數(shù)學(xué)是物理學(xué)家用來描述自然規(guī)律的語言。如果你想理解物理學(xué)，就必須學(xué)習(xí)大量的數(shù)學(xué)。如果要挑選一個最重要的、用來理解物理學(xué)的公式，那就是泰勒公式（Taylor's formula）。

讓我們從數(shù)學(xué)開始，理解這個公式的一切。假設(shè)有某個函數(shù)f(x)，

它看起來真的很復(fù)雜，但我們不嘗試一下子理解整個復(fù)雜的函數(shù)，而是看它在一個更小區(qū)域內(nèi)的情況，這樣就簡單多了。

選擇x=0為原點，所以x=0處的函數(shù)高度是f（0）。

想象這條曲線是一座危險山脈的形狀，而你是一個探險家，在制定它的地圖。由于大霧籠罩，你無法看得很遠。你只能小心地沿著山走，并使用一個高度計來測量你離地面的高度，以此記錄它的形狀。從這一點x=0開始，你的起始高度是f（0）。就你所知，整座山可能只是在這個高度的一個平坦的水平線。然后，當(dāng)你嘗試在寫下一個描述山的高度的函數(shù)時，你的第一個猜測就是f(x) = f（0）。

但當(dāng)你稍微向右走了一下，你發(fā)現(xiàn)山的高度已經(jīng)變化了。所以，它實際上并非一條水平線。就目前你所能看到的，它看起來像一條傾斜的線，斜率由f在x等于0處的一階導(dǎo)數(shù)給出。

現(xiàn)在，你對高度函數(shù)的新的最佳猜測是這條傾斜線的方程：

現(xiàn)在，你再向右走一下，你發(fā)現(xiàn)曲線不是一條直線。相反，它開始像拋物線一樣偏離直線。

所以現(xiàn)在你預(yù)計，函數(shù)有一個更好的近似，帶有x的平方項

你可能發(fā)現(xiàn)，通過包含x的更多冪——x的3次冪、4次冪等等，可能能得到一個關(guān)于函數(shù)的更好描述。

現(xiàn)在，你想將函數(shù)f表示為x的冪的和，有系數(shù)c0、c1、c2等等。問題是如何選擇這些數(shù)字，使得這個級數(shù)與f相匹配得很好。我們已經(jīng)看到前幾個系數(shù)是什么了，當(dāng)代入x=0，除了第一項其它所有項都消失，得到

因此，級數(shù)中的第一個數(shù)字是起始點x=0處的函數(shù)值。至于c1，我們先取導(dǎo)數(shù)，得到

現(xiàn)在，當(dāng)我們代入x=0，c1項保留下來

如果再次取導(dǎo)，得到

因此，當(dāng)代入x=0，得到

如此反復(fù)，對于求和中的x的n次冪項，需要取n次導(dǎo)數(shù)，每次導(dǎo)數(shù)都帶下一個冪——首先是n，然后是n-1、n-2，以此類推，一直到3、2、1。

所以第n個系數(shù)是

我們已經(jīng)將函數(shù)f寫為x的冪的和，

當(dāng)x非常小時，每個x的更高次冪比之前的還要小得多，所以僅通過保留級數(shù)中的前幾項就已經(jīng)得到了一個很好的近似。隨著x離x=0越來越遠，為了得到函數(shù)的一個好描述，需要在級數(shù)中加入更多的項。有了系數(shù)的一般公式，我們可以加入盡可能多的項。當(dāng)n變大時，級數(shù)近似與曲線的匹配越來越好。

這是非常了不起的。這意味著如果我們知道在一個點上一個平滑函數(shù)的所有導(dǎo)數(shù)，就可以重構(gòu)出函數(shù)在其他地方的形狀。下面是幾個常見的泰勒函數(shù)展開式，

通常在物理學(xué)中我們并不真的關(guān)心整個泰勒級數(shù)，我們真正想要的是一個復(fù)雜函數(shù)的好的近似，使問題更簡單去解決。

物理學(xué)

第一個問題是，如何簡化復(fù)雜的物理方程？在經(jīng)典力學(xué)中解決問題的基本步驟是寫下粒子上的所有力，然后加它們起來，寫下

然后求解這個方程，找到粒子的位置作為時間的函數(shù)。這說起來容易但做起來難，尤其是最后一步解方程，因為除了最簡單的系統(tǒng)外，這個方程通常難以精確解決。

F=ma 是一個微分方程。微分方程比我們在中學(xué)和高中學(xué)到的代數(shù)方程要難解得多。一個簡單的例子，就是單擺（Pendulum）,

在求擺的運動時，我們主要關(guān)心的力是粒子軌跡的切線方向的重力分量，即

其中θ 是擺與垂直軸形成的角度。那么F=ma 可以寫成θ 關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)，

盡管這個物理系統(tǒng)看起來很簡單，但由于這個sinθ因子，這個方程已經(jīng)變得非常復(fù)雜，sinθ使它成為一個非線性微分方程，嘗試求解可能會非常棘手。另一方面，當(dāng)θ 很小時，你可以想象一個單擺輕輕地來回搖晃，就像一個鐘擺。那么當(dāng)θ相對較小時我們是否可能簡化這個方程呢？泰勒級數(shù)讓我們能做到這一點，因為

對于很小的θ，可以近似為，

這個復(fù)雜的F=ma 方程變得大為簡化，因為讓這個方程成為非線性微分方程的sinθ因子消失了。通過應(yīng)用泰勒級數(shù)，我們能夠線性化這個微分方程，使我們能夠在單擺離平衡點不太遠時更容易解決。

這就是一個簡諧振蕩器的方程，就像一個彈簧上的質(zhì)量，一般解是正弦和余弦的和，

其中角頻率為

因此，這個單擺確實會輕輕地來回擺動。所有，我們在任何物理問題中應(yīng)該首先做的是用泰勒級數(shù)在一個穩(wěn)定平衡點附近展開勢能函數(shù)

在這里我選擇我的坐標(biāo)，使得平衡點在x=0處。第一個項U（0）只是一個常數(shù)，無關(guān)緊要。你總是可以改變勢能函數(shù)的基準(zhǔn)面，并將這個常數(shù)消除。同時，第二個項也消失了，因為我們選擇在勢能的最小值點（U等于0的地方）進行展開。因此，在平衡附近的勢能的泰勒展開的第一個需要注意的項通常是二次項，這就像一個在彈簧上的質(zhì)量的勢能一樣，

這就是系統(tǒng)在其平衡位置附近來回振蕩的原因。至于力，它與勢能通過

關(guān)聯(lián)，因此，在平衡附近粒子上的力的泰勒級數(shù)從

開始，這又恰好像彈簧力?kx。特別是，力是線性的。所以，在穩(wěn)定平衡點附近展開勢能的技巧，實際上就是線性化F=ma 方程。

第二個問題是，愛因斯坦的廣義相對論的牛頓極限。在牛頓力學(xué)中，一個自由粒子的動能是

另一方面，如果我們代入動量p=mv，我們可以寫出同樣的表達式，即

這是一個具有動量p的非相對論自由粒子的能量。非相對論意味著粒子的速度與光速相比非常小。當(dāng)粒子接近光速時，會發(fā)生一些奇怪而荒誕的事情，這在大約100多年前被愛因斯坦在他的廣義相對論中發(fā)現(xiàn)。在廣義相對論中，一個質(zhì)量為m、動量為p的自由粒子的能量由這個新公式給出：

其中c 是光速。即使你從未研究過廣義相對論，你之前也見過這個，因為如果粒子處于靜止?fàn)顟B(tài)，即p 等于0，我們得到

這可能是物理學(xué)中最著名的方程。但是，當(dāng)粒子在移動時，我們需要這個更一般的公式，包括來自動量的貢獻。這個公式即使粒子的速度接近光速也成立。另一方面，我們知道當(dāng)p很小時，能量應(yīng)該是什么。那么我們?nèi)绾慰吹綈垡蛩固沟墓秸_地再現(xiàn)了牛頓的慢運動粒子的公式呢？當(dāng)然，想法是當(dāng)p很小時，應(yīng)用愛因斯坦能量公式的泰勒展開。

首先，讓我們提取出mc^2，像這樣寫出整個表達式

這樣就清楚地表明，我們現(xiàn)在要做的是計算下面這個函數(shù)的泰勒級數(shù)（當(dāng)x很小時），

其中，x為

這種類型的泰勒級數(shù)在物理學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，一般的形式為，

在這個例子中，q=1/2。這種類型函數(shù)的泰勒展開式為，

回到相對論性能量，只需插入q=1/2和

得到

第一項是E=mc^2，這是相對論中的靜止粒子的能量，它在牛頓力學(xué)中沒有直接類比。但另一方面，這只是一個常數(shù)，你總是可以在牛頓力學(xué)中向總能量添加一個常數(shù)。至于第二項，我們看到泰勒級數(shù)如何精確地再現(xiàn)我們在牛頓力學(xué)中預(yù)期的動能。

泰勒級數(shù)中的下一項是，

這該如何理解呢？重點是，牛頓力學(xué)是對那些遠小于光速運動的粒子的一個很好的描述，但這只是一個近似。這一項是牛頓能量在與光速相比速度微小的情況下的首要相對論修正。而這個額外的項給出了牛頓結(jié)果的一個非常小的修正，我們可以在不失太多準(zhǔn)確性的情況下忽略它。但是，當(dāng)速度變大時，這個修正變得越來越重要。我們可以在氫原子的結(jié)合能中看到這個修正的影響。這是用來將電子從它的“軌道”中踢出去的能量。

下面，我向你們展示如何只通過應(yīng)用量綱分析就可以得到結(jié)合能答案的90%。首先，列出可以使用的參數(shù)及其單位，并看看如何將它們組合起來得到我們想要的單位。在這種情況下，我們看到我們可以將電子質(zhì)量、其電荷、庫侖常數(shù)和普朗克常數(shù)組合起來得到能量單位，

這樣一來，氫原子的結(jié)合能就必須與此成比例，

只是像這樣考慮單位就讓我們接近答案了。實際上，結(jié)合能的公式帶有一個二分之一的系數(shù)，我們不能只通過考慮量綱就能得到它，因為2沒有任何單位。這是波爾的氫結(jié)合能的公式，

它是量子力學(xué)的第一個偉大成就之一。它的數(shù)值值約為13.6電子伏特，與結(jié)合能的實驗值非常接近。然而，波爾的公式只是一個近似，它忽略了由于廣義相對論產(chǎn)生的可實驗觀察到的效應(yīng)。

但量綱分析的問題出在了哪里？問題在于，在寫下結(jié)合能的非相對論近似時，我們省略了光速c。因此，如果想要包括廣義相對論的效應(yīng)，需要考慮c是如何進入能量公式的。但是，當(dāng)我們把c 添加到參數(shù)列表中時，會發(fā)生一些非凡的事情，得到一個無量綱的組合，

這個組合被稱為精細結(jié)構(gòu)常數(shù)（Fine structure constant）。如果帶入數(shù)字，會發(fā)現(xiàn)α 約等于0.0073，或約等于1除以137。由于α 是無單位的，量綱分析不會告訴我們它在能量公式中是如何出現(xiàn)的。

這是如何允許相對論對波爾公式進行小的修正的。但是，我們可以通過考慮相對論修正獲得一個更好的理論預(yù)測，那就是我們通過將泰勒級數(shù)應(yīng)用于愛因斯坦的公式所得出的那個首要的相對論修正。我們可以確定相對論給波爾公式做出的小的修正。細節(jié)需要量子力學(xué)，所以在這里不會深入討論。

第三個問題是，泰勒公式與量子力學(xué)中動量定義的關(guān)系。在經(jīng)典力學(xué)中，主要問題是求解作為時間函數(shù)的粒子軌跡x(t)。另一方面，在量子力學(xué)中，目標(biāo)是找到波函數(shù)

以及它如何隨時間演變。在進行測量時，波函數(shù)或者它的平方越大，你就越有可能在那個位置找到粒子。我們測量粒子的那些量物，比如它的位置和動量，由作用在波函數(shù)上的算符表示。測量位置的算符寫為

測量動量的算符寫為

動量算符與空間平移密切相關(guān)，所以讓我們定義一個算符，

它將波函數(shù)移動ε，

拋開物理，這看起來很熟悉，ψ(x) 只是一個函數(shù)，這個公式告訴我們我們在尋找一個將ψ(x) 移到ψ(x??) 的算符，那正是泰勒公式的作用。因此，我們識別移位算符

由于我們現(xiàn)在不會深入探討的原因，這個移位算符與動量算符通過

關(guān)聯(lián)，對比兩邊，泰勒公式告訴我們我們應(yīng)該將量子力學(xué)中的動量算符識別為

當(dāng)你開始學(xué)習(xí)量子力學(xué)時，這將是你將學(xué)習(xí)的第一個公式之一。它直接來自泰勒公式。

這只是泰勒公式出現(xiàn)的物理應(yīng)用的一小部分，你會在每個地方都看到泰勒公式。