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主講人：
張 丹：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系
孫京紅：北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校數(shù)學(xué)教研員
孫雪林：北京大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師
王雪峰：北京大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師
慈 艷：北京中關(guān)村第四小學(xué)數(shù)學(xué)教師
第一場(chǎng)：案例研討與提出問(wèn)題
一、對(duì)“空間與圖形”的整體思考
頭腦風(fēng)暴：
1．對(duì)于空間與圖形，請(qǐng)寫出您認(rèn)為最重要的核心詞。
2．在課程標(biāo)準(zhǔn)中，空間與圖形的學(xué)習(xí)包括哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容與過(guò)去有哪些變化？這種變化的意義是什么？四個(gè)部分之間的關(guān)系是什么？
3．在這部分教學(xué)中，請(qǐng)寫出您印象最深刻的教學(xué)現(xiàn)象？您還有哪些困惑的問(wèn)題？
在課程標(biāo)準(zhǔn)中，空間與圖形的內(nèi)容分為四個(gè)方面：圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與位置、圖形與變換、圖形的測(cè)量。與過(guò)去相比，從以一些圖形的性質(zhì)和測(cè)量為主，擴(kuò)充到四個(gè)方面感覺(jué)空間的、圖形的內(nèi)容更加豐富了、更加充實(shí)了。
在與老師們的交流中，對(duì)于空間與圖形這一領(lǐng)域，確確實(shí)實(shí)老師們有一些困惑，而且有一些問(wèn)題是帶有普遍性的，比如：
1．為什么在認(rèn)識(shí)圖形時(shí)，先學(xué)“體”，不先學(xué)“面”？結(jié)果造成學(xué)生對(duì)“球”、“圓”不分。在學(xué)生沒(méi)有“面”的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，如何給學(xué)生講好“體”的知識(shí)？
——原來(lái)圖形的認(rèn)識(shí)基本上是從“平面到立體”，現(xiàn)在是從“立體到平面再到立體”，這樣變化的原因是什么？
2．為什么要把中學(xué)幾何的東西（比如三角形兩邊之和大于第三邊）下放到小學(xué)？學(xué)生熱熱鬧鬧操作了半天，還不如到中學(xué)一下子就許會(huì)了。
——小學(xué)幾何與中學(xué)幾何的不同的地方；學(xué)生學(xué)習(xí)圖形性質(zhì)的價(jià)值是什么？
3．“東西南北”、“平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱”等應(yīng)該在科學(xué)課、美術(shù)課中學(xué)習(xí)，為什么要在數(shù)學(xué)課上學(xué)？
——圖形的位置和圖形的變換內(nèi)容的數(shù)學(xué)價(jià)值是什么？
4．“火車拐彎”“窗簾拉動(dòng)（圖形變化了）”……是旋轉(zhuǎn)或平移嗎？
——什么是平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱。
5．現(xiàn)在談到了空間觀念，是不是摸摸、看看就是空間觀念？
——什么是空間觀念？
6．學(xué)生的空間感比較差，比如從側(cè)面觀察立體圖形時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教學(xué)中怎么辦？
——如何培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？
7．不少老師不愿意在探索圖形特征、空間觀念等過(guò)程上下功夫，而是馬上進(jìn)入到圖形周長(zhǎng)、面積、體積等的計(jì)算，因?yàn)榍罢咴诳荚囈话悴缓每?，這怎么辦？
——有關(guān)考試評(píng)價(jià)問(wèn)題。
以上是教師們普遍關(guān)心的問(wèn)題，不難看出，現(xiàn)在老師們關(guān)注的問(wèn)題與實(shí)施新課程開(kāi)始的問(wèn)題不大一樣了。大家開(kāi)始思考一些整體的、深層次的問(wèn)題，比如課程結(jié)構(gòu)方面的、空間觀念方面的、設(shè)置某些內(nèi)容的價(jià)值方面的，特別還有學(xué)生認(rèn)知困難方面的。下面大家就對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的分析。
二、圖形的認(rèn)識(shí)
這一部分內(nèi)容從知識(shí)上看，似乎變化并不是太大，但是在一些教學(xué)方式、教學(xué)要求上，確實(shí)有一些變化。那么，首先從一個(gè)課例來(lái)開(kāi)始：
案例1 ：第一學(xué)段“長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓的直觀認(rèn)識(shí)”的兩個(gè)教學(xué)過(guò)程
背景：學(xué)生已經(jīng)在一年級(jí)上冊(cè)直觀認(rèn)識(shí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、球等立體圖形。在此基礎(chǔ)上，一年級(jí)下冊(cè)直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓的內(nèi)容。
過(guò)程1
（1）探索從正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、圓柱中能得到哪些平面圖形？從哪些立體圖形中可以得到長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓？（學(xué)生借助沙盤操作，可以把立體圖形的某個(gè)面按在沙盤上）
教師給學(xué)生比較充分的時(shí)間，學(xué)生的思維很開(kāi)放，比如對(duì)于從哪些立體圖形中可以得到長(zhǎng)方形的這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生開(kāi)始提出了兩個(gè)老師事先設(shè)想好的答案：
——長(zhǎng)方體可以得到長(zhǎng)方形；
——三棱柱“躺著”也能得到長(zhǎng)方形。
突然，一個(gè)學(xué)生指出圓柱也可以得到長(zhǎng)方形，引起其他同學(xué)的好奇。他的回答如下：
——把圓柱滾一滾，或者把圓柱使勁按一按（實(shí)際就是截面），就可以得到長(zhǎng)方形。
受到啟發(fā)，有的學(xué)生認(rèn)為正方體也可以得到長(zhǎng)方形。
隨著學(xué)生們的操作、交流、再操作，一節(jié)課的時(shí)間過(guò)去了將近一半。
（2）教師演示從立體圖形得到相應(yīng)平面圖形的過(guò)程（長(zhǎng)方體——長(zhǎng)方形、正方體——正方形、三棱柱——三角形、圓柱——圓），介紹平面圖形的名稱，并強(qiáng)調(diào)面在體上。
（3）學(xué)生在紙上描出長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓。
（4）認(rèn)識(shí)交通標(biāo)志中的平面圖形（由于前面的時(shí)間比較長(zhǎng)，后面老師還有很多練習(xí)沒(méi)有做，只是匆匆做了此練習(xí)）。
過(guò)程2
（1）出示由4種平面圖形拼成的有趣的小船（每種圖形若干個(gè)，大小不一），讓學(xué)生進(jìn)行分類。
（2）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)每種平面圖形的名稱。
（3）學(xué)生分別從正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、圓柱中得到正方形、長(zhǎng)方形、三角形、圓，認(rèn)識(shí)到面在體上。
與過(guò)程1不同，教師直接引導(dǎo)學(xué)生從長(zhǎng)方體——長(zhǎng)方形、正方體——正方形、三棱柱——三角形、圓柱——圓。
（4）回到生活中去：尋找生活中“存在”的平面圖形。
（5）拼圖游戲：用若干個(gè)平面圖形拼圖。
在拼圖的過(guò)程中，學(xué)生初步對(duì)圖形的一些特征有了感受。當(dāng)然，這節(jié)課教材不要求掌握?qǐng)D形的特征。
討論問(wèn)題：
上面的兩個(gè)教學(xué)過(guò)程，您更喜歡哪個(gè)？您的依據(jù)是什么？
其實(shí)，就這兩個(gè)教學(xué)過(guò)程，某個(gè)學(xué)校的老師也進(jìn)行了討論。這些老師有喜歡過(guò)程1的，有喜歡過(guò)程2的，總結(jié)一下，分別的主要原因如下：
l 更喜歡過(guò)程1的理由：
（1）過(guò)程1非常開(kāi)放，發(fā)展了學(xué)生的探索能力。 （2）在活動(dòng)中，使學(xué)生重點(diǎn)體會(huì)了面和體的關(guān)系。
（3）在活動(dòng)中體會(huì)了“展開(kāi)圖、截面”，為以后的學(xué)習(xí)積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
l 更喜歡過(guò)程2的理由：
（1）過(guò)程2從生活中來(lái)，又回到生活中去，設(shè)計(jì)了豐富多彩的活動(dòng)，緊緊把握住了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)：直觀認(rèn)識(shí)平面圖形，同時(shí)也讓學(xué)生初步體會(huì)了面在體上。
（2）對(duì)于一年級(jí)的孩子，過(guò)程1這樣的挑戰(zhàn)性活動(dòng)，是不是難度高了。
（3）特別是，老師們提到了這么一個(gè)想法：畢竟，一個(gè)年級(jí)應(yīng)該有一個(gè)年級(jí)的重點(diǎn)，這節(jié)課應(yīng)該把重點(diǎn)放在認(rèn)識(shí)平面圖形。
也有的老師希望如果能把兩個(gè)過(guò)程結(jié)合就更好了，但顯然一節(jié)課是絕對(duì)完不成的。
通過(guò)以上案例的討論，倒并不一定非要取得一個(gè)共識(shí)，所謂“教無(wú)定法”，只是希望通過(guò)案例引發(fā)老師們的進(jìn)一步思考，因此提出幾個(gè)問(wèn)題：
1．您比較喜歡哪個(gè)教學(xué)過(guò)程，談?wù)勀睦碛桑P(guān)鍵是您的理由是什么？
2．對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)，在第一學(xué)段最重要的目標(biāo)是什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明。
案例2：第二學(xué)段學(xué)習(xí)“兩邊之和大于第三邊”時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)的困惑
老師給學(xué)生提供了一些長(zhǎng)短不同的小棒，鼓勵(lì)學(xué)生用它們拼三角形。在此過(guò)程中，希望學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩邊之和等于第三邊、或者是小于第三邊的時(shí)候，拼不成三角形，從而反過(guò)來(lái)意識(shí)到，三角形得兩邊之和應(yīng)該大于第三邊。
實(shí)際教學(xué)中，對(duì)于兩邊之和小于第三邊的情形，學(xué)生毫無(wú)疑義地認(rèn)為不能拼成三角形。關(guān)鍵是兩邊之和等于第三邊的情形，比如4，5，9，學(xué)生們卻產(chǎn)生了分歧，一部分學(xué)生確實(shí)利用小棒“拼成”了三角形，也就是學(xué)生通過(guò)操作，認(rèn)為“當(dāng)兩邊之和等于第三邊時(shí)，能拼成一個(gè)三角形”，并且很多同學(xué)都贊同。
由這個(gè)案例，提出兩個(gè)可以思考的問(wèn)題：
1. 學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這些想法？您在教學(xué)中將如何處理？
2.既然操作造成了“麻煩”，圖形的認(rèn)識(shí)是否還需要操作？
案例3：分享評(píng)價(jià)的案例
上面提到過(guò)，不少老師不愿意在探索圖形特征、空間觀念等過(guò)程上下功夫，而是馬上進(jìn)入到圖形周長(zhǎng)、面積、體積等的計(jì)算，因?yàn)榍罢咴诳荚囈话悴缓每?。老師們有這樣的想法也是正常的，這就需要我們?cè)谠u(píng)價(jià)考試上共同探索。下面就是幾個(gè)來(lái)自實(shí)踐中的評(píng)價(jià)的案例：
1．請(qǐng)你將下面的圖形進(jìn)行分類，并說(shuō)說(shuō)分類的標(biāo)準(zhǔn)。
 2.補(bǔ)全圖形
消防栓上的長(zhǎng)方形玻璃被打碎了（如下圖），工人師傅想知道玻璃原來(lái)的樣子，你能把它畫下來(lái)嗎？
 3．五年級(jí)有關(guān)長(zhǎng)方體的教學(xué)內(nèi)容可以這樣考查：
 上圖中分別是一個(gè)長(zhǎng)方體的前面和右面，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的底面積是（ ）平方厘米。
A．6 B．12 C．18 D．4
4．澳大利亞維多利亞州2004年小學(xué)數(shù)學(xué)考試(基本題)
（1）如圖，正方體有多少個(gè)頂點(diǎn)？
 正方體的頂點(diǎn)顯然在澳大利亞維多利亞州是不需要學(xué)生記憶的。本題實(shí)際上是考察了學(xué)生識(shí)圖的能力。
（2）如圖，哪條直線與x垂直？
 以上呈現(xiàn)的這些評(píng)價(jià)試題，并不一定說(shuō)都是最好的，但畢竟我們很多老師，在這方面已經(jīng)走了一步，也就是說(shuō)，圖形的特征、探索的過(guò)程、空間觀念是可以考察的。為了使大家有更廣泛地分享和啟發(fā)，提出下面的一個(gè)思考問(wèn)題：
閱讀上面的評(píng)價(jià)試題，對(duì)您有什么啟發(fā)？ 以上通過(guò)三個(gè)案例，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)有了一個(gè)初步的梳理，最后針對(duì)這一部分留一些作業(yè)：
作業(yè)
1．原來(lái)的課程是從平面到立體，現(xiàn)在是從立體到平面，怎樣理解？
2．在圖形認(rèn)識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，量、折、撕、剪、畫等操作活動(dòng)的價(jià)值有哪些？
3．在評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)圖形及其特征的掌握情況時(shí)，您有哪些好的評(píng)價(jià)方法和評(píng)價(jià)試題？
三、圖形與位置
圖形與位置這一部分內(nèi)容，是在新課程中增加的內(nèi)容。對(duì)于新增加的內(nèi)容，建議老師觀察一下學(xué)生的原始想法。下面就是在沒(méi)有學(xué)確定位置之前，對(duì)一所學(xué)校四年級(jí)學(xué)生所做的測(cè)試：
測(cè)試問(wèn)題：請(qǐng)你在紙上描述出你們班長(zhǎng)的位置。
下面是學(xué)生的幾種做法：
（1）文字?jǐn)⑹霭嚅L(zhǎng)的位置：X行X列。
比如三排第四個(gè)、第三列的第四個(gè)人。
（2）文字?jǐn)⑹霭嚅L(zhǎng)的位置：從X數(shù)X行X列。
比如：從窗戶數(shù)的第三排、第四個(gè)。
從門這邊數(shù)是第五組的第四個(gè)。
（3）用圖表示班長(zhǎng)的位置：X行X列
 （4）用圖表示班長(zhǎng)的位置：從X數(shù)X行X列
 （5）還有一個(gè)孩子談到了，班長(zhǎng)在我的斜后方第三個(gè)。
學(xué)生的想法很豐富，這一方面是個(gè)可喜的事情，另一方面，可能老師就犯愁了，現(xiàn)在的教材中或者是利用幾排幾列，或者是利用方向和距離確定位置，那么學(xué)生的這些想法和教材中的辦法有什么聯(lián)系呢？為此，我們提出以下幾個(gè)思考問(wèn)題：
1．學(xué)生的想法有道理嗎？與教材中確定位置的方法有什么聯(lián)系？
2. 如果您的學(xué)生也有這些想法，您準(zhǔn)備如何處理？
在圖形與位置的教學(xué)中，還有一些老師比較困惑的問(wèn)題，現(xiàn)在也提出來(lái)供大家進(jìn)一步討論：
1．有的老師提出：教材規(guī)定的行列與某些地方生活中的行列似乎正好相反，怎么辦？如何看待教師提出的這個(gè)問(wèn)題？
2．確定位置的內(nèi)容似乎科學(xué)課、社會(huì)課也要教，數(shù)學(xué)課為什么要設(shè)置這部分內(nèi)容？
我們也把上面的第2題作為這一部分的作業(yè)。
四、圖形與變換
圖形與變換也是新增加的內(nèi)容，我們還是從課例開(kāi)始。
案例：一位教師進(jìn)行軸對(duì)稱圖形教學(xué)的時(shí)候，課堂上出現(xiàn)了一個(gè)“突發(fā)事件”：教師組織學(xué)生對(duì)平面圖形的軸對(duì)稱性進(jìn)行分析。在分析過(guò)程中，像正方形、長(zhǎng)方形、圓，這些平面圖形，它們的軸對(duì)稱性學(xué)生的想法都很一致。而當(dāng)判斷（一般）平行四邊形是不是軸對(duì)稱圖形的時(shí)候，學(xué)生產(chǎn)生了比較大的分歧。很多學(xué)生認(rèn)為平行四邊形就應(yīng)該是軸對(duì)稱圖形，主要觀點(diǎn)如下：
（1）如果把平行四邊形對(duì)折，再對(duì)折，它就能夠完全重合了，對(duì)折了兩次了。
（2）把平行四邊形從中間撕開(kāi)，然后給它轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，這樣也完全重合了。
（3）把平行四邊形豎過(guò)來(lái)，看看兩邊是平行的，而且兩邊的角都是一模一樣的，所以我認(rèn)為它是軸對(duì)稱圖形。
這位教師在課后反思中談道：教師已經(jīng)反復(fù)強(qiáng)調(diào)了對(duì)折以后能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，為什么學(xué)生還認(rèn)為平行四邊形是軸對(duì)稱圖形。學(xué)生的這種“執(zhí)著”是什么原因呢？
以上教學(xué)中出現(xiàn)的現(xiàn)象挺有意思的，（一般）平行四邊形按照定義一判斷肯定不是軸對(duì)稱圖形，沒(méi)想到孩子這么“執(zhí)著”，他就覺(jué)得這么一個(gè)“完美”的一個(gè)圖形，看著這么對(duì)稱，它怎么能會(huì)不是軸對(duì)稱圖形呢？所以他特別想把它重合，想了好多辦法：撕下來(lái)轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，甚至再折一次。其實(shí)，孩子的想法蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)價(jià)值，平行四邊形雖然不能靠對(duì)折重合，它是可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)重合的，那么是不是除了軸對(duì)稱，還有其他的對(duì)稱，所以提出下面的兩個(gè)問(wèn)題，也作為這一部分的第一個(gè)作業(yè)：
作 業(yè)
1．小學(xué)階段學(xué)習(xí)過(guò)的平面圖形，哪些是軸對(duì)稱圖形？哪些是中心對(duì)稱圖形？
2．學(xué)生們?yōu)槭裁纯傆X(jué)得平行四邊形“對(duì)稱”？學(xué)生的想法在教學(xué)上對(duì)您是否有啟發(fā)？
對(duì)于圖形與變換，除了軸對(duì)稱，還有平移和旋轉(zhuǎn)，在此我們也列舉一些收集來(lái)的教師的困惑，大家一起討論：
1．在判斷軸對(duì)稱圖形時(shí)，是否要考慮圖形內(nèi)部的顏色或圖案？
2．“火車拐彎”“窗簾拉動(dòng)（圖形變大或變小了）”“摩天輪”……是旋轉(zhuǎn)或平移嗎？
3．為什么要增加平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的內(nèi)容？
實(shí)際上，對(duì)于上面的第一個(gè)問(wèn)題，不是一個(gè)好的問(wèn)題，教師出現(xiàn)困惑可能是由于評(píng)價(jià)考試的原因。只要在教學(xué)或評(píng)價(jià)的時(shí)候，說(shuō)明一下就可以了。而第二個(gè)問(wèn)題和第三個(gè)問(wèn)題，有點(diǎn)意思。我想對(duì)于老師，有些東西是應(yīng)該清楚的，比如如何判斷一個(gè)圖形是否進(jìn)行了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱。進(jìn)一步，老師們需要思考這一部分的數(shù)學(xué)價(jià)值和教育價(jià)值是什么。因此，留以下作業(yè)：
作業(yè)
1．什么是平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱？如何判斷一個(gè)圖形是否進(jìn)行了平移、旋轉(zhuǎn)或者是否為軸對(duì)稱圖形？如何確定平移的方向和距離，如何確定旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)中心？
2．為什么要增加平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的內(nèi)容？
五、圖形的測(cè)量
圖形的測(cè)量從知識(shí)上說(shuō)是過(guò)去就有的內(nèi)容，想必老師們都有很多教學(xué)心得。那么，和過(guò)去相比，新課程有了哪些新的想法，就是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。先從高年級(jí)圓的面積的教學(xué)談起。
案例1 由圓的面積備課談起
一個(gè)學(xué)校對(duì)于圓的面積的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了討論。首先，他們分析了教材，教材的基本呈現(xiàn)形式如下：
 教材將圓平均等分為了若干份扇形，然后將這些扇形“拼成”了近似的平行四邊形和長(zhǎng)方形，并且分的份數(shù)越多，就越接近平行四邊形和長(zhǎng)方形。接著，教材引導(dǎo)學(xué)生分析圓的周長(zhǎng)與半徑與平行四邊形的底和高（或長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬）的關(guān)系，由此推導(dǎo)出圓的面積的公式。老師們把“切——拼”的過(guò)程稱為“切蛋糕”。
分析了教材后，大家談起了最近分別看的有關(guān)“圓的面積”的三節(jié)課：
◆第一節(jié)課
教師引導(dǎo)學(xué)生將16個(gè)扇形拼成不同的圖形—在拼上下功夫。 教師從復(fù)習(xí)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程引入，然后引導(dǎo)學(xué)生將圓平均分成若干個(gè)扇形。接著，教師給了學(xué)生比較充分地探索和小組合作的時(shí)間，鼓勵(lì)他們將這些扇形拼成了近似的長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形和三角形，如下圖：
 然后老師從中選取一種，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的面積。
◆第二節(jié)課
教師引導(dǎo)學(xué)生用某一個(gè)圖形進(jìn)行多種角度的推導(dǎo)—在推導(dǎo)上下功夫。 第二位老師從實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入，使學(xué)生產(chǎn)生探索圓的面積公式的愿望。然后，教師還是引導(dǎo)學(xué)生將圓平均分成若干個(gè)扇形，并將它們拼成一個(gè)近似的平行四邊形。接著，他把重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)過(guò)程上，就是給了學(xué)生較長(zhǎng)的探索和小組合作時(shí)間，鼓勵(lì)他們用不同的份數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，即盡管都是拼成近似的平行四邊形，但由于拼的份數(shù)不一樣，中間的推導(dǎo)過(guò)程也是不一樣的。教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用不同的份數(shù)都可以推導(dǎo)出圓的公式。
◆第三節(jié)課
教師一開(kāi)始就給了學(xué)生比較大的探索空間，鼓勵(lì)學(xué)生自由嘗試解決圓的面積的問(wèn)題。下面是學(xué)生的做法： （1）圓中“得到”一個(gè)內(nèi)接正方形。
學(xué)生：我們把圓形內(nèi)部折出一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的面積可以求出，但是我們不知道這多余的八個(gè)圖形的面積怎么求。
 （2）圓中畫小方格。
學(xué)生：中間的小方格好數(shù)出來(lái)，但是旁邊不滿一格的不知怎么辦。
 （3）教材中的“切蛋糕”。
討論問(wèn)題：上面的三種教學(xué)過(guò)程，您最喜歡哪個(gè)？說(shuō)說(shuō)理由。
這個(gè)學(xué)校的老師喜歡三種教學(xué)過(guò)程的都有，分別的理由如下：
——喜歡第一節(jié)課，因?yàn)楹芏鄡?yōu)秀教師就是這么上的，孩子們也很活躍，發(fā)展了他們的動(dòng)手能力和創(chuàng)造能力。
——喜歡第二節(jié)課，因?yàn)閷W(xué)生推導(dǎo)的很扎實(shí)，對(duì)公式的理解就會(huì)深刻。
——喜歡第三節(jié)課，因?yàn)閷W(xué)生的想法挺新穎的。不知道我們學(xué)校的學(xué)生是否也會(huì)這么想？不妨做個(gè)學(xué)生調(diào)研。
隨機(jī)抽取了一個(gè)學(xué)習(xí)小組，下面是調(diào)研結(jié)果：
學(xué)生們很快想到了類似于上面第三節(jié)課第一位學(xué)生提出的想法：把圓轉(zhuǎn)換成正方形，在圓的內(nèi)部畫了一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，在圓的外面畫了一個(gè)圓外切四邊形。正方形的面積知道，但這個(gè)（外切）正方形，它比圓多出這四塊，然后就沒(méi)辦法了，因?yàn)檫@個(gè)不是三角形，它是彎的。下面，學(xué)生花了十分鐘的時(shí)間，嘗試把圓的面積和兩個(gè)正方形的面積的聯(lián)系找出來(lái)，但進(jìn)展不大。最后，忽然有一個(gè)女生靈光一現(xiàn)：可不可以把這個(gè)圓，分解成很多很多的小三角形。
針對(duì)以上這個(gè)學(xué)校的教研活動(dòng)，提出以下問(wèn)題供大家思考：
1．在上述的三個(gè)教學(xué)案例中，哪個(gè)學(xué)生的活動(dòng)是富有數(shù)學(xué)價(jià)值的？說(shuō)說(shuō)您的理由。
2．學(xué)生的想法和教材上的想法有沒(méi)有什么聯(lián)系？教材中為什么要“切蛋糕”？
3．面對(duì)學(xué)生的想法，您在教學(xué)設(shè)計(jì)中如何處理？
案例2：學(xué)生對(duì)面積的困惑
1．學(xué)生對(duì)計(jì)算的“依賴“。
聽(tīng)了平行四邊形面積的探索的一節(jié)課。教師開(kāi)始給了一個(gè)長(zhǎng)是10、寬是6的長(zhǎng)方形，學(xué)生通過(guò)以前的知識(shí)馬上得到長(zhǎng)方形的面積為60。然后他給了學(xué)生一系列的平行四邊形，它們的一個(gè)邊還是10，另一個(gè)邊還是6，相鄰的兩條邊的長(zhǎng)度沒(méi)有變，只是越來(lái)越“歪”了。學(xué)生開(kāi)始絕大部分還是認(rèn)為面積是60，后來(lái)教師鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)生去觀察這些平行四邊形，有些學(xué)生開(kāi)始覺(jué)得有點(diǎn)不像，但是還是有很多的孩子認(rèn)為，面積就應(yīng)該是60。他們提出自己的理由，比如說(shuō)有一個(gè)孩子提到：這些平行四邊形都可以看成是長(zhǎng)方形逐漸拉動(dòng)而成的，在整個(gè)拉動(dòng)的過(guò)程中面積應(yīng)該不變。
針對(duì)這個(gè)，老師通過(guò)課件演示，使學(xué)生強(qiáng)烈感受到：拉到最后一個(gè)，平行四邊形的面積跟開(kāi)始差的很大了。如下圖：
教師覺(jué)得這下肯定很有說(shuō)服力了。但還有一些學(xué)生站起來(lái)說(shuō)：“確實(shí)我發(fā)現(xiàn)它們的大小不一樣，但是它們的面積應(yīng)該是一樣的”。
2．關(guān)于周長(zhǎng)的兩個(gè)處理：
處理1：教師鼓勵(lì)學(xué)生描一描、摸一摸、圍一圍、量一量、加一加等活動(dòng)體會(huì)周長(zhǎng)。但課后研討中，老師們覺(jué)得周長(zhǎng)很簡(jiǎn)單，沒(méi)有必要這么多活動(dòng)，似乎沒(méi)有多少思維含量。
處理2：學(xué)生在描一描、圍一圍感知周長(zhǎng)后，教師設(shè)計(jì)一個(gè)探索活動(dòng)：探索一些特殊圖形的周長(zhǎng)怎么求。課后研討中，老師們覺(jué)得很有探索味道。
針對(duì)上面的案例，提出下面的思考問(wèn)題：
（1）對(duì)于上面的兩個(gè)周長(zhǎng)教學(xué)的處理，您的看法如何？
（2）在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，高年級(jí)的孩子對(duì)于周長(zhǎng)和面積仍然存在意義理解的困難。是什么原因造成這種現(xiàn)象？
下面，對(duì)于圖形的測(cè)量這部分內(nèi)容，留一些作業(yè)供大家思考：
作 業(yè)
1.在新的課程中，對(duì)于圖形的測(cè)量有了哪些新要求？談?wù)勛兓脑颉?br> 2.在教學(xué)中可以從哪些方面促進(jìn)學(xué)生對(duì)于度量（如周長(zhǎng)、面積）的理解？
六、空間觀念
回顧上面的討論過(guò)程，開(kāi)始是整體思考空間與圖形的教學(xué)，然后分四個(gè)部分進(jìn)行了研討，最后回到非常重要的有關(guān)空間觀念的討論。我想，就直接提出一些可供思考的問(wèn)題吧：
1．什么是空間觀念？空間觀念體現(xiàn)在哪些方面？
2．為什么強(qiáng)調(diào)空間觀念？它對(duì)學(xué)生今后發(fā)展和學(xué)習(xí)的作用是什么？（有的數(shù)學(xué)專業(yè)工作者則由此引申到幾何直觀和圖形語(yǔ)言的作用。）
對(duì)于第2個(gè)問(wèn)題，我們換一個(gè)角度，看看從事其他職業(yè)的人是如何看待圖形和空間觀念的作用的。下面是兩段采訪：
采訪1（生物學(xué)研究者）：圖形在我的工作中的應(yīng)用是比較多的。因?yàn)閺纳锝嵌葋?lái)說(shuō)，以前是處在一個(gè)理論方面，隨著生物技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在處在一個(gè)分子生物學(xué)的水平。分子是一個(gè)立體的東西，而不是一個(gè)平面的，那么以前學(xué)習(xí)的很多知識(shí)，如立體感、三維空間，甚至抽象的想象六維空間，就是說(shuō)面和體的感受，在工作實(shí)際中作用是比較多的。另一方面，在生活中我們也經(jīng)常會(huì)遇到，或者可以說(shuō)每天都接觸到，面和體的事物。所以說(shuō)，小孩子從小有這方面的認(rèn)識(shí)，對(duì)他今后的生活、工作都有很大的幫助。
進(jìn)一步地說(shuō)，我們?cè)诠ぷ髦?，?jīng)常會(huì)碰到把一個(gè)立體的東西，轉(zhuǎn)換到一個(gè)平面上來(lái)看，那就需要考慮怎么去設(shè)計(jì)這個(gè)平面，平面上的樣子是什么形狀的的，是三角形、還是用平行四邊形，或者是一個(gè)梯形去表達(dá)它。同樣地，平面轉(zhuǎn)換成立體的時(shí)候，我們也要考慮怎么來(lái)構(gòu)建它，形成一個(gè)直觀體，給人一個(gè)直觀的感覺(jué)，立體的感覺(jué)。比如，DNA這個(gè)生物分子的基礎(chǔ)，它就是一個(gè)空間螺旋結(jié)構(gòu)，其實(shí)在平面上我們看到的可能只是兩條線，但實(shí)際上它是一個(gè)空間很復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。稍微有一點(diǎn)變動(dòng)，可能它的功能就改變了。
小學(xué)在學(xué)圖形的時(shí)候，主要在于建立孩子的一種空間思維方式，給他一種空間感。因?yàn)楫吘刮覀兤綍r(shí)看平面多一些，看真正的立體的可能就是在不自覺(jué)中感受它，實(shí)際上沒(méi)有刻意的去做。實(shí)際上就是說(shuō)平面轉(zhuǎn)化到立體，或者立體轉(zhuǎn)化到平面。
采訪2（財(cái)務(wù)人員）：財(cái)務(wù)跟圖形聯(lián)系起來(lái)的東西很少，要說(shuō)只能跟表格聯(lián)系起來(lái)，別的也沒(méi)有什么聯(lián)系的。可能主要是鍛煉思維能力，特別是空間想像能力。
（想了一會(huì)兒，又說(shuō)：）
財(cái)務(wù)怎么與圖形聯(lián)系我還真沒(méi)想過(guò)。財(cái)務(wù)上，坐標(biāo)肯定要用的，還有就是表格也有一些。在財(cái)務(wù)管理上涉及到的圖形比較多，現(xiàn)在很多管理實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)的東西比較多。對(duì)、現(xiàn)在不管一個(gè)項(xiàng)目，或者一個(gè)事情做了以后，都可以用圖形來(lái)表述的更清晰一些，比如財(cái)務(wù)幾塊成本構(gòu)成聯(lián)系，一塊一塊劃分，那么哪塊占多大比例，別人看著就很清晰。
聽(tīng)完上面的發(fā)言，啟發(fā)還是挺大的。雖然，有的人可能認(rèn)為在自己的工作中，圖形確實(shí)用處不大，但是她后來(lái)也覺(jué)得，圖可能會(huì)幫助表達(dá)清晰。那一位生物學(xué)研究者就明確的說(shuō)空間的觀念非常有用。我想這些都可以啟發(fā)大家一起思考。
接著留兩個(gè)作業(yè)：
3．列舉一些學(xué)生空間觀念的困難，思考如何幫助學(xué)生克服這些困難？
4．如何培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的途徑有哪些？您有哪些好的做法。
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