七年級(jí)數(shù)學(xué)(下)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)整理
5.1相交線
1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角
兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：
圖形
頂點(diǎn)
邊的關(guān)系
大小關(guān)系

對(duì)頂角

∠1與∠2
有公共頂點(diǎn)
∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線
對(duì)頂角相等
即∠1=∠2

鄰補(bǔ)角

∠3與∠4
有公共頂點(diǎn)
∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線。
∠3+∠4=180°

注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；
⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。
⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。
2、垂線
⑴定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
符號(hào)語(yǔ)言記作：
如圖所示：AB⊥CD，垂足為O
⑵垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)
⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線段最短。
3、垂線的畫(huà)法：
⑴過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線；⑵過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線。
注意：①畫(huà)一條線段或射線的垂線，就是畫(huà)它們所在直線的垂線；②過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。
畫(huà)法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫(huà)：沿著這條直角邊畫(huà)線，不要畫(huà)成給人的印象是線段的線。
4、點(diǎn)到直線的距離
直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離
記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。
如圖，PO⊥AB，同P到直線AB的距離是PO的長(zhǎng)。PO是垂線段。PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條。
現(xiàn)實(shí)生活中開(kāi)溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。
5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念
分析它們的聯(lián)系與區(qū)別
⑴垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度。 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))
⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。 聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離。
⑶線段與距離 距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。
5.2平行線
1、平行線的概念：
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作‖。
2、兩條直線的位置關(guān)系
在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行。
因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)來(lái)也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定：
①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；
②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；
③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）
3、平行公理――平行線的存在性與惟一性
經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
4、平行公理的推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
如左圖所示，∵‖，‖
∴‖
注意符號(hào)語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行。
5、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。
如圖，直線被直線所截
①∠1與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）
③∠5與∠4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。
6、如何判別三線八角
判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全。
例如：
如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠BAD；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。
我們將各對(duì)角從圖形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），得到下列各圖。
如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯(cuò)角；∠5與∠8對(duì)頂角。
注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？
不是，因?yàn)?#8736;2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。
7、兩直線平行的判定方法
方法一  兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：同位角相等，兩直線平行
方法二  兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
方法三  兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行
簡(jiǎn)稱(chēng)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
幾何符號(hào)語(yǔ)言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB‖CD（同位角相等，兩直線平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB‖CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）