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物理學(xué)激發(fā)了公眾的好奇心，但許多人覺得數(shù)學(xué)令人望而生畏。然而，物理學(xué)中的許多核心思想源于簡單的原理，這些原理經(jīng)過調(diào)整和修改，逐漸演變?yōu)槟軌蚋玫赜成湮锢憩F(xiàn)象的復(fù)雜形式化方法。 雖然許多物理學(xué)畢業(yè)生最終從事數(shù)據(jù)科學(xué)工作，但物理學(xué)中的數(shù)學(xué)見解能否為數(shù)據(jù)科學(xué)家提供啟發(fā)并豐富他們的知識呢？我認(rèn)為答案是肯定的。盡管數(shù)據(jù)科學(xué)作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科相對較新，但數(shù)據(jù)的收集和分析貫穿了物理學(xué)的歷史，例如約翰內(nèi)斯·開普勒通過收集天文觀測數(shù)據(jù)推導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)定律。物理學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)都從數(shù)據(jù)中提取模式，盡管數(shù)據(jù)科學(xué)通常處理的是統(tǒng)計(jì)模式，而物理學(xué)處理的是符合規(guī)律的或規(guī)范性的模式。理解基本定律可以幫助數(shù)據(jù)科學(xué)家在建模復(fù)雜系統(tǒng)和開發(fā)真實(shí)世界現(xiàn)象的模擬時(shí)取得更好的效果。 在本文中，我將探討支撐大部分物理學(xué)的三個(gè)數(shù)學(xué)思想：最小作用量原理、描述愛因斯坦狹義相對論中時(shí)間和空間變換的洛倫茲變換，以及支持廣義相對論（即將引力解釋為時(shí)空曲率的理論）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的度規(guī)張量。 最小作用量原理可能是整個(gè)物理學(xué)中最重要的原理，因?yàn)樗灤┝私?jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)。它提供了一個(gè)與牛頓發(fā)明的描述物理系統(tǒng)演化的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程等效但不同的表述。具體來說，它通過確定最小化一種稱為作用量的東西的路徑來描述物理系統(tǒng)在時(shí)間上的運(yùn)動(dòng)。作用量是一個(gè)泛函，即一個(gè)以函數(shù)為輸入的函數(shù)，它描述了系統(tǒng)在兩個(gè)點(diǎn)之間路徑變化的駐定性。
理解作用量作為一個(gè)泛函，特別是作為對路徑變化進(jìn)行評分的工具，是理解其背后概念的關(guān)鍵。下文的解釋將使這一點(diǎn)更加清晰。這一顯著結(jié)果將運(yùn)動(dòng)表達(dá)為在給定約束條件下的一種優(yōu)化函數(shù)。 洛倫茲變換描述了時(shí)間和空間坐標(biāo)如何交織成一個(gè)統(tǒng)一的度量，從而使它們的測量能夠相對于慣性參照系中的觀察者成比例地變化，同時(shí)保持光速不變。這個(gè)形式化方法確保了光速在不同參照系中保持恒定，這與牛頓的假設(shè)相反，后者認(rèn)為光速會(huì)相對于不變的空間和時(shí)間單位發(fā)生變化。在狹義相對論提出之前，光速的恒定性是一個(gè)與經(jīng)典物理框架不相符的實(shí)驗(yàn)觀察現(xiàn)象。 最后，我們解釋度規(guī)張量背后的數(shù)學(xué)思想，它描述了曲面上的長度或距離。度規(guī)張量是一個(gè)雙線性、對稱的恒等矩陣，它將平坦的歐幾里得空間中基于畢達(dá)哥拉斯定理的長度概念推廣到包括曲面在內(nèi)的任何可能的空間。曲面被愛因斯坦用來描述在引力存在下時(shí)空的扭曲。你們可能非常熟悉歐幾里得距離和線性代數(shù)，因此理解度規(guī)張量背后的概念應(yīng)該是一個(gè)自然而然的事情。由伯恩哈德·黎曼發(fā)展起來的度規(guī)張量構(gòu)成了非歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，奇妙地將長度的概念推廣到任何基礎(chǔ)幾何上。 最小作用量原理最小作用量原理構(gòu)成了物理學(xué)的核心。它包括了運(yùn)動(dòng)方程，并以數(shù)學(xué)形式表達(dá)了物理系統(tǒng)在時(shí)間上過渡的規(guī)則。 要開始理解這個(gè)原理，回想一下牛頓第二定律是如何通過三個(gè)輸入來計(jì)算粒子系統(tǒng)的軌跡的：粒子的質(zhì)量、作用在系統(tǒng)上的力，以及初始位置和速度，并通過F=ma確定演化規(guī)則，其中m表示質(zhì)量，a表示加速度。與牛頓的方法不同，最小作用量原理通過輸入初始和最終位置、質(zhì)量和速度（以及根據(jù)系統(tǒng)的不同而不同的其他約束）來計(jì)算系統(tǒng)的軌跡，但省略了力的作用。它隨后選擇了最小化一種稱為作用量的數(shù)量的路徑。在我們解釋作用量的具體內(nèi)容之前，我們需要理解牛頓方程的另一種表述，即拉格朗日量（Lagrangian）。 拉格朗日量L被計(jì)算為動(dòng)能T與勢能V之間的差值，其中T由質(zhì)量與速度平方的乘積除以2（2表示初始速度與最終速度之間的平均值）得出，而V則由物體的質(zhì)量m、重力常數(shù)g和物體離地高度h的乘積得出（勢能的計(jì)算隨系統(tǒng)的不同而變化）。
其中：
為什么拉格朗日量是通過動(dòng)能和勢能的差值計(jì)算出來的？因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它將勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，而兩者之間的差值捕捉到了這兩種能量之間的動(dòng)態(tài)相互作用。相反地，重要的是要注意，總能量是通過這兩個(gè)值的和計(jì)算出來的。 拉格朗日量的輸入是位置 x 和速度 v。這是因?yàn)樗俣仁俏恢玫牡谝粚?dǎo)數(shù)。 要計(jì)算拉格朗日量，我們至少需要知道速度、廣義坐標(biāo)、位置和粒子的質(zhì)量。勢能取決于粒子（或一組粒子）的位置，因?yàn)樗枋隽嗽摿Ｗ涌赡茏龅墓?，而?dòng)能取決于粒子的速度，因?yàn)樗枋隽肆Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)。 在討論物理系統(tǒng)的軌跡或路徑時(shí)，作用量是如何成為一個(gè)關(guān)鍵概念的？想象在一條曲面上有兩個(gè)點(diǎn)，你需要找到最短的距離。這兩個(gè)點(diǎn)之間有許多路徑，但只有一條路徑表示最短距離。作用量類似于這個(gè)問題。為了找到系統(tǒng)的軌跡，我們需要選擇一條使作用量最小化的路徑。由此推論，作用量在系統(tǒng)演化過程中保持駐定。 由于作用量必須是駐定的，因此作用量的一階偏導(dǎo)數(shù)必須為零：
在高層次上，作用量通過拉格朗日量在給定時(shí)間區(qū)間[t_0, t_1]的路徑積分來描述。盡管從 t_0 到t_1的函數(shù)積分通常被理解為曲線下的面積，但拉格朗日量的路徑積分不應(yīng)直觀地被視為面積，而應(yīng)被視為泛函的積分。泛函是以另一個(gè)函數(shù)作為輸入并輸出標(biāo)量的函數(shù)。輸入是拉格朗日量，輸出定義了作用量。在系統(tǒng)可以在t_0和t_1之間采取的許多路徑中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它恰好選擇了最小化作用量的路徑。 以下是作用量作為拉格朗日量路徑積分的簡單公式：
現(xiàn)在，由于定積分可以通過函數(shù)f(x)輸出的y值與x的變化（表示為 Δx）的乘積的黎曼和來計(jì)算，當(dāng) k的區(qū)域分區(qū)趨于無窮大時(shí)，我們可以將作用量計(jì)算為拉格朗日量與時(shí)間導(dǎo)數(shù) dt的乘積的黎曼和。換句話說，拉格朗日量的定積分可以通過在時(shí)間區(qū)間內(nèi)最小化作用量來計(jì)算。 作用量由系統(tǒng)初始位置和最終位置之間的拉格朗日量路徑積分構(gòu)成。這意味著路徑積分通過計(jì)算勢能和動(dòng)能之間的差值來最小化作用量。微積分的基本定理允許我們將作用量計(jì)算為t_0和t_1 之間的連續(xù)區(qū)間，盡管它也可以在離散時(shí)間步長N中計(jì)算。如果我們將作用量想象為離散時(shí)間步長 N的總和，我們可以將其計(jì)算為拉格朗日量在每個(gè)時(shí)間步長的值與時(shí)間t值的乘積的總和。 拉格朗日量通常依賴于位置和速度，但也可以是時(shí)間相關(guān)的。如果拉格朗日量隨時(shí)間變化，即使其位置和速度保持不變，我們就說它是時(shí)間相關(guān)的。否則，拉格朗日量隱式地通過位置和速度的變化依賴于時(shí)間。對于時(shí)間無關(guān)的公式，我們將 L(x,x˙)代入方程，以表示其對位置和速度的依賴性：
現(xiàn)在，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)所有動(dòng)量之和的導(dǎo)數(shù)等于零。換句話說，在一個(gè)孤立系統(tǒng)中，總動(dòng)量始終是守恒的或保持不變的。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，因?yàn)樽兓时３植蛔兓蛳嗟取Ｔ谂ｎD力學(xué)中，第三運(yùn)動(dòng)定律表明，每一個(gè)作用都有一個(gè)相反且相等的反作用力，這表達(dá)了總動(dòng)量的守恒。 同樣，能量守恒定律認(rèn)為孤立系統(tǒng)的總能量在任何轉(zhuǎn)化過程中都是守恒的：總能量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為零。然而，與動(dòng)量不同的是，能量有不同的形式。所有這些形式的總和是守恒的。用運(yùn)動(dòng)的術(shù)語來說，能量只有我們一直在討論的兩種形式：動(dòng)能和勢能。 由于拉格朗日量定義為這兩種能量形式之間的差值，當(dāng)拉格朗日量在時(shí)間平移下不變時(shí)，這意味著能量的守恒。 類似于能量守恒的情況也出現(xiàn)在作用量方面。在確定的軌跡中，自然選擇使作用量值最小的路徑。這種最小化類似于優(yōu)化問題中函數(shù)的最小化，只不過作用量代表了包括每個(gè)時(shí)刻所有坐標(biāo)在內(nèi)的多個(gè)變量。這種極值特性通過歐拉-拉格朗日方程表達(dá)出來，形成了運(yùn)動(dòng)方程。 什么是歐拉-拉格朗日方程？它們是描述系統(tǒng)如何從一個(gè)時(shí)刻移動(dòng)到下一個(gè)時(shí)刻的微分方程。現(xiàn)在，我不會(huì)在這里推導(dǎo)這些方程，但直觀上，我們將作用量A相對于位置 dx的導(dǎo)數(shù)設(shè)為零。換句話說，我們考慮路徑中的微小變化，并要求作用量的偏導(dǎo)數(shù)為零。
這會(huì)產(chǎn)生歐拉-拉格朗日方程的兩個(gè)項(xiàng)：拉格朗日量對速度的偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，以及拉格朗日量對位置的偏導(dǎo)數(shù)。分別代表動(dòng)能（動(dòng)量變化）和勢能的變化。將這兩個(gè)量之間的差值設(shè)為零，就得到了最小化作用量的歐拉-拉格朗日方程。 單個(gè)坐標(biāo)或自由度下的歐拉-拉格朗日方程如下所示，其中 L表示拉格朗日量，x點(diǎn)表示速度，x 表示位置。
用自然語言描述，這個(gè)方程表示為：拉格朗日量對速度的偏導(dǎo)數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)減去拉格朗日量對位置的偏導(dǎo)數(shù)等于零。直觀上，這可以重新表述為：拉格朗日量相對于速度的瞬時(shí)變化率的時(shí)間導(dǎo)數(shù)減去拉格朗日量相對于位置的瞬時(shí)變化率是駐定的。 進(jìn)一步簡化，歐拉-拉格朗日方程意味著物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)對應(yīng)于拉格朗日量積分（即作用量）的極值。 該方程可以推廣到任意坐標(biāo)（x,y,z,…n）：
在具體情境中，作用量是一個(gè)泛函，也就是說，它是一個(gè)函數(shù)的函數(shù)，涉及從一個(gè)函數(shù)輸入（拉格朗日量）到標(biāo)量輸出（作用量值）的映射。 盡管最小作用量原理能夠有效計(jì)算物理系統(tǒng)的軌跡，但它需要知道初始和終止位置。取而代之的是我們使用牛頓形式化方法，它要求知道粒子的位置和初始速度。 最小作用量原理可以在重要的限定條件下適應(yīng)量子物理，其中考慮了初態(tài)和末態(tài)之間的所有可能路徑，并通過計(jì)算每條路徑的概率幅的總和來確定系統(tǒng)的概率演化。 根據(jù)這種表述，經(jīng)典的最小作用量原理可以被認(rèn)為是量子表述的一個(gè)特例，在所有路徑中，最小作用量路徑占主導(dǎo)地位。 洛倫茲變換理解洛倫茲變換是進(jìn)入愛因斯坦狹義相對論的入口。它們構(gòu)成了計(jì)算慣性或勻速參照系中的相對論時(shí)空變換的數(shù)學(xué)框架，即排除引力的參照系。 狹義相對論的核心概念是，運(yùn)動(dòng)只能相對于某個(gè)參照系來描述，而不能用絕對的方式來描述。例如，如果我在開車，相對于汽車來說我是靜止的，但相對于我的房子來說我是在移動(dòng)的。 相對運(yùn)動(dòng)的概念存在于經(jīng)典力學(xué)中，最早由伽利略描述。 狹義相對論中突破性的見解并不是相對運(yùn)動(dòng)本身，而是在空間平移過程中保持不變或恒定的內(nèi)容。在經(jīng)典力學(xué)中，所有運(yùn)動(dòng)都是無差別地相對的，而空間和時(shí)間的坐標(biāo)僅以加法方式變化，同時(shí)對于所有觀察者來說都是靜止且相互獨(dú)立的。 經(jīng)典力學(xué)中的相對運(yùn)動(dòng)假設(shè)意味著光的運(yùn)動(dòng)也應(yīng)遵循相對論定律。換句話說，如果我站著不動(dòng)并拿著手電筒，而你在開車并拿著手電筒，那么你手電筒發(fā)出的光的運(yùn)動(dòng)應(yīng)被測量為光速與你的速度之和。 然而，實(shí)驗(yàn)證據(jù)與這一假設(shè)相矛盾。實(shí)際上，無論參照系如何，光的速度都是恒定的。換句話說，實(shí)驗(yàn)證據(jù)表明光速是絕對的。 愛因斯坦并沒有在觀察結(jié)果中尋找錯(cuò)誤，而是將光速恒定性作為自然法則。如果光速始終測量相同，那么必須改變的是空間和時(shí)間坐標(biāo)的表示方式。 要理解愛因斯坦的狹義相對論如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，重要的是對經(jīng)典力學(xué)描述的簡化運(yùn)動(dòng)方程有一個(gè)初步的理解。這些方程將被修改，以便觀察者之間的相對運(yùn)動(dòng)不會(huì)改變光速，而是改變空間和時(shí)間的交織度量。這帶來了一個(gè)奇特的結(jié)果：當(dāng)速度接近光速極限時(shí)，時(shí)間和距離的測量會(huì)因觀察者不同而有所不同。 運(yùn)動(dòng)方程通常被簡化為SUVAT縮寫（s = 距離，u = 初始速度，v = 速度，a = 加速度，t = 時(shí)間）：
閔可夫斯基度規(guī) 為了使洛倫茲變換易于理解，我們將使用時(shí)空圖。這些圖反轉(zhuǎn)了距離和時(shí)間的坐標(biāo)軸，時(shí)間表示為x軸，距離表示為y軸。此外，我們使用y軸表示大的距離區(qū)間，因?yàn)槲覀兿虢忉屜鄬τ诠馑俚倪\(yùn)動(dòng)。光速為299,792,458 米/秒。在時(shí)空圖中，一秒鐘將對應(yīng)于這個(gè)距離。這意味著圖中位于坐標(biāo)軸之間45°角的直線表示光速在時(shí)間上的恒定性。實(shí)際上，笛卡爾坐標(biāo)系中的對角線將代表光速的漸近極限，這將限制在y軸上時(shí)間的平移和在x軸上空間的平移。 在時(shí)空圖中，45°角的直線表示光速傳播。如果一條直線的角度小于45°，這表示該物體以低于光速的速度（亞光速）勻速運(yùn)動(dòng)。在牛頓經(jīng)典力學(xué)的框架中，光速被視為和其他任何速度一樣，可以相對疊加或減去。因此，在牛頓的觀點(diǎn)中，直線角度大于45°的情況意味著該物體以超過光速的速度（超光速）運(yùn)動(dòng)。此外，牛頓的模型假設(shè)時(shí)間和空間的單位是不變的，即無論參照系如何變化，這些單位始終保持恒定。因此，如果以半光速朝著光的方向運(yùn)動(dòng)，從你的參照系來看，光速會(huì)減少一半，因?yàn)槟阏J(rèn)為自己在追趕光。然而，狹義相對論證明這種理解是錯(cuò)誤的，光速在所有參照系中都是恒定的，不會(huì)因觀察者的速度而改變。 從將空間和時(shí)間視為獨(dú)立測量到將它們整合為稱為時(shí)空的連續(xù)體，這一飛躍涉及將時(shí)間變量轉(zhuǎn)化為距離的測量。我們通過將時(shí)間變量與光速常數(shù)c 進(jìn)行加權(quán)來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。當(dāng)我們將c 乘以t 時(shí)，得到 ct，它測量的是1光秒。 在牛頓-伽利略的框架中，兩個(gè)參照系S和S'分別由坐標(biāo)(x, t)和(x',t')給出，其中撇號符號用于區(qū)分兩個(gè)相對的參照系（并不表示微分或?qū)?shù)）。這些參照系是可逆的，且在伽利略相對論中它們的逆是等價(jià)的。從S的參照系來看，S'的坐標(biāo)（位置和時(shí)間）分別由x' = (x-vt)和t' = (t- vx/c2)給出。同樣地，從S'的參照系來看，S的坐標(biāo)由x = (x' + vt')和t = (t+vx/c2)給出。然而，這些轉(zhuǎn)換最終使光相對化，而不是時(shí)空。那么，問題來了，我們?nèi)绾螐腟 →S' 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以便在保留 c（光速）的同時(shí)，按比例縮放時(shí)間和距離變量（更準(zhǔn)確地說，時(shí)空連續(xù)體）？ 一種推導(dǎo)這些轉(zhuǎn)換的方法是使用我們上面介紹的時(shí)空圖，其中我們通過常數(shù) c對時(shí)間進(jìn)行了縮放。我們正在尋找的轉(zhuǎn)換可以表示如下：
事實(shí)上，我們將利用參照系之間的對稱性或等價(jià)性來推導(dǎo)出伽瑪因子作為相對參照系之間時(shí)空轉(zhuǎn)換的共同縮放因子，以反映光速恒定性。下圖展示了這種相對運(yùn)動(dòng)的伽利略對稱性，表達(dá)了我們引入的兩個(gè)參照系作為彼此的逆：
由于光速在所有參照系中都是恒定的，如果從兩個(gè)參照系的原點(diǎn)開始（x = 0 和 t = 0），光的路徑將滿足以下方程（回想一下，45°的對角線表示光速，其中一個(gè)時(shí)間單位對應(yīng)于光在一個(gè)距離單位內(nèi)的傳播距離）：
從x到x'的轉(zhuǎn)換由以下方程給出，其中x'只是x與速度和時(shí)間的乘積之差?，F(xiàn)在，為了推導(dǎo)洛倫茲變換，我們需要某個(gè)因子來縮放時(shí)空變換。因子等于v/c——即速度與光速的比值——并用于縮放ct。如果展開表達(dá)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)它在代數(shù)上簡化為括號內(nèi)的牛頓變換。正如我們將看到的，當(dāng)洛倫茲因子接近1時(shí)，洛倫茲變換就會(huì)等同于它們的牛頓對應(yīng)物，這與我們?nèi)粘Ｋ斫獾氖录耐瑫r(shí)性相對應(yīng)。以下公式展示了我們?nèi)绾螐某跏脊酵茖?dǎo)出伽瑪縮放的相對位置轉(zhuǎn)換公式：
同樣，我們可以通過以下方程推導(dǎo)出從t到t'的時(shí)間變換。由于使用的是時(shí)空圖，我們從ct'開始。我們看到ct'可以通過ct和縮放x的差來計(jì)算，整個(gè)表達(dá)式再由洛倫茲因子縮放。通過展開表達(dá)式代數(shù)求解t'，這將t'的解簡化為t-vx/c2，并乘以：
當(dāng)速度非常小時(shí)，vx/c2簡化為0，簡化為1，結(jié)果為t'=t。這一結(jié)果與我們?nèi)粘５呐ｎD經(jīng)驗(yàn)相對應(yīng)，即我在靜止?fàn)顟B(tài)下的1秒鐘大致等于你相對于我以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)的1秒鐘。 正如你可能注意到的，x'的轉(zhuǎn)換涉及ct作為一個(gè)項(xiàng)，而t'的轉(zhuǎn)換涉及x作為一個(gè)項(xiàng)。通過將它們作為彼此參照系變換中的項(xiàng)，時(shí)間和空間變得交織在一起，形成一個(gè)互相依賴的連續(xù)體，其中一個(gè)變量的單位變化對應(yīng)于另一個(gè)變量的單位變化。這種相互關(guān)系將解釋由洛倫茲變換描述的時(shí)間膨脹和空間收縮的比例關(guān)系。 我們?nèi)绾未_定洛倫茲因子的值？一種方法是將轉(zhuǎn)換方程相乘并求解共同因子。記住，由于我們之前引入的等式，我們可以分別用ct和ct'替換x和x'。這將使我們能夠消去相同的項(xiàng)并求解：
現(xiàn)在我們可以通過以下替換表達(dá)x'參照系：
并且可以通過以下替換表達(dá)t'參照系：
在每個(gè)方程中，當(dāng)速度v接近光速時(shí)，v2/c2接近1，分母的值接近√0。我們從E=mc2知道，具有靜止質(zhì)量的物體原則上不可能被加速到等于光速。因此，分母的值不可能物理上等于0。 另一方面，當(dāng)速度很小，v2/c2是一個(gè)非常小的數(shù)值時(shí)，分母的值接近1。當(dāng)分母（稱為洛倫茲因子）等于1或接近1時(shí)，洛倫茲因子變得無足輕重，方程近似為牛頓運(yùn)動(dòng)方程。也就是說，運(yùn)動(dòng)方程由分子給出，簡化為牛頓的運(yùn)動(dòng)方程。 洛倫茲因子是理解洛倫茲變換的關(guān)鍵。如果你回想伽利略相對論，慣性參照系的互換性是通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的。旋轉(zhuǎn)由三角函數(shù)描述，三角函數(shù)保持歐幾里得距離不變。具體來說，旋轉(zhuǎn)保持半徑不變。這意味著長度單位在轉(zhuǎn)換過程中保持恒定。 類似地，洛倫茲變換保持了時(shí)空度規(guī)不變。與歐幾里得度規(guī)不同，時(shí)空度規(guī)使所有的時(shí)空變換相對于光速這一絕對值變得相對。因此，光速形成了洛倫茲變換所趨近但無法等同的漸近線。漸近線由穿過兩個(gè)坐標(biāo)軸的對角線構(gòu)成。由于時(shí)空變換的范圍既是無限的，同時(shí)又漸近于對角線，因此它們由雙曲函數(shù)或旋轉(zhuǎn)來描述。雙曲旋轉(zhuǎn)是類似于三角函數(shù)的函數(shù)，但使用的是雙曲線而不是圓。與有限的圓不同，雙曲旋轉(zhuǎn)可以擴(kuò)展到無限的范圍。它們與三角函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)可以被描述為對特殊數(shù)e（2.718）的指數(shù)運(yùn)算，其中sin(x)的類似物表示為sinh(x)，cos(x)的類似物表示為cosh(x)，它們分別由以下函數(shù)描述：
就像在單位圓中(sin x, cos x)描述其點(diǎn)一樣，(cosh x, sinh x)形成單位雙曲線的右半部分。在狹義相對論的背景下，雙曲旋轉(zhuǎn)的角度被稱為“迅速性”（rapidity），用符號eta 表示。以下是與我們之前推導(dǎo)出的洛倫茲變換等效的雙曲旋轉(zhuǎn)：
洛倫茲因子與雙曲旋轉(zhuǎn)迅速性之間的關(guān)系如下：
如果伽利略旋轉(zhuǎn)保持半徑或歐幾里得距離不變，那么洛倫茲變換保持什么不變？它們保持閔可夫斯基度量不變，由以下等式給出，這與歐幾里得距離類似：
由于實(shí)際的洛倫茲變換發(fā)生在四維空間中，1個(gè)時(shí)間維度和3個(gè)空間維度，或者說4個(gè)時(shí)空維度，四維閔可夫斯基區(qū)間由以下方程給出：
下面的GIF圖展示了這些雙曲變換作為二維時(shí)空扭曲，隨著速度接近光速而逐漸趨近對角線漸近線。網(wǎng)格上的扭曲表示由于觀察者的相對速度導(dǎo)致的時(shí)空度量的扭曲。隨著速度接近光速極限，空間（水平軸的雙曲線）收縮，時(shí)間（垂直軸的雙曲線）膨脹。這些交織在一起的變換保持了閔可夫斯基度規(guī)s2的恒定，比例縮放這些變換以抵消光速的不變性。
空間收縮與時(shí)間膨脹可以在靜止觀察者和以勻速或慣性速度移動(dòng)的觀察者之間反轉(zhuǎn)。如果你相對于一個(gè)靜止的人以接近光速的勻速運(yùn)動(dòng)，同樣可以描述你為靜止，而對方則是以接近光速運(yùn)動(dòng)。 度量張量：曲面幾何狹義相對論中的洛倫茲變換發(fā)生在平坦的偽歐幾里得空間中。什么是平坦空間？它是一種幾何結(jié)構(gòu)，其中點(diǎn)之間的度量或距離測量是恒定的。最著名的平坦空間度規(guī)是由畢達(dá)哥拉斯定理定義的。另一個(gè)平坦度規(guī)包括我們上面討論的閔可夫斯基時(shí)空度規(guī)。 歐幾里得度規(guī)將兩點(diǎn)之間的距離定義為直角三角形最短邊的平方和的平方根。這源于畢達(dá)哥拉斯定理：a2 + b2 = c2。 從幾何學(xué)上講，歐幾里得兩點(diǎn)間的距離是每個(gè)坐標(biāo)（x,y）之間平方差的和的平方根。
畢達(dá)哥拉斯定理可以推廣到n維空間：
因此，我們可以用下面的公式表達(dá)三維空間中的歐幾里得距離：
然而，這種推廣保留了歐幾里得平坦空間作為距離屬性。換句話說，度量保持恒定。 為了理解度量張量，我們需要學(xué)會(huì)將畢達(dá)哥拉斯定理視為平坦或歐幾里得空間的特例。 換句話說，我們需要定義一個(gè)中立空間，使得由畢達(dá)哥拉斯定理定義的歐幾里得距離可以作為特例推導(dǎo)出來。 在做到這一點(diǎn)之前，必須問為什么在畢達(dá)哥拉斯定理中坐標(biāo)差是平方的？這可以通過多種方式解釋，但一種直觀的解釋是幾何學(xué)上的。它們是平方的，因?yàn)檫@產(chǎn)生了等長的幾何面積，考慮到面積是長度和寬度的乘積，這使我們能夠?qū)⑿边呌?jì)算為直角邊平方和的平方根。這個(gè)答案由克羅內(nèi)克δ定義的度量張量給出，如果i=j則輸出1，如果i≠j則輸出0。 然而，我們也可以通過空間的廣義度規(guī)來演示這個(gè)結(jié)果，其中度規(guī)張量由切空間上的平滑變化的內(nèi)積組成。 什么是切空間？切空間是切于流形上一點(diǎn)的所有向量的集合。 該方程的一般形式如下，其中g(shù)代表度規(guī)張量，μv是每個(gè)坐標(biāo)項(xiàng)的度量張量值的索引，dX表示每個(gè)坐標(biāo)的微小位移：
根據(jù)上述方程，我們可以用以下求和公式表示二維空間中兩點(diǎn)之間的平方距離：
在上面的公式中，g系數(shù)旁邊的零和一以及x變量表示索引。具體來說，它們表示的是0和1的排列矩陣，即：01, 00, 11, 10。 dx?和dx1系數(shù)表示兩個(gè)不同坐標(biāo)的微小位移，其中0和1表示索引。每個(gè)坐標(biāo)的位移乘積與相應(yīng)的度量張量g的值相乘。 因此，在上述公式中，g代表每個(gè)索引的度規(guī)張量的系數(shù)。為什么上面的公式有四項(xiàng)？因?yàn)閮牲c(diǎn)由四個(gè)坐標(biāo)或標(biāo)量值描述。在歐幾里得幾何中，隱含的基向量是切向量(0,1)和(1,0)。這些切向量跨越了整個(gè)歐幾里得空間?，F(xiàn)在g定義了向量空間中任一點(diǎn)處的切向量之間的內(nèi)積。g的值通過所有可能的基向量組合的內(nèi)積獲得。 當(dāng)系數(shù)值表示兩點(diǎn)之間的正交關(guān)系時(shí)，g的值簡化為單位矩陣：
在二維空間或兩坐標(biāo)系統(tǒng)中，我們可以將歐幾里得距離表示為度規(guī)張量和各坐標(biāo)之間距離平方的向量的乘積。因?yàn)樵谄教箽W幾里得空間中直角的度規(guī)張量是單位矩陣，兩點(diǎn)之間的平方距離簡化為如下所示的畢達(dá)哥拉斯定理：
上面的公式也可以表示為我們第一個(gè)公式中表達(dá)的線性加權(quán)組合：
歐幾里得距離作為帶有g(shù)值的線性加權(quán)和。 如上所示，當(dāng)g=0時(shí)，我們可以消除后兩項(xiàng)，將方程簡化為歐幾里得距離。因此，我們已經(jīng)解釋了度規(guī)張量的廣義形式如何暗示歐幾里得距離作為一個(gè)特殊或極限情況。 當(dāng)最短距離不能通過歐幾里得距離表示時(shí)會(huì)怎樣？在日常直覺中，我們假設(shè)相對和相鄰線段的長度存在直角，以便滿足作為斜邊距離測量的畢達(dá)哥拉斯定理。在線性代數(shù)中，這相當(dāng)于假設(shè)正交基作為空間的度量。基定義為跨越該向量空間的線性獨(dú)立向量集。正交基是垂直的單位向量或內(nèi)積為零的單位向量。 但這種先驗(yàn)假設(shè)在經(jīng)驗(yàn)上可能是站不住腳的。事實(shí)上，底層幾何可能以不同方式彎曲或傾斜。如果是這樣，我們?nèi)绾伪硎緝牲c(diǎn)之間的最短距離？為了定義非歐幾里得空間，我們?yōu)槎攘窟x擇了不同的基向量。這些基向量的排列空間的內(nèi)積將輸出度規(guī)張量，該張量通過兩點(diǎn)任何微小位移的線性組合定義該度量中的距離和角度，公式如下：
現(xiàn)在，讓我們看一個(gè)使用極坐標(biāo)（r, θ）的例子，其中r表示半徑，θ表示角度。g度規(guī)張量通過排列空間（r, θ）的內(nèi)積得到，如下所示：
如果我們考慮歐幾里得極坐標(biāo)，度規(guī)張量將表現(xiàn)為下面的矩陣：
這是因?yàn)榫嚯x是通過以下方式計(jì)算的：
現(xiàn)在，兩點(diǎn) (r11) 和 r22) 之間的距離可以通過計(jì)算r2-r1和2-1的距離，并將它們代入下面的公式得到：
到目前為止，所有例子都在二維空間中。當(dāng)然，我們可以將相同的思想擴(kuò)展到三維或N維空間。三維空間的度規(guī)張量將是一個(gè)3x3的矩陣，以此類推。 理解度規(guī)張量是理解廣義相對論和愛因斯坦場方程的重要一步。 在廣義相對論中，愛因斯坦的場方程使用度規(guī)張量來描述時(shí)空的曲率幾何。 具體來說，愛因斯坦的場方程使用了三個(gè)張量：1）愛因斯坦張量G，它通過度規(guī)張量的導(dǎo)數(shù)描述時(shí)空的曲率，2）能量-應(yīng)力張量T，它描述了宇宙中物質(zhì)和能量的分布，3）度規(guī)張量g，它定義了曲率幾何中長度和角度的測量。愛因斯坦的場方程通常由以下方程總結(jié)：
在廣義相對論中，度量張量由一個(gè)4x4的矩陣組成，包含16個(gè)分量。正如我們二維示例中的情況一樣，度量張量由所有維度的排列空間組成，在這個(gè)例子中，包含了3個(gè)空間維度和1個(gè)時(shí)間維度，共同形成了4維時(shí)空。然而，由于矩陣本質(zhì)上是對稱的，因此只有10個(gè)分量是彼此獨(dú)立的。 度規(guī)張量的通用形式如下所示：
度規(guī)張量的值隨時(shí)空的曲率而變化，因?yàn)樗鼈兙幋a了質(zhì)量-能量的分布。因此，與在所有變換中保持長度恒定的歐幾里得距離不同，曲率幾何并不是這樣。這就是為什么度量張量是理解廣義相對論的關(guān)鍵方面。 現(xiàn)在你已經(jīng)了解了這些概念，或許你會(huì)對物理學(xué)中的復(fù)雜思想和數(shù)學(xué)形式主義感到不那么畏懼了！ |
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