笛友劉先生寫的頻率音分計算的文章,對做笛簫很有指導(dǎo)意義.相信大家看了都會有收獲,在此我代表笛友們向劉先生致敬,并希望大家也能將自己的體會寄我,只要是有關(guān)笛簫的,內(nèi)容形式不限.............周林生

音 程 與 數(shù) 學(xué) 運 算
劉利華 于廈門

多數(shù)的音樂愛好者對于音高與音程可能只有感性的認(rèn)識，對于它們的絕對頻率及頻率之間的數(shù)學(xué)關(guān)系可能知之甚少，我今天就來談?wù)勥@個問題，這是純粹的數(shù)學(xué)運算，與笛子無關(guān)。
一、十二平均律小二度的比例系數(shù)
音的高低其實就是頻率的高低，比如b1(小字一組的b調(diào))比a1高，就是b1的頻率比a1的頻率高。那么這些音的頻率大小之間在數(shù)學(xué)上有否規(guī)律呢？答案是肯定的。如果按照小二度的關(guān)系來排列這些音：
……,a1,bb1(=#a1),b1,c2,#c2,d2,#d2,e2,f2，……
按十二平均律，這些音的頻率是等比的，（十二平均律之外的其它律制，雖不等比但也有固定的比值），相信大家對等比的概念比較清楚：
一串有序的數(shù)，后一個與前一個的比如果都相同，此這個序列就叫等比序列，這個比就叫公比。
舉例：
1，3，9，27，81，243，……
就是一個等比數(shù)列，公比為3。
那么十二平均律中小二度的頻率公比是多少？
我們知道，某音的高八度與它自身（舉例：以唱名來講如高音1與中音1；以音名如a2與a1,c3與c2）的頻率之比為2，而從a1到a2,恰好經(jīng)過了十二次的頻率升高。
假設(shè)a1的頻率為F，則a2的頻率就是2F，設(shè)小二度頻率公比為k，則有：
F*k^12=2*F
以上*為乘法，^為乘方，k^12即k的12次方，
從而k^12=2
因此k等于2開12次方,也就是k為2的十二分之一次方，k=2^(1/12)。
通過查表或用計算器可知此k=1.05946309435929……實際應(yīng)用中取1.06或者1.05946都可。
易知，大二度的頻率比就是以上k的二次方，或者2開六次方，即1.122462048。
通常我們以a1=440Hz(是否“中央標(biāo)準(zhǔn)音”？)作為參考，按以上公比我們可得到：
bb1=466.1638
b1=493.8833
c2=523.2511
d2=587.3295
e2=659.2551
……
以上各數(shù)作了舍入，在一般應(yīng)用中我們可以取整，如認(rèn)為b1=494Hz,e2=659Hz，但在頻率比較低的時候，最好多加幾位小數(shù)。
需要說明的是十二均律的“平均”是指指數(shù)的平均，指數(shù)均分為十二份就是1/12，而不是數(shù)學(xué)的除法平均，即以上音列的頻率關(guān)系是等比而不是等差。
（等差數(shù)列舉例：2，4，6，8，10，12，14，……）
為何取a1=440Hz？我認(rèn)為是一種約定，另外還有取a1=442Hz的，二者相差不大，一般都可接受。有人發(fā)表長篇大論說442相對于440的好處，我覺得不可信，可能是作者心理作用吧。

二、音分的概念與計算
用小二度來討論音程，是一種太粗略的方法，如果不用數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，還有沒有更精確的公認(rèn)的音程概念呢？有，那就是音分。
“音分”這個概念，相對“小二度”，使用的人更少，對于它的具體含義知道的人也就少了。
音分，也是對頻率比例（音程）的一種描述方式，它的精度是“小二度”的百倍。
在小二度的兩個音之間插入99個音，使他們的頻率成等比關(guān)系，那么相鄰兩音的音程關(guān)系就是相差一音分。
小二度是100音分的關(guān)系，大二度是200音分的關(guān)系，八度是1200音分的關(guān)系。
假設(shè)這個比例是K2，那么按小二度：
K2^100=2^(1/12)=1.05946309435929
按八度：
K2^1200=2
都可算得K2為2開1200次方，即
K2=2^(1/1200)=1.00057778950655486 (作了舍入)
實際應(yīng)用中小數(shù)位可不取這么多。

這里再次強(qiáng)調(diào)，音程的數(shù)學(xué)表現(xiàn)是比例關(guān)系而非加減關(guān)系，所以2音分差別不是1音分差別的兩倍，而是用以上比例系數(shù)再乘一次。

三、兩音音高差（按音分）的計算
我們知道了音分的概念，那么可否知道兩音之間的差多少音分？如a1=440與a1=442，這二者相差多少音分呢？
用一個最笨的辦法，就是用440乘以1.00057779，看要乘多少次可以達(dá)到442，以下列出各次運算得到的值（近似到小數(shù)點后四位）：
440.2542
440.5086
440.7631
441.0178
441.2726
441.5276
441.7827
442.0379
我們看到，七次運算后結(jié)果比442低，八次則高，而八次運算后最接近，那么我們可知442Hz比440Hz約高八音分，但不到八音分。
有沒有更好的方法算出更準(zhǔn)確的音高差別呢？當(dāng)然有。
上面從440起一次次地乘以1.00057779，算到442.0379，其實相當(dāng)于一種指數(shù)運算，現(xiàn)在我們不乘，而要求出從440經(jīng)幾次這樣的運算得到442.0379，這就是指數(shù)的反運算——對數(shù)運算。
舉例說明：求2的3次方，這就是指數(shù)運算，結(jié)果是2^3=8；反過來，2的多少次方等于8？就要用到對數(shù)運算log(2,8)=3。
求音分?jǐn)?shù)的運算方法為：
1、求出兩個音的頻率之比假定為R；
2、求以2為底的R的對數(shù)L（八度音程頻率之比為2）；
3、此對數(shù)乘以1200（因1200音分為八度音程），得到相差的音分?jǐn)?shù)D。
現(xiàn)在我們再次按此法來求442Hz與440Hz的音程關(guān)系。
第一步：R=442/440=1.00454545454545(后面是“45”的循環(huán))
第二步：求對數(shù)L=log(2,1.00454545455)=0.006542845866772
第三步：D=0.006542845866772*1200=7.851415
這樣我們知道了442Hz比440Hz約高7.85音分。

再舉例：已知在常溫下氣溫每升高一度，空氣中聲音速度增加0.61米/秒，求常溫下空氣溫度每升高一度，笛子頻率升高幾音分？
這里我用兩個不同的空氣中聲音速度來計算，說明不同氣溫下升高的音分是不同的。
分析：笛子頻率與管長成反比，與空氣中的聲音速度成正比，在這個升高一度的過程中，笛子管長可以近似為不變（其實是增長，會抑制其頻率的增高），那么剩下的只有速度的變化，那么前后音高變化的比其實就是兩次速度的比。
當(dāng)空氣中聲音速度為334.4米/秒時，升高一度后速度變?yōu)?35.01米/秒，按以上過程求解：
R=335.01/334.4=1.0018242
L=log(2,1.0018242)=0.002629313
D=0.002629313*1200=3.1552
空氣中聲音速度為340米/秒時：
R=340.61/340=1.00179411765
L=log(2,1.00179411765)=0.002586
D=0.002586*1200=3.1033
我們可以看出，在兩種速度下，增加的音分?jǐn)?shù)有細(xì)微差別，但這與大家聽說的“氣溫每升高一攝氏度，笛子頻率升高約三音分”的論點是一致的。
[思考]：某個氣溫下，空氣中聲音速度為334.4米/秒，氣溫升高10攝氏度，求笛子頻率平均每攝氏度升高了多少音分？
提示：先求得總的升高多少音分，再求平均。

四、如何用“計算器”程序?qū)崿F(xiàn)以上計算？
各位朋友看了我的演算可能會問如何我的運算保留那么多的有效位數(shù)，難道不怕后面的數(shù)字是不精確的嗎？
我可以負(fù)責(zé)任地告訴大家，那些數(shù)字是精確的，因為我使用了計算機(jī)中的“計算器”程序，如果手邊有常用對數(shù)表等，查到的結(jié)果不會有這么精確。
我來講講“計算器”程序的用法：
首先，從電腦的菜單打開計算器程序：
“開始”\“程序”\“附件”\“計算器”
您看到的“計算器”可能只是標(biāo)準(zhǔn)型，只有加、減、乘、除等常用運算，沒有指數(shù)、對數(shù)運算，沒關(guān)系，在“查看”菜單中選取“科學(xué)型”，就得到我們要的工作平臺了。
請注意我們用的是十進(jìn)制，在運算前先檢查是否選擇的是“十進(jìn)制”。
這個計算器的對數(shù)運算有兩種，一種是以e為底的自然對數(shù)，就是按鈕中的第二行第四列的“ln”；另一個是以10為底的常用對數(shù)，就是第三行第四列的“log”，在“ln”下面。
舉例說明對數(shù)的操作，我們知道100是10的2次方，我們?nèi)绾卧谟嬎銠C(jī)上求得呢？我們先用鼠標(biāo)點出100，然后再用鼠標(biāo)點一下“log”按鈕，2馬上出來了。
細(xì)心的讀者馬上會問我一個問題：這計算器上的兩個對數(shù)分別以10和e為底，而我們要求的是以2為底的對數(shù)呀？
在數(shù)學(xué)上有以下公式：
log(A,B)=log(C,B)/log(C,A)
即要求以A為底B的對數(shù)，我們引入第三個數(shù)C，分別對B及A取對數(shù)，相除即得結(jié)果。我們不要去證明，但可小做驗證，觀察以下等試是否成立？
log(3,81)=log(9,81)/log(9,3) …………4=2/0.5
log(4,16)=log(2,16)/log(2,4) …………2=4/2
顯然是成立的。
那么我們就可以把以2為底的對數(shù)運算轉(zhuǎn)到自然對數(shù)或常用對數(shù)的計算，如我們要求以2我底1.059463的對數(shù)，可以先求得以10為底1.059463的對數(shù)，再除以以10為底2的對數(shù)即可。
舉例：在“計算器”上演示求442Hz與440Hz音高差的過程。
1、按照上面第三部分的方法，先求出頻率比：
用鼠標(biāo)點出442，點“/”按鈕，再用鼠標(biāo)點出440，然后點一下“=”按鈕(注意“=”不要點兩次或更多次，否則為連除440)，比例就出來了，顯示為1.0045454545454545454545455
2、現(xiàn)在要求它以2為底的對數(shù)，我們化為求以10為底的對數(shù)。
點“log”按鈕（不要點多次），屏幕顯示結(jié)果
0.0019695928629……
點“/”按鈕，表示除以；
點“2”，點“log”；
這里對數(shù)運算優(yōu)先于除法運算，因此沒有加括號。
這時可以點一下“=”把這個對數(shù)log(2,1.00454545454545454545)算出來，也可不點；
3、乘以1200，得到音分
點“*”，這時看到了對數(shù)運算的結(jié)果
0.00654284586677……，事實上如果上一步中點了那個“=”，那么這個結(jié)果在上一步結(jié)束時就看到了。
點出數(shù)值1200；
點“=”號，得到7.851415040126……
至此一個完整求解過程結(jié)束，如果上述過程中“log”按鈕都換成“ln”按鈕，最后的結(jié)果也是一樣的，科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性之一在于它能自圓其說，互相印證。

五、降低多少音分的計算
其實，降低多少音分的運算就可按升高多少音分的運算來求得，如要求440Hz是在442Hz的基礎(chǔ)上降低了多少音分，因為如上例所知442Hz是在440Hz的基礎(chǔ)上約升高了7.85音分，那么我就可以說440Hz是在442Hz的基礎(chǔ)上降低了7.85音分。
如果非得要我不用升的方法來計算，那么我用下面的計算來再次說明科學(xué)的理論是“互相印證”的道理：
按以上三步曲，不過這次的第一步的除法倒過來，用440除以442
1、R=440/442 = 0.995475113……
2、L=log(2,0.995475113)=-0.00654284586677……
3、D=-0.00654284586677*1200=-7.851415
其實到第二步您就看出來了，它與上一個例子的數(shù)值絕對值是相同的，只是符號為負(fù)而已，那么到第三步也必然是兩次絕對值一樣，只是符號不一，結(jié)果約為負(fù)7.85,表示音高“降低”了約7.85音分。

最后，再次強(qiáng)調(diào)音程的關(guān)系是比例關(guān)系，而不是加減關(guān)系，如果有人說他能區(qū)分10Hz的頻率差，您應(yīng)當(dāng)知道這人不懂什么（如果他說在哪個頻率上能聽到多少赫茲的差別，那又是另一回事），因為在100Hz時10Hz的差別接近于一個大二度，1000Hz時升高10Hz，約升高了17音分，而5000Hz升高到5010Hz，則升高了3.459音分，恭喜了，厲害，“金耳朵”！10000Hz時，升高1.73音分，可能嗎？

思考：如果六孔笛的各音音高符合“三分損益”的原則，以第三孔做基準(zhǔn)，其它各音孔的音高與符合“十二平均律”的笛子（哈哈，不可能有笛子完全符合十二平均律，符合的笛子就是“音高誤差0音分”的笛子）相對應(yīng)的音孔的音高各相差多少音分？（要回答此問題，首先要知道什么是“三分損益”，還是自己去查資料吧。）