【學(xué)習(xí)導(dǎo)引】本期課開始我們學(xué)習(xí)立體幾何的相關(guān)知識。
幾何里的平面與直線一樣，是無限延伸的，我們不能把一個(gè)無限延伸的平面在紙上表現(xiàn)出來，通常用平面的一部分表示平面，例如用平行四邊形表示平面,但我們要把它想象成無限延展的。
平面的表示方法：通常我們用一個(gè)希臘字母如:…來表示平面，也可以用表示平面的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來表示，如平面.

一、平面的基本性質(zhì)
公理1：如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面上,那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面上（即直線在平面上）.
公理2：如果兩個(gè)平面存在一個(gè)公共點(diǎn),那么它們所有公共點(diǎn)的集合是一條直線.
公理3：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面（即經(jīng)過不在同一直線上三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面）.

如何理解三個(gè)公理的作用?
1.公理1反映了平面的本質(zhì)屬性,通過直線的“直”和“無限延伸”的特性，揭示了平面的“平”和“無限延伸”的特征.其作用是:①檢驗(yàn)平面;②判定直線在平面內(nèi).
2.公理2進(jìn)一步反映了平面的延展性,其作用是:①判定兩個(gè)平面相交;②作兩個(gè)平面的交線;③證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn).
3.公理3是確定平面的依據(jù),它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件.

推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

證明:如圖,直線上任取兩個(gè)點(diǎn),則是不在同一直線上的三點(diǎn)，
由公理3可知,經(jīng)過此三點(diǎn)的平面有且僅有一個(gè),設(shè)為平面.
∵,
而
∴（公理1）
∴經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)的平面有且僅有一個(gè)。

推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面。
推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面。

二、空間直線與直線之間的位置關(guān)系
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行（即平行線的傳遞性）。
等角定理：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組相交直線所成的銳角(或直角）相等.
證明：當(dāng)兩組平行直線在同一平面內(nèi)，即為初中幾何中的等角定理。它們不在同一平面時(shí)，如圖所示.設(shè)直線相交于點(diǎn),直線,相交于點(diǎn),且,在直線上分別任取點(diǎn)（異于點(diǎn)） ,在直線上分別任取點(diǎn)（異于點(diǎn)） ,使得,,則:分別是,與所成的角.
∵,.
∴四邊形為平行四邊形.
∴，
同理:，
∴.
∴四邊形為平行四邊形.
∴.
∴.
∴.

空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系:
共面直線:
①相交直線:在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);
②平行直線:在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).
異面直線:不同在任何一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).如圖:直線在平面上，直線與平面交于點(diǎn),且不在直線上，那么直線與直線即不平行也不相交.此時(shí)直線與直線不能在同一平面內(nèi)，我們稱直線是異面直線.

異面直線所成的角:在空間任取一點(diǎn)過分別作的平行線,我們把所成的銳角或直角稱為異面直線所成的角.當(dāng)所成的角為時(shí)稱異面直線相互垂直.
異面直線的距離:我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段長度，叫做兩條異面直線的距離.

直線與平面的位置關(guān)系總結(jié)如下表：

【例題1】如圖所示，直線,直線分別交于點(diǎn).求證:四條直線共面.
證明：∵, ∴確定一個(gè)平面.
∵,∴,
∵,∴.
∵點(diǎn)，∴點(diǎn).
∴直線與點(diǎn)同在平面內(nèi).
∵,∴確定一個(gè)平面.
∵點(diǎn),∴點(diǎn).
∴平面也是直線和點(diǎn)確定的平面.
∴平面和平面重合，因此.
∴共面.

【總結(jié)】證明若干條線（或若干個(gè)點(diǎn)）共面的一般步驟是: 首先根據(jù)公理2或推論，由題設(shè)條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再根據(jù)公理1證明其余的線（或點(diǎn)）均在這個(gè)平面內(nèi).

【例題2】如圖所示，已知的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi)，它的三邊延長后分別交平面于點(diǎn).求證:在同一條直線上。
證明：∵的延長線與平面交于點(diǎn),
∴平面與平面必相交于一條直線,設(shè)該直線為.
∵直線,∴平面.
∵直線平面.
∴平面.
∴點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn),
∵平面平面.
∴,
同理可證:,
∴在同一條直線上.