)腦。
倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作和動(dòng)口表達(dá),是當(dāng)前新課程倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式,因?yàn)榻柚鷦?dòng)手操作,可以利用直觀培養(yǎng)學(xué)生的思維;利用數(shù)學(xué)語言的交流,可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。而對于具體的課堂教學(xué)而言,并不是學(xué)生動(dòng)手操作越多越好,動(dòng)口表達(dá)的機(jī)會(huì)越多越好,在動(dòng)手和動(dòng)口的背后,最關(guān)鍵的是看學(xué)生是否已經(jīng)動(dòng)腦。理智的教學(xué)不應(yīng)把表面的“動(dòng)”解釋為數(shù)學(xué)在實(shí)現(xiàn)“做中學(xué)”。只有把外化的行為與內(nèi)在的思維活動(dòng)結(jié)合在一起,才是有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。
案例16:
為了教學(xué)有趣的排列(二年級),教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)又一個(gè)有趣的情境。
情境1:在三個(gè)圓中畫不同的顏色:紅黃藍(lán),有幾種不同畫法?
○ ○ ○
情境2:安排擺卡片的游戲:用漢字卡片“做”、“好”、“事”,可以有幾種不同的排列方法,讀一讀(做好事,做事好,好做事,好事做,事做好,事好做)。
情境3:三輛汽車開在路上,有幾種不同的先后順序?
情境4:三個(gè)人站在一排拍照,有幾種不同的站法?
該案例的設(shè)計(jì),是希望把數(shù)學(xué)知識與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來,通過一些方便操作的活動(dòng)以及學(xué)生所熟悉的事物,發(fā)現(xiàn)事物排列的規(guī)律。對于二年級的學(xué)生來說,剛開始接觸排列的規(guī)律時(shí),是需要借助實(shí)際情境的,讓每一個(gè)孩子動(dòng)手操作,感受到規(guī)律的存在。但經(jīng)歷了幾個(gè)不同的情境后,應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律,也無需每換一個(gè)情境,仍然重復(fù)機(jī)械的操作,而是應(yīng)該思考問題的共同屬性,為以后用一個(gè)乘法算式來求得幾種不同的排列方法作準(zhǔn)備。由此看來,強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作,不能因此降低學(xué)生的思維強(qiáng)度,失去鍛煉學(xué)生思維的機(jī)會(huì)。依托表象來思考可能存在的排列情況,比看到直觀圖示來分析排列的現(xiàn)象更有教育價(jià)值。
3,要給出充足的時(shí)間與空間。
從在一個(gè)單位時(shí)間設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)活動(dòng)的角度看,教材的編寫和課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)都是“選擇的藝術(shù)”。教學(xué)目標(biāo)的多元化也促使教學(xué)時(shí)要更注重效率。沒有充足的時(shí)間和空間作保障,有效學(xué)習(xí)就成為空談。然而教學(xué)時(shí)間的控制權(quán)是屬于占主導(dǎo)作用的教師,還是占主體作用的學(xué)生,在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,盡管我們認(rèn)同“以學(xué)生為本”、“換位思考”,但從教學(xué)現(xiàn)狀看來,做起來很難。
案例17:
兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法,設(shè)計(jì)一組對比的練習(xí):
5+7= 8+4=
15+7= 18+4=
25+7= 28+4=
35+7= 38+4=
出示題目后,老師往往會(huì)馬上問:你發(fā)現(xiàn)了什么?
有個(gè)別學(xué)生舉手,老師請學(xué)生回答……
這樣表面看“效率比較高”,但這僅僅是個(gè)別現(xiàn)象,對于這樣的問題情境,學(xué)生需要充足的思考時(shí)間作保證,都有可能讓更多的人有盡可能多的發(fā)現(xiàn),充分發(fā)揮本題的教學(xué)功能。教學(xué)中,我們希望在計(jì)算的基礎(chǔ)上自主探索規(guī)律,既能溝通20以內(nèi)進(jìn)位加法和100以內(nèi)兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法之間的聯(lián)系,在已有的認(rèn)知系統(tǒng)中建構(gòu)新的算法;同時(shí),縱向比較,發(fā)現(xiàn)其中有一個(gè)加數(shù)不變,另一個(gè)加數(shù)的個(gè)位也相同,不同的只是第一個(gè)加數(shù)的十位。它們在計(jì)算過程中有一個(gè)共性特征:和的十位總是比加數(shù)的十位多1,這也正是進(jìn)位加法的本質(zhì)特征所在。教學(xué)是選擇的藝術(shù),對于教材的編著者來說是一種選擇,對于課堂教學(xué)來說也是一種選擇,種種選擇背后都承載著責(zé)任。
4,倡導(dǎo)技術(shù)的適當(dāng)支持。
新課程重視新技術(shù)的應(yīng)用。《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段明確要求所有學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)使用計(jì)算器探索規(guī)律,解決更為廣泛的現(xiàn)實(shí)問題。用計(jì)算器探索規(guī)律得到了普遍的認(rèn)同。因?yàn)?,在探索?guī)律的過程中,不是單一地為了鞏固學(xué)生的計(jì)算能力,重心在于讓學(xué)生探索出計(jì)算背后的本質(zhì)規(guī)律。
案例18:數(shù)字寶塔
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
在教學(xué)探索規(guī)律的內(nèi)容時(shí),我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生使用計(jì)算器來參與探索規(guī)律的過程,有了技術(shù)的支持,就會(huì)使探索規(guī)律變得更為高效。就上題而言,列一個(gè)豎式算出結(jié)果,對探索干什么來說并不重要,重要的是在計(jì)算中發(fā)現(xiàn),用若干相同的“1”組成的數(shù)相乘時(shí),結(jié)果有什么特點(diǎn),產(chǎn)生這個(gè)特點(diǎn)的原因是什么?這個(gè)規(guī)律的普遍性怎樣?就拿上題來說,10個(gè)1組成的數(shù)相乘時(shí),結(jié)果又是怎樣?與原來發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有何異同?這些問題才是探索規(guī)律所追求的價(jià)值。
5,強(qiáng)調(diào)過程性評價(jià)。
對于課程改革而言,評價(jià)問題至關(guān)重要;對于小學(xué)數(shù)學(xué)中的探索規(guī)律教學(xué)而言,評價(jià)也有著舉足輕重的作用。探索規(guī)律這部分教學(xué)內(nèi)容的評價(jià)更強(qiáng)調(diào)過程,更注重多元,切勿以“知識的掌握”論英雄、以“規(guī)律的獲得”論成敗。
案例19:烤餅問題
有一個(gè)鍋,同時(shí)可以烤2個(gè)餅,烤一面要3分鐘,烤10個(gè)這樣的餅要幾分鐘?
一節(jié)課后,這樣的現(xiàn)象客觀存在:A學(xué)生和B學(xué)生最后都算出了正確的結(jié)果,我們是否就說A、B兩位學(xué)生取得了同樣的成效?還有A學(xué)生前測已經(jīng)有了正確的結(jié)果,上了課后,后測他還正確,我們是否說這個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)上沒有進(jìn)步?這些問題的回答顯然都不能如此簡單。對于探索規(guī)律而言,不能僅從知識和技能的掌握與鞏固來評價(jià)目標(biāo)的達(dá)成,我們還應(yīng)該關(guān)注探索的過程與方法。就上題而言,一個(gè)學(xué)生面對要解決烤10個(gè)餅的問題的時(shí)候,學(xué)生是否有意識先嘗試從1個(gè)餅開始,化繁為簡,用轉(zhuǎn)化的方法來解決問題,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的方法;在有了解決問題的方法后,學(xué)生能否從優(yōu)化的角度嘗試在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)方案,應(yīng)用運(yùn)籌思想以及對策論方法?這也正是教學(xué)的重要目標(biāo)。再從學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀領(lǐng)域來看,探索規(guī)律的過程是否吸引了學(xué)生的積極參與,興趣如何,是否尊重客觀事實(shí)、質(zhì)疑猜想?是否會(huì)與人合作、善于交流?這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的理性精神。