等腰△ABC中，E、F分別是腰AB、AC上的動點，且AE=CF，即逆向相等，則EF稱為等腰△ABC的逆等線。①如圖△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，E、F分別在AB、AC上，且AE=CF，AD⊥EF交BC于D，求證EF=AD。⑤如圖，矩形ABCD，AB=3，AD=4，點E、F分別是線段AC、BC上的動點，且AE=CF，求DE+DF的最小值。⑥如圖，矩形ABCD，AB=2，AD=1，G是AB中點，E、F分別是AD、CD邊上的動點，且CF=2AE，求GF+2BE的最小值。AD+AE=AD+DF≥AF。

（2008年上海中考第25題）已知：AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC（如圖）．點E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），點M是線段DE的中點．.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD:BC=1:2，點E為邊AB中點，點F是邊BC上一動點，線段CE與線段DF交于點G?！逜BCD是等腰梯形，AD=2，AD:BC=1:2，∴BC=4，∵AD//BC，∴∠1=∠2，∴∠4=∠FCD或∠5=∠FCD.情況2，當(dāng)∠5=∠FCD時，延長AG交BC于點T，可得△ABT∽△FCD，

作AG⊥CD于點G，交CE于點O，連接OD.根據(jù)“等腰三角形三線合一”可證：AG垂直平分CD，∴OD=OC，∴∠3=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD∥AB，∴∠4=∠5，根據(jù)“等式性質(zhì)1”可證：∠6=∠7，∴△FOD～△AEC.∴FD:AC=OD:EC，根據(jù)“平行線分線段成比例”可證：點O是CE的中點，根據(jù)“直角三角形斜邊中線定理”可證：EC=2OD，∴AC=2FD，∴AD=2FD，∴點F是AD的中點.

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題（含答案解析）幾何證明壓軸題（中考）1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1) 求證：DC=BC;(2) E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；(3) 在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值.

1道經(jīng)典的奧數(shù)幾何題：求角的度數(shù)，難度大，方法多.今天和大家分享一道奧數(shù)經(jīng)典幾何題：如下圖，四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=80°，∠BCD=160°，求∠BAD的度數(shù)。又AB=BC，AB=BE，所以BC=BE，所以∠BCE=80°，則∠DCE=∠BCD-∠BCE=80°，即∠BCE=∠DCE。如上圖，過點C作CK//AB，取CK=AB，連接AK、BK、DK。因為CK=AB，AB=CD，所以CK=CD。因為cK//AB，且CK=AB，AB=BC，所以四邊形ABCK為菱形，所以∠BAK=100°

2022安順中考數(shù)學(xué)壓軸題分析4：動點產(chǎn)生直角三角形的存在性問題本題設(shè)計比較巧妙，與以往函數(shù)的直角三角形存在性問題不太一樣。（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，是否存在這樣的點N，使△DMN是直角三角形？（3）因為已知∠DMN＝∠DCM，而且△DMN為直角三角形，所以可以得到△DMN與△CDE相似，而且情況只有2種，因為∠DMN不能為直角。

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2√3，點O是AB邊上的一個動點，以點O為圓心，OA為半徑做圓O，與邊AC交于點M，與BC邊交于點E、F，設(shè)CM=x，判斷AE×AF是否為定值，若是，求出這個定值；已知AF是直角△AFC的斜邊，馬上就應(yīng)該注意到AE也在一個直角三角形中，設(shè)圓O與AB邊的交點為G，連接EG，則∠AEG是直角，△AGE也是直角三角形。有AE/AG=AC/AF，即AE×AF=AG×AC=2AG。所以AE×AF=2AG＝8-4x。

2012年8月26號小學(xué)六年級奧數(shù)題及答案《幾何綜合》數(shù)學(xué)難題天天練難度：★★★★　　　幾何綜合。圖15-12中陰影部分的面積是25平方厘米，求圓環(huán)的面積．（л取3.14）如圖15-19所示，一塊半徑為2厘米的圓板，從位置①起始，依次沿線段AB、BC、CD滾到位置②．如果AB、BC、CD的長都是20厘米，那么圓板經(jīng)過區(qū)域的面積是多少平方厘米？

中考數(shù)學(xué)幾何題——輔助線三.（1）如圖1，當(dāng)EF∥BC時，求證：BE/AE+CF/AF=1；∴BE/AE=DG/AG=1/2，CF/AF=DG/AG=1/2，BE/AE=BM/AN，CF/AF=CM/AN，∴BE/AE+CF/AF=BM/AN+CM/AN=(BM+CM)/AN，∴BM+CM＝BM+BD+DM＝DM+DM＝2DM，∴BE/AE+CF/AF=2DM/AN，∴BE/AE＞1，則BE/AE+CF/AF＞1，同理：當(dāng)點E在AB的延長線上時，BE/AE+CF/AF＞1，

幾何探究題如果單獨考壓軸一問，那難度得有多大？點評：此題源某地中考模擬壓軸題的壓軸一問，有學(xué)生單獨拿著第三問來問我，我也是想了好一會才想到；經(jīng)過了不斷的積累和沉淀，不斷對中考數(shù)學(xué)題型的研究與總結(jié)，《中考壓軸專題》隆重推出，幫助同學(xué)們提升實力.本書包含6個大專題，每個專題下包含多個考點和題型，力求覆蓋所有壓軸題型.題目取自中考真題、平時模擬真題中的壓軸題、經(jīng)典題，可幫助同學(xué)們精準(zhǔn)訓(xùn)練，提升解題能力.

（1）條件給出了正方形的邊長為2，CE=EB=1，要求CF的長度，根據(jù)圖示可看出CF是在BF上的，同時有AG是∠DAE的角平分線，結(jié)合AD//EF，可知∠F=∠EAG，那么△AEF是等腰三角形，所以AE=EF，如果我們知道EF的長度，即可求出CF長度，而要知道EF，只需要搞定AE長，AE在Rt△ABE中，且直角邊AB和BE已知，那么斜邊AE可求，AE=√5，則EF=√5，所以CF=EF-CE=√5-1；

這是一道經(jīng)典的幾何證明題，此題讓很多學(xué)生不知所措，你會做嗎？例題：（初中數(shù)學(xué)幾何證明題）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D為AC的中點，過點A作AE⊥BD于E，交BC于點F，求證：BF=2CF．.其實這道數(shù)學(xué)題難度并不大，此題的考查知識點主要就是全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等?！郆E=AG，AE=CG，∵BD⊥AG，CG⊥AG，∴BF/CF=BE/CG=2，

如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，AC=4，D為AB邊上一定點，E為線段AC上任意一點（不與端點重合），當(dāng)E點在線段AC上運動時，求DE+CE/2的最小值。因為∠CAB=30?，過點C作AB的平行線CF，則∠ACF=30?，以CE為斜邊，并包含∠ACF=30?，構(gòu)造Rt△CFE，方法是過點E作EF⊥CE，則EF=CE/2。此時就將DE+CE/2的最小值轉(zhuǎn)化為求DE+EF的最小值，易知當(dāng)D、E、F三點共線，且DF⊥CF時，DE+EF的值最小，且等于DF的長度，如下圖所示。因為CF∥AB，DF⊥C

例題1、如圖，在△ABC 和 △ABD 中，AC = BD ，AD = BC ，求證 ： △ABC ≌ △ABD.例題1圖。例題2、如圖，AB = CD ，AE = DF ， CE = FB ，求證 ：△ AEB ≌ △DFC.例題2圖?！?DF = CE ∴ DF - EF = CE - EF, 即 DE = CF.例題5、如圖，已知 AD 是 △ABC 中 ∠A 的角平分線，AC = AB + BD ，求證：∠B = 2∠C.∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD.例題9、如圖，E, F 是四邊形 ABCD 對角線 AC 上的兩點，AF = CE ，DF = BE ，DF∥BE 。

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠C=45°，AB=AD，AE⊥BC于E，求證：BC=2AE.作DH⊥BC，AF⊥DH，BG⊥AF.∴GB=AE=AF=EH=FH.∴BC=BE+HC+EH=AE+AE=2AE.作DH⊥BC，DF⊥AE.易證AE=FD=EH,BE=AF,FE=DH=HC.解法一：構(gòu)造變異的“K''''''''字型或構(gòu)造”K“字型。作CA⊥AP，交PB的延長線于點C，作CF⊥AB,作AE平行x軸，PE⊥AE。解法二：構(gòu)造”K“字型或變異”K“字型。如圖，構(gòu)造”K“字型

因為DH=AD-AH=1-AH.從“出口”倒推到自己目前所處的位置（已知條件）：只要證明AM=AH，就可以由AM=AC-CM，而AC易化為關(guān)于AE的式子，CM則等于CN，利用相似三角形的邊的比例關(guān)系，就能找到含AE的式子來表示CM，加上第(2)小題，已經(jīng)得到AH關(guān)于AE的表達式，或者可以推出這個表達式，從而列得關(guān)于AE的一元方程，并解得AE。AH=AE·BE/BC=AE(1-AE)=-AE^2+AE=-(AE-1/2)^2+1/4,AM=AC-CM=根號2AB-CN=根號2-AE^2+2AE-2=-AE^2+AE,

軸對稱：解決線段最值問題作平行轉(zhuǎn)化線段C...軸對稱：解決線段最值問題作平行轉(zhuǎn)化線段CE，再利用對稱解決線段最值。分析：△EFC周長=EF+CE+CF，EF=2√2，即求CE+CF最小值作CH∥BD，使CH=EF=2，連接AH交BD于點F，CH∥EF，CH=EF∴四邊形EFHC為?∴CE=FH.∵CF=AF（軸對稱）∴CE+CF=FH+AF=AH此時取得最小值∵AC⊥BD，CH∥BD∴∠ACH=90°，Rt△ACH中AH2=AC2+CH2=（6√2）2+（2√2）2∴AH=4√5即：△ECF周長最小值：4√5+2√2。

1. 動點問題(2019衢州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E.點M是線段AD上的動點，連接BM并延長分別交DE，AC于點F，G.5. （幾何探究類問題）(2018成都黑白卷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，過點C作CG⊥BA，交BA的延長線于點G，將一等腰三角尺的一條直角邊與AC在同一直線上，該三角尺的直角頂點為F.∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，S△ABC＝AB·CG，∴AC·DF＋

反比例函數(shù)與等邊三角形引發(fā)的思考，一線三等角的多角度構(gòu)造。解法一：構(gòu)造一線三等角。設(shè)EF=a，則CE=√(3)a.解法三：構(gòu)造一線三垂直?！唷?3)CG=EF,√(3)AG=CF.設(shè)CG=√(3)x，則EF=3x，CF=6√(3)-√(3)x.解法四：構(gòu)造一線三垂直。解法五：構(gòu)造一線三等角。此類問題，常常構(gòu)造一線三等角，有60°的一線三等角，有等邊出全等，或者利用三線合一出垂直，利用直角構(gòu)造一線三垂直，此時出相似，方法多樣不唯一，掌握1-2種靈活運用即