(2024重慶中考B卷26題)

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點(diǎn)B作BD∥AC．

（1）如圖1，若點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E．若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，求證：AC＝2BD；

（2）如圖2，若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，連接CF．過點(diǎn)F作FM⊥BG交AB于點(diǎn)M，CN平分∠ACB交BG于點(diǎn)N，求證：AM=CN+BD

（3）若點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，連接AD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，且AF＝AC．點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將FP繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ，連接BQ，點(diǎn)R是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BR，QR．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BQ取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)將△BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出的最大值．

解(1)證明：∵AE⊥CD，∴∠ACD+∠CAE=90°，∠ACD+∠BCD=90°，得∠CAE=∠BCD，又CA=CB，∠DBC=∠ACE得△ACE≌△CBD，BD=CE,而E為CB的中點(diǎn)，故CB=2CE，CA=CB=2BD即AC=2BD

(2)過點(diǎn)G作CH⊥AB于點(diǎn)H，連接HF，F為AD的中點(diǎn)，故AF=DF，又BD||AC得∠BDF=∠GAF，∠DBF=∠AGF，故△AGF≌△DBF

方法一：由全等得BF=GF，AG=BD由∠BAC=90°得AH=AG即有AH=BD

F為BG的中點(diǎn)，故HF=BG，CF=BG，故HF=FC；設(shè)∠CBG=α則可得∠MBF=45°-α，得∠HMF=135°-α，CN平分∠ACB得∠BCN=45°得∠CNF=135°-α，即∠HMF=∠CNF；同時(shí)∠FCN=45°-α=∠MHF，得△HMF≌△CNF，故HM=CN；

故AM=AH+HM=CN+BD，即AM=CN+BD

方法二：延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)P，作FQ⊥AB于點(diǎn)Q,作GH⊥AB于點(diǎn)H，

由全等得BF=GF，AG=BD，而∠BAC=45°得AH=BD；F為BG的中點(diǎn)，得CF=BF,∠FBP=∠FCN=45°-α，又∠BFP=∠CFN得△FBP≌△FCN，得BP=CN；而∠BFP=2α,∠FBP=45°-α得∠FPM=45°+α，又∠FMP=45°+α,即有∠FPM=∠FMP，故PF=MQ，而PQ||GH,故Q也為BH的中點(diǎn)，AM=AH+HQ-MQ=AH+BQ-PQ=AH+BP=AH+CN，即有AM=CN+BD

(3)過點(diǎn)D作DI⊥AC于點(diǎn)I，連接FI，PQ，DI=BC，而AF=BC，得AD=2DI，故∠DAI=30°，故FDI為等邊三角形，由FP=PQ，FI=FD，∠PFQ+∠QFI=∠DFI+∠QFI，即∠PFI=∠QFD，故△FPI≌△FQD，得∠FDQ=∠FIP=30，故∠QDI=30°,延長(zhǎng)DQ交AC于點(diǎn)J,∠DJI=60°,點(diǎn)Q在DJ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BQ⊥DJ時(shí)，BQ取最小值

設(shè)DI=2，則AD=4，AI=2，同時(shí)BQ=BD=(2-2)=3-

,由對(duì)稱知點(diǎn)QT=BQ=3-,點(diǎn)T在以Q為圓心，3-為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F、Q、T共線時(shí)，FT取最大值，此時(shí)DQ=-1，FN=1，DN=得NQ=1，故FQ=，FQ+QT=+3-；而PI=DQ=-1，得PC=-1，故此時(shí)

點(diǎn)評(píng)：重慶卷的壓軸題通常做起來比較繁雜，輔助線多，難度也較大.第二問中的線段和差關(guān)系，輔助線可能對(duì)很多同學(xué)有挑戰(zhàn)；而壓軸一問保持一貫的風(fēng)格，考查了瓜豆原理和圓，問題常規(guī)，但作圖和計(jì)算對(duì)多數(shù)同學(xué)還是很有挑戰(zhàn)的.

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