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在不同數(shù)學培訓階段，大腦運作方式存在一個關(guān)鍵區(qū)別。對于高中生，他們的數(shù)學訓練主要集中在將課程中的具體知識應用于特定問題上。這些問題通常涉及具體的數(shù)值、對象或函數(shù)，例如整數(shù)、實數(shù)、復數(shù)或整數(shù)多項式。通過處理這些有限的、具體的內(nèi)容，學生能夠磨煉成為專業(yè)數(shù)學家所需的基本知識，并培養(yǎng)識別數(shù)學模式的能力。這種訓練方式為他們未來在數(shù)學領(lǐng)域可能需要的更抽象和廣泛的思維方式打下了堅實的基礎(chǔ)。 然而，成熟的專業(yè)數(shù)學家在訓練中注重推廣和抽象他們的思維方式。他們不再局限于處理具體的數(shù)值或日常數(shù)學結(jié)構(gòu)（如整數(shù)或?qū)崝?shù)），而是專注于研究更加抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、?；蛴颉＿@些抽象結(jié)構(gòu)能夠概括出許多已知的、更具體的數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而使他們的研究成果更具普遍性和影響力。因為這些成果可以應用于更廣泛的數(shù)學問題和結(jié)構(gòu)，專業(yè)數(shù)學家能夠解決更復雜和多樣化的數(shù)學問題。 讓我給你展示一個非常簡單的例子，說明如何通過抓住數(shù)學洞見的可推廣性來使它們更具力量。在這道來自牛津數(shù)學入學考試的問題中，高中生被要求對一個特定案例得出結(jié)論。然而，如果我們花點時間發(fā)現(xiàn)這種方法的可推廣性，實際上可以得出一個更普遍的結(jié)論。讓我們從考試試卷中問題的原始表述開始。 一道MAT題目
Miriam 和 Adam 想通過吃糖果來消除假期的無聊感，但他們的母親要求他們遵循以下規(guī)則來限制糖果的攝入量。
例如，如果假期有八天，并且開始的天氣是雨天、晴天、晴天，……，那么糖果消耗的統(tǒng)計可能如下所示：
在這種情況下，Miriam 和 Adam 總共吃了相同數(shù)量的糖果。 問題：
我們先解題。然后我們再回過頭看看是否能發(fā)現(xiàn)我們解答中有可推廣的東西。 對于第1個問題，我們可以看到在任何特定的日子里，Miriam 都能從所有先前的晴天中受益。因此，如果所有的晴天盡早出現(xiàn)在假期中，Miriam 將獲得最大的收益。因此，Miriam 將在前15 天全是晴天而后 15 天全是雨天的情況下獲得最多的糖果。在前 15 天中，她每天會逐漸增加一顆糖果，因此她在 15 天結(jié)束時的總糖果數(shù)將是前 15 個整數(shù)的和，即120 顆糖果。然后她在最后 15 天里每天會再收到 15 顆糖果，總共再得到 225 顆糖果。因此，Miriam 能獲得的最多糖果數(shù)量為 120 + 225 = 345 顆糖果。 不難看出，相反的情況是 Miriam 獲得最少糖果的情況。也就是說，前 15 天是雨天，她什么糖果都拿不到，然后在接下來的 15 個晴天里，她每天會額外得到一顆糖果，這樣她在這種情況下總共得到 120 顆糖果。 對于第2個問題，如果前 15 天是晴天，Adam 在這些天里得不到任何糖果。然后他在第 16 天得到 16 顆糖果，第 17 天得到 17 顆糖果，以此類推，直到第 30 天他得到 30 顆糖果。所以 Adam 的糖果總數(shù)是從 16 到 30 的所有整數(shù)的和，這與 Miriam 的一樣，也是 345 顆糖果。在前 15 天是雨天的情況下，Adam 在第 1 天得到 1 顆糖果，第 2 天得到 2 顆糖果，以此類推，直到第 15 天他得到 15 顆糖果。之后他就不再得到糖果了。所以在這種情況下，Adam 的糖果數(shù)量與 Miriam 一樣，也是通過計算前 15 個整數(shù)的和得到的，Adam 也得到了 120 顆糖果。 對于第3個問題，讓我們考慮 Miriam 在某個雨天后跟著一個晴天的情況，并且假設(shè) k 是假期中到目前為止（包括當天）已經(jīng)出現(xiàn)的晴天數(shù)量。然后我們知道今天將為 Miriam 的總數(shù)貢獻 k 顆糖果，明天將貢獻 k+1 顆糖果，因此今天和明天總共為 Miriam 的總數(shù)貢獻 2k+1 顆糖果?，F(xiàn)在交換這兩天。然后今天將為 Miriam 的總數(shù)貢獻 k+1 顆糖果，明天也將貢獻 k+1 顆糖果，因此這兩天總共為 Miriam 的總數(shù)貢獻 2k+2 顆糖果。注意到這種交換對假期中其他天數(shù)對 Miriam 總數(shù)的貢獻沒有影響，我們可以得出結(jié)論，這次交換使 Miriam 的總糖果增加了一顆。我們用同樣的方法來考慮 Adam 的情況，假設(shè)第 k 天是雨天，然后接著第 k+1 天是晴天。那么第 k 天將為 Adam 的總數(shù)貢獻 k 顆糖果，第 k+1 天將貢獻 0 顆糖果，因此這兩天總共為 Adam 的總數(shù)貢獻 k 顆糖果。如果交換它們，第 k 天將貢獻 0 顆糖果，第 k+1 天將貢獻 k+1 顆糖果，因此總共貢獻 k+1 顆糖果。因此，在 Adam 的情況下，這次交換也使他的糖果總數(shù)增加了一顆。 在第4個問題中，我們實際上被引導著做了一些對我們到目前為止的工作的細微推廣。從前兩部分中我們知道，在任何前 15 天是雨天后 15 天是晴天的假期中，Adam 和 Miriam 吃到的糖果數(shù)量是相同的。但這里的關(guān)鍵認識是，如果我們從這個場景開始，我們可以通過逐步交換相鄰的雨天和晴天來獲得任意排列的 15 個雨天和晴天。為了看清這一點，假設(shè)對于給定的排列，第一個晴天是第 k 天（k < 16）。那么我們從初始場景開始，交換第 15 天和第 16 天。如果 k < 15，我們再交換第 14 天和第 15 天，依此類推，直到把第一個晴天定位在第 k 天。然后我們重復這一過程，把下一個晴天定位在某個 j > k 的位置，依此類推。現(xiàn)在我們注意到從第3個問題可以得出，任何這樣的交換序列對 Miriam 和 Adam 的糖果總數(shù)有相同的影響。因此，他們一開始的糖果總數(shù)相同，每次我們進行相鄰交換，對他們的糖果總數(shù)影響相同，所以我們得出結(jié)論，對于任何有 15 個雨天和 15 個晴天的假期，Miriam 和 Adam 的糖果總數(shù)都是相同的，問題解決。 推廣 你是否發(fā)現(xiàn)了一個機會，可以推廣我們上面所做的工作來計算 Miriam 和 Adam 的糖果數(shù)量之差，無論他們的假期有多長，或者天氣如何？讓我們再看看，這次讓我們對我們的計算稍微抽象一下！ 假設(shè)假期是 q 天，其中有 k ≤ q 個雨天和 q-k 個晴天。 根據(jù)上面的方法，可以假設(shè) k 個雨天都在月初，因為可以通過一系列交換相鄰的雨天和晴天的操作從這個初始情況推導出任何排列，并且我們知道這不會改變孩子們得到的糖果總數(shù)。因此，只需計算這種初始配置，即 k 個雨天之后的 q-k 個晴天的糖果數(shù)量差異即可。 對于 Adam，在這種配置中，他將從零糖果開始，并在前 k 天每天增加一顆糖果，然后他將不再得到糖果。所以 Adam 得到的糖果數(shù)量如下：
對于Miriam，她將在前k天沒有收到糖果，然后在第k+1天收到一個糖果，然后在每一天收到一個額外的糖果，直到最后一天(第q天)。所以Miriam將收到以下數(shù)量的糖果：
如果求差并做一點代數(shù)化簡，我們就得到了一個一般表達式，表示在k≤q個雨天的任何長度為q的假期中，Miriam和Adam收到的糖果數(shù)量的差值：
我們可以直接從中看出，在任何長度的假期中，如果雨天和晴天的數(shù)量相等（即 q = 2k），孩子們將獲得相同數(shù)量的糖果。還可以看出，當晴天比雨天多時，差值為正數(shù)（有利于 Miriam），而當雨天比晴天多時，差值為負數(shù)（有利于 Adam）。 |
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