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非周期信號的傅里葉變換，這個在使用中更加的普遍，之前寫過，好像有些過于拖沓了，這次快來復(fù)盤一下新的推導(dǎo)過程。 從物理概念上考慮，一個信號必然含有一定的能量，無論信號怎樣分解，其所包含能量是不變的．所以不管周期增大至何種程度，頻譜的分布依然存在． 或者從數(shù)學(xué)角度分析，極限情況下，無限多的無窮小量之和，仍可等于一個有限值，此有限值的大小取決于信號的能量．基于上述原因，非周期信號的頻域分析不能采用先前的頻譜表示法，于是人們引入了傅里葉變換來表示非周期信號的頻譜分布． 從周期到非周期： 我們可以將非周期信號看作是周期無限大的周期信號。當周期趨近于無窮大時，傅里葉級數(shù)中的譜線逐漸稠密，最終形成連續(xù)的頻譜，這就是傅里葉變換。 從離散到連續(xù)： 傅里葉級數(shù)的系數(shù)是離散的，而傅里葉變換的頻譜是連續(xù)的。
得救之道就在其中！我終于把公式都學(xué)明白了！
這就是是周期的系數(shù)計算式
關(guān)鍵是這個，其實做了兩個事情，把后面的周期1/T乘到了前面，接著就是把前面變換過的式子寫了一次，使用2π/ω。
然后就是考慮這個T無限的時候怎么變換
上面的太模糊了，看這個吧，這個清晰，這里的FT被稱為了新函數(shù)，其實我糾結(jié)這個乘法的本來意思，我使用了量綱分析以后，發(fā)現(xiàn)其實并沒有什么物理上面的解釋。 Fn 是一個復(fù)數(shù)，表示振幅和相位；T1 是時間，表示周期。二者物理量綱不同，直接相乘得到的量綱不明確。
然后看這個，下面的ω趨于0 積分部分: 這部分是對函數(shù)f(t)乘以一個復(fù)指數(shù)函數(shù)后在整個周期內(nèi)進行積分。這個復(fù)指數(shù)函數(shù)的作用是將時域信號投影到不同頻率的基函數(shù)上，從而提取出不同頻率成分的強度和相位。 復(fù)數(shù) 可以同時表示振幅和相位。
因為這里是非周期的，所以頻譜系數(shù)是趨于0的，所以這一項變成了一個有限函數(shù)。重新定義一下：
就出現(xiàn)了這個連等式
因為這個東西的成立，可以理解為單位頻段內(nèi)的譜系數(shù)，即頻譜密度。 系數(shù)除以角頻率就是單位角頻率上面的密度，好了，這輩子忘不了。 F(ω)稱為信號f(t)的頻譜密度函數(shù)，它表示信號f(t)在不同頻率ω處的頻譜成分。 非周期信號：可以看作是由無數(shù)個不同頻率的正弦波無窮小成分疊加而成，每個頻率成分的振幅和相位由頻譜密度函數(shù)F(ω)決定。 雖然到目前為止已經(jīng)比較完美了，但是還是有點小遺憾。
為什么在第一個等號后面它公式都趨于無窮了，為什么還能成為一個有限值。 為什么當周期T趨于無窮大時，傅里葉系數(shù)Fn雖然趨于0，但2π/T * Fn卻可以趨于有限值，從而得到有限的傅里葉變換F(ω)。 傅里葉系數(shù)Fn趨于0的原因周期無限大： 當周期T趨于無窮大時，非周期信號可以看作是周期無限大的周期信號。 頻譜離散化： 對于周期信號，其頻譜是離散的，即只有在特定的頻率點上才有非零的傅里葉系數(shù)。 能量分散： 當周期無限大時，信號的能量在無限多的頻率成分上分散，導(dǎo)致每個頻率成分對應(yīng)的傅里葉系數(shù)趨于0。 2π/T * Fn趨于有限值的原因 頻譜密度： 2π/T可以看作是頻率間隔，即相鄰兩個頻率分量之間的距離。當T趨于無窮大時，這個頻率間隔趨于0，頻譜變得連續(xù)。 頻譜密度函數(shù)： 為了描述連續(xù)頻譜，引入了頻譜密度函數(shù)F(ω)，它表示單位頻率內(nèi)的頻譜強度。 2π/T * Fn趨于有限值是因為引入了頻譜密度的概念，將離散的頻譜轉(zhuǎn)化為連續(xù)的頻譜，從而使得總能量保持不變。 有限能量： 雖然每個頻率成分的強度趨于0，但當頻率間隔趨于0時，這些無限多的、趨于0的強度疊加起來，卻可以得到一個有限的總能量。 無論周期多大，信號的總能量是守恒的。當周期趨于無窮大時，能量只是在更密集的頻率范圍內(nèi)分布。
這個就是傅里葉的級數(shù)
這個就是最后的
當然了最后這個知識點也是要補充的 |
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