一、隨機現(xiàn)象

在自然界和人類社會中存在著兩類現(xiàn)象．

第一類，在一定條件下某種現(xiàn)象必定發(fā)生或必定不會發(fā)生，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象． 例如:自由落體在經(jīng)過t秒鐘后，落下的距離s必定是；在標準大氣壓下，水到60沸騰．第一種是必然會發(fā)生的，稱為必然事件，記作Ω． 第二種是必然不會發(fā)生的，稱為不可能事件，記作φ．

另一類，在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生，稱這類現(xiàn)象為隨機現(xiàn)象． 例如：杭州明年正月初一下雪；播種1000顆種子，有850顆發(fā)芽；發(fā)射一枚炮彈，彈著點與目標之間的距離為15米．

對隨機現(xiàn)象，在基本相同的條件下，重復進行試驗或觀察，可能出現(xiàn)各種不同的結果；試驗共有哪些結果事前是知道的，但每次試驗出現(xiàn)哪一種結果卻是無法預見的，這種試驗稱為隨機試驗（random experiment)． 每次試驗不能預測其結果，這反映隨機試驗結果的出現(xiàn)具有偶然性；但如果進行大量重復試驗，所出現(xiàn)結果又具有某種規(guī)律性­——統(tǒng)計規(guī)律性． 例如各次發(fā)射炮彈，彈著點與目標之間的距離可能各不相同，但如果射手技術較好，多次發(fā)射中距離近的必定是多數(shù)． 概率論就是研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支． 由于隨機現(xiàn)象的廣泛性，決定了這門學科的重要性． 即使在一定條件下某類現(xiàn)象可以視為確定性的，但在作更為深入的考察時，又應看作是隨機的了． 例如對上面提到的自由落體運動，當我們考慮空氣阻力、空氣流動等因素時，物體下落的距離就不一定恰好是了．

隨機試驗的某一可能結果稱為隨機事件(random event)，簡稱事件． 一次試驗中，某事件A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，發(fā)生的可能性有大有?。?/span> 這一可能性大小的數(shù)量指標就是我們所要研究的事件的概率．

二、概率的統(tǒng)計定義

在相同條件下重復作N次試驗，各次試驗互不影響． 考察事件A出現(xiàn)的次數(shù)(頻數(shù)) n，稱

為A在N次試驗中出現(xiàn)的頻率(frequency)． 頻率一般與試驗次數(shù)N有關；并且在N固定時, 作若干組N次試驗，各組頻率一般也不相同． 但當N很大時，頻率卻呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性，即在某常數(shù)附近擺動；且當N無限增大時，一般說來，頻率會“趨向”這個常數(shù)． 這種規(guī)律稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律． 很自然，把頻率所穩(wěn)定到的那個常數(shù)表示事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，稱作概率(probability), 記為P(A)． 概率的這種定義稱為統(tǒng)計定義．

例1  擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面． 記A={出現(xiàn)正面}，當硬幣均勻時，在大量試驗中出現(xiàn)正面的頻率應接近50%． 歷史上有不少數(shù)學家作過試驗，結果如右表．

自然地，我們認為對均勻硬幣來說，P(A)=1/2．

例2  英文字母使用頻率的研究，對于信息的編碼、密碼的破譯等是十分有用的． 大量統(tǒng)計表明，字母E的使用頻率最高，約為0．105；其次為字母T、O；字母J、Q與Z的使用頻率最低，僅為0．001． 據(jù)此可以認為，在英語中，字母E出現(xiàn)的概率最高，約為0．105．

日常生活與生產(chǎn)實踐中，諸如一批種子的“發(fā)芽率”，某人射擊的“命中率”，某產(chǎn)品的“次品率”等等，都是用頻率來近似概率的例子．

這里我們并沒有給出“頻率穩(wěn)定性”的確切含義． 在第四章里，通過對概率論中著名的“大數(shù)定律”的討論我們將會對上述含義有較深入的理解．

雖然我們并不能由概率的統(tǒng)計定義確切地定出一個事件的概率，但是它提供了一種估計概率的方法． 頻率與概率的關系就像物體長度的測量值與該長度之間的關系：物體的長度是客觀存在的，是該物體的固有屬性，測量值是它的某種程度的近似值． 同樣，隨機事件發(fā)生的可能性的大小——概率是隨機事件的客觀屬性，多次隨機試驗所得的頻率則是它的某種程度的近似．

必須注意，應用概率的統(tǒng)計定義時，各次試驗是在基本相同的條件下獨立進行的，而且次數(shù)要足夠的多．

從頻率的統(tǒng)計定義立即可以看出，頻率具有下述三個性質(zhì)：

1． 非負性：;

2． 規(guī)范性：對必然事件Ω，=1;

3． 可加性：若A與B是兩個不會同時發(fā)生的事件，以A+B表示A或

B至少出現(xiàn)其一這個事件，則=+．

   性質(zhì)3可以推廣到任意有限個事件．