李小五  再論什么是邏輯

《社會科學戰(zhàn)線》(長春)2009年6期第63～67頁

【英文標題】More Research on What Is the Logic

【作者簡介】李小五，中山大學哲學系教授，博士生導師，主要從事動態(tài)認知邏輯、條件句邏輯、人工智能邏輯研究，中山大學　邏輯與認知研究所，廣東　廣州　510275

【內(nèi)容提要】 什么是邏輯筆者以前有過闡述。現(xiàn)在看來，那時的觀點過于極端，有很大的不足。筆者修正了以前的觀點。提出：在學科層次上，邏輯就是研究有效推理的學問；在對象層次上，邏輯恰是后承關(guān)系。這種定義可以稱為邏輯的關(guān)系定義，所以接下來我們將此定義與流行的邏輯的集合定義進行比較。最后指出如何揚棄以前的觀點及其理由。

【關(guān) 鍵 詞】邏輯/學科定義/對象定義/關(guān)系定義/集合定義

中圖分類號：B82-06　　文獻標識碼：A　　文章編號：0257-0246(2009)06-0063-05

筆者1997年和2004年曾經(jīng)論述過什么是邏輯。①現(xiàn)在看來，那時的觀點主要的不足在于把許多邏輯學家認可的邏輯形態(tài)排除在外?；卮鹗裁词沁壿嫞瑢嶋H上就是給出邏輯的定義?，F(xiàn)在我們更加清楚地認識到，應該從兩個層次上給出邏輯的定義。第一個層次是學科層次，第二個層次是對象層次?，F(xiàn)在分別論述如下。

一、學科定義：邏輯就是研究有效推理的學問

所謂學科定義，就是從整個學科的角度來下定義。從學科的角度，我們可以給數(shù)學、物理學等學科下定義。那么什么是學科意義上的邏輯呢？

(1)邏輯是研究推理的學問

沒有比這種說法更通俗自然的了。許多邏輯學家也持這種觀點。例如，H. van Ditmarsch，W. van der Hoek和B. Kooi就指出，Logic is about inference....②Inference當然應該譯為推理。但在當前國外的邏輯文獻中更多用Reasoning表示推理。可能是在英文中Reasoning要比Inference更寬泛，因為近一二十年邏輯研究的推理要比過去寬泛得多。

定義(1)只是一個通俗的定義，作為一個學術(shù)性的定義卻遠遠不夠。不僅很不嚴格，而且會引起嚴重的誤解。因為推理具有許多性質(zhì)，例如，推理的形式、推理的內(nèi)容、推理的語用、推理者的態(tài)度、推理的可接受性……推理的內(nèi)容也還可以進一步分為具體內(nèi)容和抽象內(nèi)容。邏輯不應該也沒有必要研究推理的所有性質(zhì)。所以作為學術(shù)性的定義，定義(1)至少應該修正為：

(2)邏輯是研究有效推理的學問

這里的“有效”是一個非常直觀籠統(tǒng)的字眼，對它的進一步界定會產(chǎn)生不同的邏輯。一般說，一個推理應該是主體的一種思維活動。一個主體從若干個前提出發(fā)得到一個結(jié)論，這樣的活動叫做該主體做了一個推理。所以推理是否有效應該相對該主體而言，如果主體做了一個推理符合他的目的，對主體而言是“正確”或“有用”的，則此推理對該主體就是有效的，否則不是。因此一個推理是否有效因人而異，特別對所謂的常識推理(commonsense reasoning)，更是如此。但現(xiàn)在的邏輯主要在研究推理的普遍有效性，脫離了具體主體的普遍有效性。邏輯的目的是為了找出一類普遍有效的推理。我認為，作為一個寬泛的學科定義，還是從直觀上理解比較合適，這樣能盡可能地包容各種邏輯，包括非形式邏輯和現(xiàn)在還沒有搞出來的邏輯。

要想找到一類普遍有效的推理，邏輯學家通常要研究推理形式的有效性。因為推理形式脫離推理的具體內(nèi)容，更容易體現(xiàn)普遍有效性。所以我們給出下列定義：

(3)邏輯是研究推理形式有效性的學問

定義(3)不僅涉及推理的形式，而且還涉及推理的某種內(nèi)容(某種語義)——有效性，甚至強調(diào)了后者。我們認為，研究推理形式的有效性，就是把推理的形式和某種內(nèi)容結(jié)合起來研究。這樣才能把邏輯和諸如理論數(shù)學、蒙太古理論那樣的形式化理論從本質(zhì)上區(qū)別開來，因為前者明確地把有效性作為一個核心概念來研究，而后者并非如此，它們只研究自己感興趣的東西。例如，數(shù)量關(guān)系。定義(3)就是我們以前提出過的，并沒有大錯，只是包容性不夠。因為根據(jù)定義(3)非形式邏輯就不是邏輯。定義(2)是包容非形式邏輯的，所以我們認為，所有的邏輯學家應該能接受定義(2)，而主流邏輯學家應該能接受定義(3)，至少目前的現(xiàn)象呈現(xiàn)如此之說，理由我們在后面給出。

有了邏輯的學科定義，我們也自然有了具體邏輯的學科定義，或者說，有了所謂的子邏輯的學科定義。例如，我們可以對模態(tài)邏輯給出如下學科定義：

(2-1)模態(tài)邏輯是研究有效模態(tài)推理的學問

或(3-1)模態(tài)邏輯是研究模態(tài)推理形式有效性的學問

二、對象定義：邏輯恰是后承關(guān)系

我們常說“我今天搞出了一個邏輯”或“他去年搞出的那兩個邏輯不好”這樣的話。顯然，這樣的話是有意義的，但這里的“邏輯”不是學科意義上的邏輯，而是“對象”意義上的邏輯。也就是說，它們是一些具體的邏輯，是邏輯學家研究的具體對象。通常它們可以一個一個地數(shù)，而學科意義上的邏輯不能論個數(shù)。那么，這樣的邏輯應該如何定義呢？我們還是要從推理說起。

我們說推理就是主體從若干個前提得到一個結(jié)論的活動。目前流行的做法是把推理表述為從若干前提到一個結(jié)論的過程。通常情況下，這堆前提可以用一個集合來表示。我們稱這樣的集合為該推理的前提集。在更通常情況下，推理的前提集是有窮的。當然，為了具有更大的包容性，我們在此不要求前提集一定是有窮的，因為某些邏輯允許前提集是無窮的。例如，無窮邏輯。③不管前提集有窮還是無窮，我們都可以把一個推理看做是一個前提集和一個結(jié)論之間有一種推出關(guān)系。這個關(guān)系的抽象就是邏輯學中的后承關(guān)系(consequence relation)。

后承關(guān)系通常分成兩大類，一類叫做語義后承關(guān)系(semantic consequence relation)，一類叫做系統(tǒng)后承關(guān)系(systematic consequence relation)，后者也叫語形后承關(guān)系(syntactic consequence relation)或可證后承關(guān)系(provable consequence relation)。下面我們要稍微詳細地加以說明，因為在我們看來，它們就是對象意義上的邏輯。

不管進行什么樣的推理，推理總是用語言來表述的。所以我們首先要確定一個語言L。如果想要研究推理形式的有效性，L就是一堆用抽象符號表示的公式——良構(gòu)符號串(也稱為公式)。下面我們就考慮這樣的L。從最一般的意義上說，從L的某個公式集X到L的某個公式A可以稱為從前提集X到結(jié)論A的推理，記作X/A。但是，在這樣的推理中有一些經(jīng)過直觀解釋或形式化解釋是不正確的推理，即導致錯誤的推理。邏輯學家建立邏輯的根本目的，就是要從所有的推理中找出所有正確的推理來。語義后承關(guān)系和系統(tǒng)后承關(guān)系，特別是前者，就是用于區(qū)別正確推理的邏輯概念。

語義后承關(guān)系：L中的公式只是一個一個的符號串，本身沒有意義，需要解釋。解釋，就是給出抽象符號以及這些符號組合的意義。邏輯中通常使用的方法是建立關(guān)于L的模型理論，用一個一個形式化的模型來解釋抽象符號，用模型加上其他輔助手段(如可滿足關(guān)系)來解釋公式。在邏輯學中，最主要的解釋公式的做法就是給出公式的真假。在許多邏輯中，為了給出真假，先要給出公式的可滿足定義。做了這樣的準備工作后，邏輯學家就能定義語義后承關(guān)系。我們可以籠統(tǒng)地用A來表示，讀作X衍推A(X entails A或A is entailed from X)。注意：語義后承關(guān)系有很多。最重要的當然是被邏輯學家稱為邏輯后承或邏輯有效的語義后承關(guān)系。④正如S. Read指出的那樣：“邏輯后承是邏輯的核心概念。邏輯的目的就是要澄清推理的含義，以便確定什么是給定的前提集或假設集的有效后承。[邏輯]后承關(guān)系給出一個假定的命題集或命題聚合與根據(jù)它們正確或者有效地推出的命題或結(jié)論之間的關(guān)系。”⑤據(jù)說Read的思想來自邏輯大師塔爾斯基(Tarski)。我們通常稱這種后承關(guān)系為逐點有效關(guān)系。此外，例如在模態(tài)語義中，重要的語義后承關(guān)系有：逐模型有效關(guān)系、逐框架有效關(guān)系、相對模型類保持有效性的后承關(guān)系，還有許多其他的后承關(guān)系。用XA表示語義后承關(guān)系并不嚴格。嚴格地說，它只表示從X到A的推理關(guān)系。語義后承關(guān)系比較嚴格的表示是：語義后承關(guān)系和系統(tǒng)后承關(guān)系統(tǒng)稱為后承關(guān)系。顯然，每一個這樣的關(guān)系刻畫了一定范圍內(nèi)的全體有效推理或全體指向有效推理，所以我們認為：每一個對象意義上的邏輯就是一個后承關(guān)系，并且每一個后承關(guān)系就是一個對象意義上的邏輯。

上述說法可以提煉為下面一句話：

(8)對象意義上的邏輯恰是后承關(guān)系

顯然，這個定義不是學科定義，我們稱之為對象定義。之所以如此稱謂是因為后承關(guān)系是邏輯學家重點研究的對象，而且在絕大多數(shù)情況下是可以論個數(shù)的。雖然我們的對象定義不同于學科定義，但它們是一致的。既然從學科的角度來說，邏輯是研究推理的，而后承關(guān)系又刻畫了一定范圍內(nèi)的全體有效推理或全體指向有效推理，那么從對象的角度來說邏輯恰是后承關(guān)系也是正當?shù)摹?span lang="EN-US">

三、關(guān)系定義與集合定義的比較

根據(jù)我們的觀點，在對象層次上，邏輯恰是后承關(guān)系。為了方便討論，我們姑且把這種定義稱為關(guān)系定義。在邏輯學界，有一種流行的定義：在對象層次上，一個邏輯就是一個公式集，通常是指一定范圍內(nèi)全體有效的公式或全體可證的公式。van Ditmarsch，van der Hoek和Kooi也如是說：

Recall that a logic is a set of formulas, and we have now seen two ways to characterize a logic: as a set of validities of a class of models, and as a set of derivables of an axiom system. ⑦ P. Blackburn, M. de Rijke和Y. Venema在一本當代權(quán)威性的模態(tài)邏輯教科書中也給出了兩種類似上述觀點的定義：

一個邏輯就是某個公理化系統(tǒng)的全體定理的集合，一個邏輯就是相對某個框架類的全體有效式的集合。⑧

這些專家實際給出兩種定義：分別用“一定范圍內(nèi)全體有效的公式”和“一定范圍內(nèi)全體可證的公式”來定義。

下面我們把此類定義統(tǒng)一稱為集合定義，集合定義不過是我們給出的關(guān)系定義的特例。令表示空集。據(jù)前面的定義(4)，我們有下列定義：

綜上所述，易見上述專家提出的集合定義不過是我們給出的關(guān)系定義的一個特例。換句話說，我們的關(guān)系定義包容了他們的集合定義。

總而言之，我們提出的關(guān)系定義背后的思想不僅體現(xiàn)了Read的觀點：邏輯后承是邏輯的核心概念，而且把邏輯的學科定義和對象定義有機地統(tǒng)一起來：

(13)學科意義上的邏輯就是研究后承關(guān)系的學問

在這樣的意義上，我們甚至可以說：

(14)學科意義上的邏輯就是全體語義后承關(guān)系和全體系統(tǒng)后承關(guān)系的總和

四、關(guān)系定義的修正及其理由

前面我們提到，我們現(xiàn)在的觀點是對我們在1997年和2004年提出的觀點的修正。所以本文的最后，我們要說明我們堅持了哪些觀點，修正了哪些觀點，以及為什么要做這樣的修正。

就學科定義而言，我們以前給出的定義就是前面的定義(3)，現(xiàn)在我們把它放寬到定義(2)，以便包容更多的邏輯，特別是非形式邏輯。當然，我們要強調(diào)一下，主流邏輯都是堅持定義(3)的。只要統(tǒng)計一下國內(nèi)外權(quán)威性邏輯雜志發(fā)表的文章的篇數(shù)就能明白。

就對象定義而言，我們的修正是比較大的。當時我們也提出對象意義上的邏輯就是后承關(guān)系的思想。但在當時這個表述不能倒過來。在那里，我們不能說后承關(guān)系就是邏輯，從而不能說邏輯恰是后承關(guān)系。也就是說，我們當時排除了一部分后承關(guān)系，認為它們不是邏輯。具體說就是，當時我們要求：如果一個系統(tǒng)后承關(guān)系R和另一個語義后承關(guān)系T重合(即它們之間滿足強可靠性和強完全性)，那么R才算是一個邏輯。這種觀點現(xiàn)在看來過于偏激。也就是說，這種要求排除了一些邏輯，而這些邏輯為絕大多數(shù)邏輯學家接受。例如，從系統(tǒng)的角度來說，許多系統(tǒng)并沒有強完全性，甚至還有一些著名的系統(tǒng)是不完全的。此外，作為一種極限，邏輯學家也經(jīng)常提到不一致系統(tǒng)。把這些系統(tǒng)排除在邏輯的范疇之外是很不應該的。從語義的角度來說，現(xiàn)在有許多有意思的語義后承關(guān)系還沒有找到重合的系統(tǒng)后承關(guān)系，也許根本就不存在。但我們同樣不能把它們排除出邏輯的范疇。

總而言之，現(xiàn)在我們提出的邏輯定義具有下列優(yōu)點：

第一，分層次把握邏輯的本質(zhì)。邏輯可以分別從學科意義上和對象意義上進行定義，從而有助于人們從邏輯學科的高度和邏輯學研究對象的具體層次上把握邏輯的本質(zhì)。

第二，學科定義和對象定義達到高度有機的統(tǒng)一。它們都突出邏輯的研究對象是推理，從而繼承了自亞里士多德以來邏輯學研究的傳統(tǒng)思想。

第三，具有很強的包容性。不僅包容像非形式邏輯那樣的邏輯形態(tài)，也包容像集合定義提到的邏輯形態(tài)。

注釋：

①李小五：《什么是邏輯？》，《哲學研究》1997年第10期；李小五：《邏輯哲學九章》，南京：江蘇人民出版社，2004年，第35-80頁。

②H. Van Ditmarsch, W. Van Der Hoek and B. Kooi, Dynamic Epistemic Logic, Springer, 2007, p. 211.

③李小五：《無窮邏輯》上，北京：社會科學文獻出版社，1996年。

④這里的“有效”是用形式語義嚴格定義的，與前面直觀意義上的“有效”不同。

⑤S. Read, Thinking about logic: An Introduction to the Philosophy of Logic, Oxford University Press。中譯本是《對邏輯的思考》第2章，李小五譯，沈陽：遼寧教育出版社、牛津大學出版社(聯(lián)合出版)，1998年，第43頁。

⑥李小五：《模態(tài)邏輯》，廣州：中山大學出版社，2005年，第81頁。

⑦H. Van Ditmarsch, W. Van Der Hoek and B. Kooi, Dynamic Epistemic Logic, Springer, 2007, p. 28.

⑧P. Blackburn, M. De Rijke and Y. Venema: Modal Logic, Cambridge University Press, 2001, p. 24 and p. 189.

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