【原】引力場中的運動

cosmos2062 2024-12-05 發(fā)布于廣東

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利用試探粒子在引力場中的運動狀態(tài)，可以推測物質在天體內(nèi)部的分布方式。

在均勻球體的引力場問題中，我們得到了一個球形物體激發(fā)的引力場的空間分布： $\begin{equation}\notag \vec{g}=\left\{ \begin{aligned} &-\frac{GM}{r^2}\hat{r}&r>R\\ &-\frac{GM(r)}{r^2}\hat{r}&r< R \end{aligned} \right. \end{equation}$ 利用引力場的空間分布，可以求解處于其中的試探粒子的運動。

設想有一個質量為 $m$ 的試探粒子，在一個球形引力源激發(fā)的引力場中，該粒子以半徑為 $r$ 的圓軌道繞引力源的中心運動。

根據(jù)圓軌道運動的知識，這個試探粒子必定受到向心力的作用。在引力場中，向心力由萬有引力提供： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=mg \end{equation}$ 由于引力場強度的表達式與空間區(qū)域有關，因此，將空間劃分為兩個區(qū)域，分別進行討論是方便的。

在 $r>R$ 的區(qū)域，由引力場強度的表達式可以得到： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2} \end{equation}$ 由此得到試探粒子做圓軌道運動的速率：

\begin{equation}\tag 1 v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \end{equation}

這個結果與引力源的全部質量集中在球心時的情況相同，是我們預料之中的結果。

在 $r<R$ 的區(qū)域，引力場強度只與 $r$ 內(nèi)的質量有關： $\begin{equation}\notag \frac{mv^2}{r}=\frac{GM(r)m}{r^2} \end{equation}$ 由此得到圓軌道運動的速率：

\begin{equation}\tag 2 v=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}} \end{equation}

如果引力源內(nèi)部的物質均勻分布，

\begin{equation}\notag M(r)=\frac{Mr^3}{R^3} \end{equation}

則 (2) 式可以進一步被寫成：

\begin{equation}\tag 3 v=r\sqrt{\frac{GM}{R^3}} \end{equation}

現(xiàn)實中的引力源當然不會是均勻分布的，在萬有引力的作用有明顯效果的領域，也就是在天體的層級上，引力源的質量甚至是未知的。在這種情況下，通過上述 (1) ～ (3) 式求天體運動速率的想法是毫無意義的。

在實際的應用中，通常是先利用某種方法測出引力源內(nèi)部和外部的天體繞中心運動的速率，從而反推出引力源的質量分布特征。為了實現(xiàn)這個目標，需要將 (2) 式改寫成如下形式： $\begin{equation}\notag M(r)=\underset{\hspace{-2em}0}{\overset{r}\int}4\pi u^2\rho{\rm d}u=\frac{v^2r}{G} \end{equation}$ 并在等式的兩邊對 $r$ 求一階導數(shù)：

\begin{equation}\tag 4 M’(r)=4\pi r^2\rho=\frac{(v^2r)'}{G} \end{equation}

利用 (4) 式，可以推測引力源的質量分布。

天文學家將這種想法廣泛地應用于對星系的旋轉曲線進行理論分析。所謂旋轉曲線，指的是星系中各種天體繞中心的運動速率隨與中心距離的函數(shù)關系。典型的旋轉曲線有這樣的特征：在靠近中心的一個不大的區(qū)域，天體的速率從零很快地上升，之后，在一個廣闊的區(qū)域內(nèi)，天體的速率保持一個近似的常數(shù)。如下圖的圓點和實線所示，圓點是天文觀測的結果，實線是最佳擬合曲線。

作為一個應用實例，下面在最粗略的近似下分析旋轉曲線的形狀，從而得出星系的質量分布特征。在 $0<r<a$ 這個范圍內(nèi)，天體的運動速率幾乎以一個較高的斜率直線上升： $v\propto r$ ，根據(jù) (4) 式，在這個區(qū)域內(nèi)，質量的分布是密度較高的均勻分布；類似地，在 $a<r<b$ 這個區(qū)域，質量的分布也是均勻的，但密度明顯下降了；在 $r>b$ 這個區(qū)域，天體的運動速率有緩慢的下降，作為最粗略的近似，可以認為是一個常數(shù)。將常數(shù)速率代入 (4) 式得到 $\begin{equation}\notag \rho=\frac{v^2}{4\pi Gr^2}\propto \frac{1}{r^2} \end{equation}$

測量天體的旋轉速率是確定引力源質量分布的一種方法。除了通過引力效應這種方法，天文學家還使用測光的方法確定引力源的質量分布。天文學家發(fā)現(xiàn)，天體的發(fā)光能力 (稱為光度) 與它的質量有一定的關聯(lián)性，通過測量天體的光度可以估算它的質量。在上面的圖中，淺色線是通過測量星系的光度分布推算出質量的分布后得到的旋轉曲線，它比由引力效應得到的旋轉曲線要低許多。另一方面，由 (2) 式得， $M(r)～rv^2$ ，據(jù)此由圖中可以看出，在觀測所及的范圍內(nèi)，總質量與發(fā)光物質質量的比值高達10。這顯示，星系中含有大量用光學方法探測不到的質量，這一類物質被稱為暗物質。

暗物質與其他物質沒有電磁相互作用，不可能通過接收電磁波的手段探測到它們的存在。暗物質的研究位列物理學、宇宙學和天文學的前沿研究領域。