中考數(shù)學(xué)重難點專題講座 第五講 多種函數(shù)交叉綜合問題 智康·劉豪 【前言】初中數(shù)學(xué)所涉及的函數(shù)無非也就一次函數(shù),反比例函數(shù)以及二次函數(shù)。二次函數(shù)基本上只會考和一次函數(shù)的綜合問題,二次函數(shù)與反比例函數(shù)基本不會涉及。所以如何掌握好一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題就成為了又一重點。這類題目本身并不會太難,很少作為壓軸題出現(xiàn),一般都是作為一道中檔次題目來考察考生對于一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的掌握。所以在中考中面對這類問題,一定要做到避免失分。 【例1】2010,西城,一模 將直線沿軸向下平移后,得到的直線與軸交于點,與雙曲線交于點. ⑴求直線的解析式; ⑵若點的縱標(biāo)為,求的值(用含有的式子表示). 【思路分析】這種平移一個一次函數(shù)與反比例函數(shù)交與某一點的題目非常常見,一模中有多套題都是這樣考法。題目一般不難,設(shè)元以后計算就可以了。本題先設(shè)平移后的直線,然后聯(lián)立即可。比較簡單,看看就行. 【解析】將直線沿軸向下平移后經(jīng)過x軸上點A(), 設(shè)直線AB的解析式為. 則. 解得. ∴直線AB的解析式為. 圖3 (2)設(shè)點的坐標(biāo)為, ∵直線經(jīng)過點, ∴. ∴. ∴點的坐標(biāo)為, ∵點在雙曲線上, ∴. ∴. 【例2】2010,豐臺,一模 如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點. (1)求出這兩個函數(shù)的解析式; (2)結(jié)合函數(shù)的圖象回答:當(dāng)自變量x的取值范圍滿足什么條件時, 【思路分析】第一問直接看圖寫出A,B點的坐標(biāo)(-6,-2)(4,3),直接代入反比例函數(shù)中求m,建立二元一次方程組求k,b。繼而求出解析式。第二問通過圖像可以直接得出結(jié)論。本題雖然簡單,但是事實上卻有很多變化。比如不給圖像,直接給出解析式求的區(qū)間,考生是否依然能反映到用圖像來看區(qū)間。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要的一個思想,希望大家要活用這方面的意識去解題。 【解析】 解:(1)由圖象知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B(4,3), ∴. ∴m=12. - ∴反比例函數(shù)解析式為. 由圖象知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(-6,-2) , B(4,3), ∴ 解得 -- ∴一次函數(shù)解析式為. (2)當(dāng)0<x<4或x<-6時,. 【例3】2010,密云,一模 已知:如圖,正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點 (1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式; (2)根據(jù)圖象回答,在第一象限內(nèi),當(dāng)取何值時,反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值? (3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點,其中,過點作直線軸,交軸于點;過點作直線軸交軸于點,交直線于點.當(dāng)四邊形的面積為6時,請判斷線段與的大小關(guān)系,并說明理由. 【思路分析】第一問由于給出了一個定點,所以直接代點即可求出表達(dá)式。第二問則是利用圖像去分析兩個函數(shù)的大小關(guān)系,考生需要對坐標(biāo)系有直觀的認(rèn)識。第三問略有難度,一方面需要分析給出四邊形OADM的面積是何用意,另一方面也要去看BM,DM和圖中圖形面積有何關(guān)系.視野放開就發(fā)現(xiàn)四邊形其實就是整個矩形減去兩個三角形的剩余部分,直接求出矩形面積即可.部分同學(xué)會太在意四邊形的面積如何求解而沒能拉出來看,從而沒有想到思路,失分可惜. 【解析】 解:(1)將分別代入中, 得,, ∴,. ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為:; 正比例函數(shù)的表達(dá)式為. (2)觀察圖象得,在第一象限內(nèi),當(dāng)時, 反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值. (3). 理由:∵, ∴,即. ∵, ∴. ∴.(很巧妙的利用了和的關(guān)系求出矩形面積) ∴. ∴. ∴ 【例4】2010,石景山,一模 已知:與兩個函數(shù)圖象交點為,且,是關(guān)于的一元二次方程的兩個不等實根,其中為非負(fù)整數(shù). (1)求的值; (2)求的值; (3)如果與函數(shù)和交于兩點(點在點的左側(cè)),線段,求的值. 【思路分析】本題看似有一個一元二次方程,但是本質(zhì)上依然是正反比例函數(shù)交點的問題。第一問直接用判別式求出k的范圍,加上非負(fù)整數(shù)這一條件得出k的具體取值。代入方程即可求出m,n,繼而求得解析式。注意題中已經(jīng)給定m<n,否則仍然注意要分類討論。第三問聯(lián)立方程代入以后將A,B表示出來,然后利用構(gòu)建方程即可。 【解析】(1) ∵為非負(fù)整數(shù),∴ ∵為一元二次方程 ∴ (2)把代入方程得, 解得 ∵ ∴ 把代入與 可得 (3)把代入與 可得,,由,可得 解得,經(jīng)檢驗為方程的根。 ∴ 【例5】2010,海淀,一模 已知:如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限的交點為. (1)求與的值; (2)設(shè)一次函數(shù)的圖像與軸交于點,連接,求的度數(shù). 【思路分析】如果一道題單純考正反比例函數(shù)是不會太難的,所以在中考中經(jīng)常會綜合一些其他方面的知識點。比如本題求角度就牽扯到了勾股定理和特定角的三角函數(shù)方面,需要考生思維轉(zhuǎn)換要迅速。第一問比較簡單,不說了。第二問先求出A,B具體點以后本題就變化成了一道三角形內(nèi)線段角的計算問題,利用勾股定理發(fā)現(xiàn)OB=OA,從而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。 解:(1)∵點在雙曲線上, ∴ 又∵在直線上, ∴ . (2)過點A作AM⊥x軸于點M. ∵ 直線與軸交于點, ∴ . 解得 . ∴ 點的坐標(biāo)為. ∴ . ∵點的坐標(biāo)為, ∴. 在Rt△中,, ∴. ∴.- 由勾股定理,得 . ∴ ∴. ∴.- 【總結(jié)】中考中有關(guān)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的問題一般都是成對出現(xiàn)的。無非也就一下這么幾個考點:1、給交點求解析式;2,y的比較,3,夾雜進(jìn)其他幾何問題。除了注意計算方面的問題以外,還需要考生對數(shù)形結(jié)合,分類討論的思想掌握熟練。例如y的比較這種問題,純用代數(shù)方式通常需要去解一個一元二次不等式,但是如果用圖像去做就會比較簡單了??傮w來說這類問題不難,做好細(xì)節(jié)就可以取得全分。 第二部分 發(fā)散思考 【思考1】2009,北京 如圖,A、B兩點在函數(shù)的圖象上. (1)求的值及直線AB的解析式; (2)如果一個點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù),那么我們稱這個點是格點.請直接寫出圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的個數(shù)。 【思路分析】由于已經(jīng)給出了點,第一問沒有難度。第二問在于要分析有哪些格點在雙曲線的邊界上,哪些格點在其中。保險起見直接用1-6的整數(shù)挨個去試,由于數(shù)量較少,所以可以很明顯看出。 【思考2】2009,宣武,一模 如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點,直線分別交軸、軸于兩點. (1)求上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式; (2)求的值. 【思路分析】第一問一樣是用代點以及列二元一次方程組去求解析式。第二問看到比例關(guān)系,考生需要第一時間想到是否可以用相似三角形去分析。但是圖中并未直接給出可能的三角形,所以需要從A引一條垂線來構(gòu)成一對相似三角形,從而求解。 【思考3】2009,崇文,一模 已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k-3 = 0有兩個不相等實數(shù)根(k<0). (I)用含k的式子表示方程的兩實數(shù)根; (II)設(shè)方程的兩實數(shù)根分別是,(其中),若一次函數(shù)y=(3k-1)x+b與反比例函數(shù)y =的圖像都經(jīng)過點(x1,kx2),求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式. 【思路分析】本題是一道多種函數(shù)交叉的典型例題,一方面要解方程,另一方面還要求函數(shù)解析式。第一問求根,直接求根公式去做。第二問通過代點可以建立一個比較繁瑣的二元一次方程組,認(rèn)真計算就可以。 【思考4】2009,東城,一模 如圖,反比例函數(shù)的圖象過矩形OABC的頂點B,OA、0C分別在x軸、y軸的正半軸上,OA:0C=2:1. (1)設(shè)矩形OABC的對角線交于點E,求出E點的坐標(biāo); (2)若直線平分矩形OABC面積,求的值 【思路分析】本題看似麻煩,夾雜了一次函數(shù)與反比例函數(shù)以及圖形問題。但是實際上畫出圖,通過比例可以很輕易發(fā)現(xiàn)B點的橫縱坐標(biāo)關(guān)系,巧妙設(shè)點就可以輕松求解。第二問更不是難題,平分面積意味著一定過B點,代入即可。 第三部分 思考題解析 【思考1解析】 (1)由圖象可知,函數(shù)()的圖象經(jīng)過點, 可得. 設(shè)直線的解析式為. ∵,兩點在函數(shù)的圖象上, ∴ 解得 ∴直線的解析式為. (2)圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的個數(shù)是 3 . 【思考2解析】 (1)把,代入,得:. 反比例函數(shù)的解析式為. 把,代入得. 把,;,分別代入 得, (第16題答圖) 解得,一次函數(shù)的解析式為. (2)過點作軸于點. 點的縱坐標(biāo)為1,. 由一次函數(shù)的解析式為得點的坐標(biāo)為, . 在和中,,, . . 【思考3解析】 解:(I) kx2+(2k-3)x+k-3 = 0是關(guān)于x的一元二次方程. ∴ 由求根公式,得 . ∴或 (II),∴. 而,∴,. 由題意,有 解之,得. ∴一次函數(shù)的解析式為,反比例函數(shù)的解析式為. 【思考4解析】 (1)由題意,設(shè)B,則 ∵B在第一象限, B(4,2) ∴矩形OABC對角線的交點E為 (2)∵直線平分矩形OABC必過點 ∴1=2x2+m m=-3 |
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