從勾股定理到費爾馬大定理

中國科學院應用數學所 副所長 曹道民

　　提起歌德巴赫（Goldbach）猜想，很多三十多歲的人都聽說過，因為我國的數學家曾對這猜想作出過杰出的貢獻，特別是陳景潤的結果到現在還是最好的。陳景潤的事跡在八十年代曾在全國廣泛流傳，影響到當時很多的青年人，現在四十歲上下的從事數學研究的人，包括我自己，就是受到影響而走上科學研究之路的。

　　如果有人問起上世紀數學界中最重要的結果是什么，我相信很多人會說是費爾馬（Fermat）大定理。這個懸置長達350多年的、比歌德巴赫猜想更著名的難題在1995年被英國數學家維爾斯(Wiles)徹底解決。1996年3月維爾斯因此榮膺沃爾夫（Wolf）獎10W馬克。

　　首先，讓我們來介紹費爾馬大定理。

　　學過平面幾何的人都知道，設a、b為直角三角形的直角的兩條邊長，則斜邊的邊長c跟a、b滿足關系式c² = a² + b² 。中國人稱它為《商高定理》，因為在古代的數學書籍《周髀算經》里記載古代數學家商高談到這個關系式。更普遍也稱為勾股定理，這是因為在《周髀算經》》中記載著“勾三，股四，弦五”，并且清楚地討論了它們與直角三角形的關系，其后的著作中也有其他的勾股數。如《九章算術》中還有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7組數。在西方，上述公式稱為畢達哥拉斯定理，這是因為西方的數學及科學來源于古希臘，古希臘流使下來的最古老的著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達哥拉斯的頭上，要知道畢達哥拉斯被推崇為“數論的始祖”。

　　如果勾股定理的公式c² = a² + b²中的 a ，b ，c未知數，是第一個不定方程（即未知數的個數多于方程的個數）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個范式。

　　法國人費爾馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）雖然學的是法律，從事的也是律師的職業(yè)，但他對數學卻有濃厚的興趣，在公余時間常讀數學書，并自己從事一些數學研究。他在閱讀希臘數學家丟番圖（Diophontus）的《算術》一書中論述求解x² + y² = z² 的一般解的問題時，在書的空白處，用筆寫下這樣的心得：“反過來說不可能把一個立方數分拆為兩個立方數的和，一個四方數分拆成兩個四方數之和。更一般地，任何大于二的方數不能分拆為同樣方數的兩個之和。我已發(fā)現了一個絕妙的證明，但因為空白太小，寫不下整個證明”。用數學語言來表達，費爾馬的結論是：

　　當n≥3時, xⁿ + yⁿ = zⁿ 沒有正整數解。

　　人們不相信費爾馬找到了這個結論的證明，或者正如成千上萬的后來人一樣，自以為證明出來而實際上搞錯了，因為許多有名的數學家都試圖證明它，但都以失敗而告終。然而費爾馬確實創(chuàng)造了無窮下降方法，證明了n = 4 的情況。n = 3 的情況是瑞士大數學家歐拉（Leonard Euler, 1707- 1783）在1753年給出的。19世紀初實際上只有n = 3，n = 4兩種情況得到證明。而n = 5的情況則是在經歷了半個多世紀，一直到1823年至1825年才首次完全證明。費爾馬大定理對當時的數學家是一個最大的挑戰(zhàn)。為了表示學術界對它的重視，1816年法國科學院首次為費爾馬大定理設立了大獎。許多大數學家，其中包括當時頂尖的數學家，法國的高斯和法國的柯西都曾熱衷于這個問題。

　　在早期嘗試解決費爾馬大定理的英雄豪杰里有一位巾幗英雄，她是德國的蘇菲·日爾曼（Sophie Germain, 1776-1831）。小時候她是一個很害羞、膽怯的女孩，靠自學閱讀和研究數學。由于當時女姓在數學上受到歧視，她就用一個男性化名同一些大數學家通信，其中包括高斯和勒讓德，她的才能使得這些一流的數學家大為驚訝。

　　我們現在回過頭來看看勾股定理

a² + b² = c²

　　如果我們在方程兩邊同除以c²，我們得到

= 1

　　設= x , = y, 則要找正整數a, b, c 滿足a² + b² = c² 等價找有理數x, y, 使得（x, y）滿足x² +y² = 1。 (x, y) 可以看成是平面上單位圖上的一個點，x, y都為有理數的點(x, y)稱為有理點。這樣我們就把由勾股定理得到的方程是否有正整數解化為平面上的單位圓上是否有有理點。同樣xⁿ + yⁿ = zⁿ是否有正整數解等價于平面上的曲線xⁿ + yⁿ =1上是否有有理點的問題。我們稱由方程xⁿ + yⁿ =1定義的曲線為費爾馬曲線。

　　在中學數學里，我們對平面代數曲線有一些了解，在解析幾何里，對二次曲線進行了完整的分類。平面上二次代數曲線有

　　橢圓：；

　　雙曲線：，或；

　　拋物線：

　　代數幾何學在解決費爾馬大定理起到了非常大的作用。代數幾何學是解析幾何的自然延續(xù)，在解析幾何中，我們用坐標方法通過方程來表示曲線和曲面，代數幾何學通常只研究一次、二次曲線，即直線、橢圓、雙曲線及拋物線。三次及三次以上的曲線一般就不再仔細研究了。

　　代數幾何與解析幾何的一個主要不同點是，解析幾何用次數來對曲線和曲面分類，而代數幾何學則用一個雙有理變換不變量-虧格來對代數曲線進行分類。通過虧格g ，所有代數曲線可分為三大類：

　　g=0: 直線、橢圓、圓錐曲線；

　　g=1: 橢圓曲線；

　　g其他曲線，特別是費爾馬曲線。

　　費爾馬曲線的虧格 所以對的費爾馬方程，1929年英國數學家莫德爾（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：虧格的代數曲線上的有些點數目只有有限多個。1929年西格爾證明虧格的代數曲線上的整點（即坐標均為整數點）數目只有有限多個。

　　當然，一般有理數的數目要比整點數目多得多。

　　1983年，德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想。他的證明用到了多位數學家的成果。他的結果被認為是上世紀的一個偉大定理，他因此而獲得1986年的菲爾茲（Fields）獎。從莫德爾猜想我們推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整數解，那么解的個數只有有限多個。希斯-布朗利用莫德爾猜想，證明了對于幾乎所有的素數，費爾馬大定理成立。

　　由于莫德爾猜想的證明，數學家看出了一系列猜想最終可導致證明費爾馬大定理。

　　1983年，史皮婁（Lucien Szpiro）提出史皮婁猜想，并證明由史皮婁猜想可以推出，對于充分大的指數，費爾馬大定理均成立。1985年，與塞爾（D.W.Masser）等人提出一系列等價猜想，其中一個稱為abc猜想，由它可推出史皮婁猜想。1987年，史皮婁又提出一系列猜想，由它們也能推出史皮婁猜想。這些猜想似乎更容易下手，但至今一個也沒有證明。

　　1987年，塞爾由伽羅華表示出發(fā)提出一些更強的猜想，稱為塞爾強（弱）猜想。由它不僅可以推出費爾馬大定理，還可推出許多其他猜想，但這條路最終也沒有能走通。

　　1971年，埃萊古阿計（Yres Hellegouarch），最早把橢圓曲線與費爾馬大定理聯系起來，然而，符萊（Gerhard Frdy）卻是第一個把方向扭轉到正確軌道上的人。1985年，符萊證明如果費爾馬方程（為不少于5的素數）有非零解（即，則可設計一條橢圓曲線其中不妨假定為互素的非零整數，顯然它是有理數域上的橢圓曲線。

　　日本數學家谷山豐（1927—1958）在1955年召開的會議上研究了橢圓曲線的參數化問題。一條曲線的參數化對于曲線表示和研究曲線的性質有很大幫助，這在中學學習解析幾何時我們就已經看到了。橢圓曲線是三次曲線，它也可以用一些函數進行參數表示。但是，如果參數表示所用的函數能用模形式，（模函數是上半復平面上處處亞純函數的一類，模形式是模函數的推廣），則我們稱之為模曲線。模曲線有很好的性質。我們希望任一橢圓曲線都是模曲線，這就是谷山一志村猜想。此后，數學家把證明費爾馬大定理化為證明對某一類橢圓曲線，谷山一志村猜想成立。

　　英國數學家維爾斯正是沿著這一道路，在經過漫長的7年探索，終于在1993年6月取得突破。最終在一九九五年完全證明費爾馬大定理。

　　作為本文的結束，我想給數學愛好者提出一點自己的建議：數學中有一些看上去很簡單的結論，如歌德巴赫猜想、費爾馬大定理等要去證明卻是非常困難的。許多數學愛好者認為只要有好的“靈感”就能用初等數學的方法或不多的數學工具就能解決世界難題，結果白白花費了許多寶貴的時間。最近經常從報上、網上看到某某解決了某某難題，一些媒體不負責任的報道可能會誤導一些數學愛好者。讓讀者了解費爾馬大定理的解決過程，從而希望數學愛好者不要盲目地作世界難題，這正是本文的初衷之一。如果你真的熱愛數學，立志于攻克數學難題，那么應該先學習某一專業(yè)的基礎知識，了解這一問題的國際研究動態(tài)，搞清楚前人的工作，然后再開展自己的研究。