【原】引力勢

cosmos2062 2024-12-13 發(fā)布于廣東

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引力源在空間中激發(fā)的引力勢是一個純粹反映引力源性質(zhì)的物理量。

前面曾經(jīng)講到，萬有引力是保守力，當粒子受保守力作用時，可以引入相互作用勢能的概念。根據(jù)相互作用勢能的定義式， $\begin{equation} U(r)=\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{f}\cdot\mathrm4gpgdz4\vec{r} \end{equation}$ 一個試探粒子在受 (另一個粒子的) 萬有引力作用時，其引力勢能

$\begin{equation} U(r)=-\frac{GMm}{r}\notag \end{equation}$

前面曾經(jīng)對球形引力源引入了引力場強度 $\vec{g}$ 的概念，它被定義為每單位質(zhì)量的試探粒子所受的萬有引力： $\vec{f}=m\vec{g}$ ，這個定義同樣可以用到具有任意形狀和任意質(zhì)量分布的引力源。對一個任意的引力源，把這個定義式代入勢能表達式 (1) 式中： $\begin{equation}\notag U(r)=m\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{g}\cdot\mathrmtt445k4\vec{r} \end{equation}$ 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與粒子型引力源的情況一樣，試探粒子的引力勢能與它自身的質(zhì)量成正比。

引力勢能反映的是引力源和受力粒子之間的相互作用性質(zhì)，如果在這個勢能表達式中將試探粒子的質(zhì)量去掉，得到的結(jié)果將是一個純粹反映引力源性質(zhì)的物理量：

$\begin{equation}\tag2 V(r)=\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\vec{g}\cdot\mathrmg434v4u\vec{r} \end{equation}$ 把這個物理量稱為引力源在空間中激發(fā)的引力勢。定義了引力勢后，一個質(zhì)量為 $m$ 的粒子在引力場中的引力勢能就可以寫成 $\begin{equation}\notag U(r)=mV(r) \end{equation}$ 從數(shù)值上看，引力勢等于單位質(zhì)量的引力勢能，在國際單位制中，計量單位是焦/千克( ${\rm J·kg^{-1}}$ )。

需要注意的是，在引力勢的定義式 (2) 式中，我們設定引力勢的零點在無窮遠，但是，這并不是必須的。與引力勢能的情況相似，引力勢的零點可以設在空間中的任意點，但是，這樣的零點設定將使引力勢的最終表達式變得復雜。

在討論保守力問題時，假設作為引力源的物體是一個粒子，其他粒子在它的引力場中的勢能，以及它在空間中激發(fā)的引力勢，自然就很簡單。如果引力源不是一個粒子，而是一個有體積和質(zhì)量分布的物體，就需要對引力場、引力勢能和引力勢的表達式重新做出推導。

作為一個簡單的實例，考慮一個質(zhì)量均勻分布的球殼激發(fā)的引力勢。我們在前面已經(jīng)推導過一個均勻球殼激發(fā)的引力場： $\begin{equation}\notag \vec{g}(r)=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &\hspace{1.9em}0&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 由引力場的表達式可知，應該將空間劃分成兩個區(qū)域分別討論。在 $r>R$ 的區(qū)域， $\begin{equation}\notag V(r)=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{r}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrmq6eeyqkr=-\frac{GM}{r} \end{equation}$ 在 $r<R$ 的區(qū)域， $\begin{align}\notag V(r)&=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}0\cdot\mathrma6kmcc6r-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{R}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrm4uia8kkr \\\ &=-\frac{GM}{R}\notag \end{align}$ 于是，一個均勻球殼激發(fā)的引力勢 $\begin{equation}\notag V(r)=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r}&r>R\\ &-\frac{GM}{R}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 在上面的定積分表達式中，為了方便書寫，積分變量和積分上限使用了同一個字母。在今后的推導中，在不引起誤會的情況下，我們會繼續(xù)使用這種書寫方法而不加任何說明，請大家特別留意，并逐漸習慣這種寫法。

有了均勻球殼的結(jié)果和經(jīng)驗，實心球體的問題就不難解決了。還是像前面那樣，假定球體的質(zhì)量密度只與距球心的距離有關(guān)。有兩種方法推導實心球體激發(fā)的引力勢分布。

第一種方法是，將實心球體分割成半徑各不相同的薄球殼層，利用剛剛得到的均勻球殼的引力勢進行推導。不過，使用這種方法，會涉及到對引力勢進行疊加的問題，因此，還是容后在討論到這個問題時再細究吧；

第二種方法是，利用引力勢的定義式直接推導，這需要先給出實心球體激發(fā)的引力場分布： $\begin{equation}\notag \vec{g}=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &-\frac{GM(r)}{r^2}\hat{r}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 在 $r>R$ 的區(qū)域，引力場強度的表達式與粒子源的引力場強度表達式和均勻球殼外部的引力場強度表達式一樣，得到的引力勢的表達式自然也就一樣，無需多言；在 $r<R$ 的區(qū)域， $\begin{align}\notag V(r)&=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}\frac{GM(r)}{r^2}\mathrm8oggmgsr-\hspace{-1em}\overset{\quad\ \infty}{\underset{R}{\int}}\frac{GM}{r^2}\mathrmosu8imor \\\ &=-\hspace{-1em}\overset{\quad\ R}{\underset{r}{\int}}\frac{GM(r)}{r^2}\mathrmia8m8aqr-\frac{GM}{R}\notag \end{align}$ 這就是一個質(zhì)量密度按層分布的實心球體激發(fā)的引力勢在球內(nèi)空間中的分布，其中 $\begin{equation}\notag M(r)=\hspace{-0.3em}\underset{\hspace{-1.8em}0}{\overset{r}\int}\hspace{-0.3em}4\pi\rho u^2{\rm d}u\notag \end{equation}$ 是半徑為 $r$ 的球面內(nèi)的總質(zhì)量，只要給定質(zhì)量密度隨半徑的分布，就可以得到積分的結(jié)果。對于均勻分布的實心球體，質(zhì)量密度是一個常量，積分的結(jié)果不言自明。余下的細節(jié)，就交由大家討論吧。