西周初年，周公詢問商高（商人“高”）如何天文測量，商高的回答是“圓從方來（參考割圓術(shù)），方從矩來，矩根據(jù)乘除計算而來”。其中，“乘除計算”是根據(jù)勾三股四弦五而來，即勾股定理。

由于當時宇宙觀是天圓地方，且有“影差一寸、地差千里”這把“量天尺”，因此可以勾三股四弦五測量太陽高度、宇宙長度等，雖然結(jié)論肯定不對，但卻體現(xiàn)了古人的智慧。比如下圖，有興趣的翻閱筆者此前文章《周朝“宇宙模型”：如何算出日高8萬里，宇宙直徑81萬里？》。

關(guān)于勾股定理，相信不少人認為商高或中國古人沒有論證，只是知道“勾三股四弦五”，不如古希臘的畢達哥拉斯。其實，《周髀算經(jīng)》并有“勾股各自乘，并而開方除之”等記載，已經(jīng)論證了勾股定理，上個世紀臺灣學者李國偉、陳良佐等都發(fā)表論文，考證商高已經(jīng)證明勾股定理。

當然，本文重點談的不是商高有沒有論證這一話題，而是中國人為何會發(fā)現(xiàn)“勾股定理”，或者如何會發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”，考古發(fā)現(xiàn)超乎想象。搞清楚這一淵源，再看西方畢達哥拉斯定理由來，就會發(fā)現(xiàn)西方歷史實在太過神奇。

任何一項偉大的發(fā)明，在出現(xiàn)之前，往往都有漫長的鋪墊，勾股定理也是如此。

與古埃及蘇美爾不同，中國地理氣候是“四季分明”，對農(nóng)業(yè)有很多弊端，比如弊端之一是播種期很短，轉(zhuǎn)瞬即逝，一旦錯過，來年就可能面臨饑荒。因此，不是想不想、愿不愿的問題，而是現(xiàn)實逼迫古人要掌握農(nóng)時。

在長期的天文觀測中，古人發(fā)現(xiàn)天象與季節(jié)存在關(guān)系，比如北斗星的斗柄轉(zhuǎn)向與季節(jié)、大火星（又稱龍星，非今天的火星，如七月流火意為天氣轉(zhuǎn)涼）變化與季節(jié)存在聯(lián)系等等，于是通過觀測星象確定農(nóng)時，即我們熟知的“觀象授時”，如此也就有了天文學。

但星象只能晚上觀測，如何在白天“觀象”呢？對此，古人發(fā)明了“立表測影”，即豎立一根“表”，與之垂直的圭尺放置于地面，觀測日影長短。

其中，周髀算經(jīng)中指出“表”即“股”、即“髀”，而“股”就是腿骨。腿骨支撐人站立，表示起初是以人為尺度，即以人為立表測影之“表”，史記記載大禹就曾“身為度”。立表測影之“表”，由來應是股—髀—表，不同時代不同稱呼。

據(jù)此，正午日影照射“表”或“股”，就在圭尺上“勾”出日影，不同季節(jié)日影長度不一，古人據(jù)此判斷季節(jié)。但與此同時，這也構(gòu)成了一個直角三角形，其中垂直的叫“股”，與“股”垂直的日影可叫“勾”，這就是勾股定理中的“勾股”由來。由于“立表測影”不僅能觀測季節(jié)，后來也演變?yōu)槿贞?，觀測白天各個時辰，所以后來手表才被叫做手表。

從立表測影到勾三股四弦五，雖然沒有直接的考古發(fā)現(xiàn)，但考古發(fā)現(xiàn)表明，中國古人很早就知道直角三角形，然后在漫長的天文探索實踐中，發(fā)現(xiàn)勾三股四弦五的規(guī)律。對此，不妨看看以下三個考古發(fā)現(xiàn)。

首先，三角形是一個特殊的幾何形狀，自然界中不存在直接的三角形，因此必然是人造的形狀。以考古看，距今9000余年的賈湖遺址中出土夾炭紅陶三足盆形鼎，此后中國遺址中三足器等數(shù)不勝數(shù)，甚至等腰三角形的考古發(fā)現(xiàn)。因此，史前中國人對三角形已有一定認知。

《葉家山出土三足青銅器的地域特征分析》中，指出湖北隨州葉家山墓地出土的青銅器上，“三個頂點組成的三角形為等腰三角形”。從史前大量三足器等來看，葉家山出現(xiàn)等腰三角形絕非偶然，背后折射的是古人對此已有一定探索。

其次，湖北秭歸柳林溪遺址，距今7000年以上，其中出土的陶圓盤上，顯示的是原始洛書，也就是九宮圖前身。立表測影除了測時之外，還能辨方正位，太陽東升西落，日影就指出東西方向，與之垂直的是南北。反過來說，這說明當時已有立表測影，應該已經(jīng)關(guān)注直角三角形。

柳林溪之后，河南濮陽西水坡遺址也有立表測影證據(jù)，山西陶寺遺址更進一步。其中，陶寺遺址出土的圭尺表明當時已有20節(jié)氣，可觀測20個節(jié)氣的觀象臺布置更是需要精確計算。

第三，甘肅大地灣仰韶晚期，出土了一組質(zhì)量標準器，其中條形盤容積約為264.3立方厘米，鏟形抄容積約為2650.7，箕形抄約為5288.4立方厘米，深腹罐容積約為26082.1。顯然，大地灣先民必然已經(jīng)掌握十進制，也掌握一定幾何與計算知識，否則很難造出如此質(zhì)量器。

因此，至少在7000年前，中國古人在立表測影實踐中，應該已經(jīng)關(guān)注直角三角形。長期立表測影實踐，長期天文觀測確定農(nóng)時的需求，且是在中國廣大區(qū)域內(nèi)的實踐，最終能發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”符合認知邏輯。況且，商高生活在商末周初，相距柳林溪遺址有4000年，這么長時間才探索出“勾三股四弦五”無疑更顯真實。

與中國勾股定理的由來截然不同，“畢達哥拉斯定理”的由來，實在.......太神奇了！

無論對三角形、還是對直角三角形，中國人很早就有認知，勾股定理的出現(xiàn)更有漫長的歷史。但西方問題有二：其一，很晚才認識到三角形；其二，運用勾股數(shù)組卻很早。

古埃及認識到三角形，據(jù)說是因為需要“精確”分配被尼羅河泛濫的土地。既是精確分配土地，理應進入階級社會，且發(fā)展到一定程度，以古埃及歷史看，大概距今5000年左右。以考古看，蘇美爾認識到三角形的時間，大概是距今5300年，此前沒有帶有三角形痕跡的實物出土。

接下來，就是見證奇跡的時候了。西方歷史說：4500年前的古埃及，在建金字塔與測量土地時已運用了勾股定理；5000年前的蘇美爾，已經(jīng)知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數(shù)組，“普林頓322”的泥板文書上還有很多勾股數(shù)。

也就是說，此前連三角形都不知道的古埃及、蘇美爾，仿佛突然吃了“仙丹”一樣，然后就什么都懂了，壓根就不需要什么探索過程。以中國探索勾股定理的歷史來看，古埃及或蘇美爾大概是看一眼、想幾分鐘，然后就知道勾股定理了，神不神？

按照西方歷史描述，公元前六世紀，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，于是西方稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

畢達哥拉斯嚴謹吧，但他認為圓形最完美，于是“覺得”地球是圓形的，于是以理性著稱的古希臘科學家紛紛“覺得”畢達哥拉斯的“覺得”很合理。畢達哥拉斯又嚴謹、又感性，既科學又文藝，西方敘事中的類似科學家層出不窮！

參考資料：《周髀算經(jīng)》等