以下將簡單介紹12種計算行列式的方法。實際應(yīng)用中，選擇合適的方法取決于具體矩陣的結(jié)構(gòu)和計算的便利性。綜合運用這些方法，可以高效準確地計算各種行列式。

1. 用定義計算

定義方法基于行列式的基本定義，適用于元素中有大量零的情況。這種方法適用于小階數(shù)的行列式，或在行列式中有許多零元素時簡化計算。

2. 化三角形

化三角形方法通過初等行（列）變換將矩陣轉(zhuǎn)化為上（下）三角形矩陣，計算行列式時只需將對角線元素相乘，并考慮變換過程中乘以的系數(shù)和行（列）的交換次數(shù)。

具體步驟：

1. 通過行（列）變換將矩陣轉(zhuǎn)化為上三角形或下三角形。
2. 每次交換兩行（列），行列式的符號改變。
3. 如果乘以某個數(shù)進行行（列）縮放，行列式也會相應(yīng)縮放。
4. 最終行列式為對角線元素的乘積，乘以所有行（列）變換引入的系數(shù)。

3. 降階法

降階法通過行列式展開或消元，將高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式，逐步簡化計算。具體分為以下幾種情況：

(1) 按行（列）展開

選擇包含較多零元素的行（列）進行展開，可以大大簡化計算。

(2) 拉普拉斯定理展開

當行列式中有大塊的零元素時，可利用拉普拉斯定理按某一行或列展開，減少計算量。

(3) 行相等時的處理

當行（或列）中有相等的行時，可以通過線性變換消去相等部分，降低行列式的階數(shù)。

示例：若矩陣的兩行相等，則行列式為零。

4. 遞推法

遞推法基于行列式的遞推關(guān)系，通過建立   與 、 等之間的關(guān)系，遞推計算行列式。

5. 拆項法

拆項法通過將行列式的某一行（列）元素表示為多項式的和，將行列式拆分為多個行列式的線性組合，從而簡化計算。

(1) 元素為和

若某行（列）元素為兩項或多項的和，可將行列式拆分為對應(yīng)項的行列式之和。

但更一般地，對于多項和，可以利用線性性拆分行列式。

(2) 某列（行）中只有一個元素有特殊形式

當某一列（行）大部分元素為常數(shù)，只有一個元素為多項式時，可以選擇拆項。

6. 分解乘積法

分解乘積法適用于行列式元素為多項式的乘積情況，通過將行列式分解為兩個或多個行列式的乘積，從而將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的行列式計算。

條件： 行列式的矩陣可以表示為兩個矩陣的乘積 ，則：

7. 加邊法（升階法）

加邊法通過增加一行和一列來利用矩陣的特定結(jié)構(gòu)，從而簡化行列式的計算。這種方法常用于行列式中每行（列）都包含一個固定項的情況。

步驟：

1. 增加一行和一列，使得新增的行列保持行列式的值不變。
2. 通過新增行列的特性，簡化原矩陣的結(jié)構(gòu)，便于計算。

示例：考慮一個    階矩陣   ，如果每列都有一個固定的元素，可以通過增添一列和一行，使固定元素在新增行列中易于處理，進而化簡行列式。

8. 逐行（列）相消法

逐行（列）相消法通過對行（列）做線性變換，使得某些行（列）的元素相互抵消，從而將矩陣轉(zhuǎn)化為更易計算的形式。

步驟：

1. 選擇相鄰的兩行（列），通過加減操作消去不需要的元素。
2. 重復這一過程，逐步簡化矩陣。
3. 最終將矩陣化為上（下）三角形或其他簡化形式。

9. 利用已知行列式的結(jié)果

當行列式的結(jié)構(gòu)符合已知行列式的形式（如范德蒙德行列式、對稱行列式等）時，可以直接利用這些已知結(jié)果來計算。

范德蒙德行列式

對于    的范德蒙德矩陣：

其行列式為：

10. 公式降階法

公式降階法利用特定的矩陣分塊結(jié)構(gòu)，通過已知的行列式公式將復雜行列式轉(zhuǎn)化為多個簡單行列式的乘積或組合。

(1) 分塊矩陣的行列式

對于分塊矩陣：

其行列式為：

(2) 矩陣乘積的行列式

若    為    矩陣，  為    矩陣，則：

其中，  和    分別為    和   的單位矩陣。

(3) Schur 補公式

對于分塊矩陣：

其中，  是 可逆矩陣，  是   可逆矩陣，其行列式為：

或者，如果    可逆：

11. 利用特征值

特征值法基于矩陣的特征值性質(zhì)，行列式等于所有特征值的乘積。當矩陣的所有特征值易于求出時，此方法尤為有效。

公式：若   的特征值為   ，則：

12. 數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法通過證明行列式在某一階數(shù)下成立，并假設(shè)在 時成立，進而證明 時也成立，從而推廣到所有   階行列式的計算公式或性質(zhì)。

步驟：

1. 基礎(chǔ)步驟：驗證關(guān)于行列式的命題對于 或 時成立。
2. 歸納假設(shè)：假設(shè)命題對于 時成立。
3. 歸納步驟：在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，證明命題對于 時也成立。
   
   
   
   
   
   

參考書籍：《高等代數(shù)問題求解的多向思維》科學出版社 張之正等編著