勾股數(shù)的前生今世

阿懷的書屋 2024-01-03 發(fā)布于福建

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設(shè)x、y是直角三角形的兩條直角邊長，z是斜邊長，根據(jù)勾股定理，必有x2 y2=z2。這里x、y、z，可以是任意實(shí)數(shù)，當(dāng)然要滿足如上等式。如果x、y、z限定必須是自然數(shù)，我們把滿足勾股定理的這樣一組數(shù)叫做一個(gè)勾股數(shù)組。

我們常見的勾股數(shù)有3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41。

如果a，b，c為一組勾股數(shù)，則na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù)。例如3、4、5是一組勾股數(shù)，那么6、8、10也是一組勾股數(shù)，9、12、15也是一組勾股數(shù)。而普林頓322里面出現(xiàn)的較大的勾股數(shù)除去是常見的勾股數(shù)的倍數(shù)外，其他一些數(shù)據(jù)是怎么得來的呢？到底存在多少組勾股數(shù)呢？

探尋“勾股數(shù)”

在西方，提出求勾股數(shù)組式子的是畢達(dá)哥拉斯。他提出了如下求勾股數(shù)組的式子：

這組公式可以求出不少勾股數(shù)組，但是局限性很大。后來古希臘著名學(xué)者柏拉圖（Platon，公元前427-前347）了類似式子。他們的式子均不能給出全部勾股數(shù)組.例如8、15、17三數(shù)不在式子之中，但卻是一組勻股數(shù)組.

再后來，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，約250-約334）給出了如下一組公式：

利用這一組公式算得前面的幾組勾股數(shù)組如下表：

他的功績在于，這組公式能求出全部勾股數(shù)組.

和丟番圖同時(shí)代的我國數(shù)學(xué)家劉徽（約225一約295），在數(shù)學(xué)上的主要成就是為《九章算術(shù)》做注解，于公元263年成書，名《九章算術(shù)注》.他曾用幾何方法找到了如下求勾股數(shù)組的公式，就載于該書中：

這是迄今為止求勾股數(shù)組最完美的公式組之一。

美國哥倫比亞大學(xué)普林斯頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板，這款泥板是在巴比倫挖掘出來的，編號(hào)322，考古學(xué)家相信這塊泥板是公元前18世紀(jì)的成品，泥板上有三列文字，沒有人能解釋，直至1945年，Neugebauer和Sachs經(jīng)過細(xì)心考究，發(fā)現(xiàn)泥板上是三列數(shù)字，你知道這些數(shù)字間的關(guān)系嗎？借助計(jì)算器進(jìn)行探索。

對于古巴比倫人手稿，據(jù)考證，其年代遠(yuǎn)在中國商高和古希臘畢達(dá)哥拉斯之前，大致在公元前1900年到公元前1600年之間。手稿列出了以下15組勾股數(shù)：

其數(shù)之大和年代之早令人難以置信。如果是確實(shí)的，說明古巴比倫人的燦爛文化，在此方面先于他國。這或許是一個(gè)難以考證的千古之謎。

如何構(gòu)造勾股數(shù)？

用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造勾股數(shù)，就要尋找3個(gè)正整數(shù)，使它滿足“兩個(gè)數(shù)的平方和（或差）等于第三個(gè)數(shù)的平方”，既滿足以下形式：

我們可以從乘法公式的變形入手。我們知道：

如何記憶呢？

規(guī)律一：在勾股數(shù)（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）中我們發(fā)現(xiàn)：在一組勾股數(shù)中，當(dāng)最小邊是奇數(shù)時(shí)，它的平方剛好是另外兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。

我們還總結(jié)出來一個(gè)方便理解和記憶的方法：在一組勾股數(shù)中，若第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則另外兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)是它的平方減1的一半，一個(gè)數(shù)是它的平方加1的一半。

這是最經(jīng)典的一個(gè)套路，而且由于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)必然互質(zhì)，所以用這個(gè)套路得到的勾股數(shù)組全部都是互質(zhì)的。

規(guī)律二：在勾股數(shù)（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中我們發(fā)現(xiàn)：

在一組勾股數(shù)中，當(dāng)最小邊是偶數(shù)時(shí)，它的平方剛好等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，或者兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和的2倍。

規(guī)律二的補(bǔ)充記憶方法：

在一組勾股數(shù)中，當(dāng)一個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則另外兩個(gè)數(shù)，一個(gè)數(shù)是它的一半的平方減1，另一個(gè)數(shù)是它一半的平方加1。

中國關(guān)于“勾股數(shù)”的歷史梳理

我國對于“勾股數(shù)”的探尋中，做出了重大貢獻(xiàn)。很多數(shù)學(xué)著作都有不同程度的結(jié)論記載：如前面提到的最古老的《周髀算經(jīng)》，成書于公元前1世紀(jì)，講述了在其之前約一千年，商高發(fā)現(xiàn)了3、4、5這組勾股數(shù)的故事。其他的著作還有標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形成的《九章算術(shù)》（大約公元前1世紀(jì)），唐代《輯古算經(jīng)》（約公元626年），宋元時(shí)期《測圓海鏡》（1248年）、《四元玉鑒》（1303年），清代《數(shù)理精蘊(yùn)》（1723年）等。特別值得一提，清末《算表合壁》一書中記錄了沈立民（浙江烏鎮(zhèn)人，清代算學(xué)家、火器發(fā)明家）對勾股數(shù)的研究，列有“整數(shù)勾股弦表”，利用公式列出了弦長不超過1000的所有勾股數(shù)。

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