成功地解釋了地中海中不同魚種周期消長(zhǎng)的現(xiàn)象，其中x表示被食小魚數(shù)，y表示食肉大魚數(shù)。這個(gè)方程組也被稱為沃爾泰拉方程，它開啟了用微分方程建立生物模型的先例。
上個(gè)世紀(jì)50年代，在英國(guó)和美國(guó)出現(xiàn)了兩項(xiàng)轟動(dòng)性的成果，即描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型霍奇金-赫胥黎方程（此赫胥黎為達(dá)爾文進(jìn)化論支持者赫胥黎之孫、小說家赫胥黎之弟）和視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊因-拉特里夫方程，它們都是復(fù)雜的非線性方程，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的興趣。有意思的是，前三位因此分別獲得1963年和1967年度諾貝爾生理和醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，而拉特里夫只是因?yàn)檫@個(gè)方程和作為哈特萊因的前同事被人們記住。
1953年，即霍奇金-赫胥黎方程誕生的第二年，美國(guó)生物化學(xué)家沃森和英國(guó)物理學(xué)家克里克，發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸（DNA）的雙螺旋結(jié)構(gòu)，這不僅標(biāo)志著分子生物學(xué)的誕生，也把抽象的拓?fù)鋵W(xué)引入了生物學(xué)。因?yàn)樵陔娮语@微鏡下可以看到，雙螺旋鏈有纏繞和紐結(jié)，這樣一來代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)在扭結(jié)理論中便有了用武之地，并應(yīng)驗(yàn)了一個(gè)多世紀(jì)前高斯的預(yù)言。1984年，新西蘭出生的美國(guó)數(shù)學(xué)家瓊斯（1952-2020）建立了關(guān)于紐結(jié)的不變量——瓊斯多項(xiàng)式，幫助生物學(xué)家對(duì)DNA結(jié)構(gòu)中觀察到的紐結(jié)進(jìn)行分類，瓊斯本人也獲得了1990年的菲爾茲獎(jiǎng)。
脫氧核糖核酸（DNA）的雙螺旋結(jié)構(gòu) （圖源：維基百科）
沃森和克里克獲得了1962年度諾貝爾生理和醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，但他們發(fā)現(xiàn)的意義還沒有被充分認(rèn)識(shí)，這里我想多說幾句。先用物理學(xué)來作參照，它主要探討宏觀的世界（原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要性也在于核聚變和裂變的巨大能量），而生物學(xué)則側(cè)重研究微觀的事物（細(xì)胞和基因）。達(dá)爾文的進(jìn)化論和伽利略的自由落體運(yùn)動(dòng)定律一樣，主要表現(xiàn)了生命和物體運(yùn)動(dòng)的外在規(guī)律，而牛頓的萬有引力定律則發(fā)現(xiàn)了物體乃至宇宙運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律和原因，與此相對(duì)應(yīng)的生物學(xué)成就正是揭示了生命奧秘的DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)。值得一提的是，沃森和克里克是在他們平日和同事們常去的劍橋老鷹酒吧宣布這一里程碑式的發(fā)現(xiàn)。
1979年度諾貝爾生理和醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)由兩位非本行專家分享，即南非出生的美國(guó)物理學(xué)家科馬克（1924-1998）和英國(guó)電器工程師豪斯菲爾德（1919-2004）。還在開普頓的一家醫(yī)院放射科兼職時(shí)，身為物理學(xué)講師的科克馬就對(duì)人體軟組織和不同密度組織層的X射線成像問題感興趣，到美國(guó)后任教后，他建立起了計(jì)算機(jī)化掃描的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，即人體不同組織X射線吸收量的計(jì)算公式。這個(gè)公式建立在積分幾何的基礎(chǔ)之上，解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的理論問題。這項(xiàng)工作促使豪斯菲爾德發(fā)明了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描儀即CT掃描儀，并在臨床實(shí)驗(yàn)中獲得成功。
下面我們要談的是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，這門學(xué)科是由匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼開啟的，他與人合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》（1944）提出競(jìng)爭(zhēng)的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題，成為數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開端。整整半個(gè)世紀(jì)以后，美國(guó)數(shù)學(xué)納什（1928-2015）和德國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家澤爾藤（1930-2016）還因?yàn)椴┺恼摚磳?duì)策論）的成就獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，納什患有精神病，是被改編成電影的小說《美麗心靈》的主人公，他建立了以納什解或納什平衡著稱的理論，試圖解釋競(jìng)爭(zhēng)者之間的威脅和行動(dòng)的動(dòng)力學(xué)。而納什因?yàn)榉蔷€性偏微分方程所作的貢獻(xiàn)獲得數(shù)學(xué)界的至高榮譽(yù)——阿貝爾獎(jiǎng)，則是在他生命的最后一年。
如果說前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇（1912-1986）的線形規(guī)劃論和荷蘭出生的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱账孤?910-2004）的生產(chǎn)函數(shù)所用的數(shù)學(xué)理論還比較簡(jiǎn)單的話（他們因?yàn)樵谫Y源最佳配置理論方面的貢獻(xiàn)獲得1975年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)），那么法國(guó)出生的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布洛（1921-2004）和另一位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅（1921-）所用的凸集和不動(dòng)點(diǎn)理論就較為深刻了，他們建立的均衡價(jià)格理論的后續(xù)研究動(dòng)用了微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)?、?dòng)力系統(tǒng)和大范圍分析等抽象的數(shù)學(xué)工具。有意思的是，阿羅和德布洛獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)卻相隔了多年（分別是在1972年和1983年）。
上個(gè)世紀(jì)70年代以來，隨著隨機(jī)分析進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，尤其美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家布萊克和加拿大出生的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家斯科爾斯將期權(quán)的股票定價(jià)問題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)微分方程的解，并導(dǎo)出與實(shí)際相當(dāng)吻合的期權(quán)定價(jià)公式，即布萊克-斯科爾斯公式。在此以前，投資者無法精確地確定未來期權(quán)的價(jià)值，這個(gè)公式已把風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)作為因素計(jì)入股票的價(jià)格之中，從而降低了投資期權(quán)的復(fù)雜性風(fēng)險(xiǎn)。后來美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家默頓（1944-）消除了許多限制，使得該公式適用于金融交易的其他領(lǐng)域，如住宅抵押。1997年，默頓和斯科爾斯（1941-）分享了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。
可是，進(jìn)入21世紀(jì)以來，美國(guó)發(fā)生了次貸金融危機(jī)，嚴(yán)重影響了世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。在正常情況下，客戶一般向銀行申請(qǐng)貸款?？墒?，一部分客戶由于信用條件差或其他原因，銀行不愿意與他們簽署貸款協(xié)議。于是，就有貸款機(jī)構(gòu)發(fā)放信用要求寬松但利率更高的貸款。次級(jí)貸款蘊(yùn)涵較大的違約風(fēng)險(xiǎn)，主要原因在于基于其上的衍生產(chǎn)品。有關(guān)部門不愿意獨(dú)自承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，往往要打包出售給投資銀行，甚至保險(xiǎn)或?qū)_機(jī)構(gòu)。這些衍生品看不見摸不著，其價(jià)格以及打包方式無法通過人為的簡(jiǎn)單判斷而估定，這就需要并助長(zhǎng)了一門新興的數(shù)學(xué)分支——金融數(shù)學(xué)。
圖源：Pixabay
在衍生產(chǎn)品的定價(jià)過程中，有兩個(gè)非常重要的參數(shù)，即折現(xiàn)率和違約概率，前者基于某個(gè)隨機(jī)微分方程，后者是密度的泊松分布。通過這次世界性的金融危機(jī)，人們發(fā)現(xiàn)這兩種數(shù)學(xué)手段以及其他估計(jì)和定價(jià)手段還需要更精準(zhǔn)的方法。20世紀(jì)90年代，同年（1947）出生的中國(guó)數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈和法國(guó)數(shù)學(xué)家巴赫杜合作創(chuàng)立了倒向隨機(jī)微分方程，現(xiàn)已成為研究金融產(chǎn)品定價(jià)的重要工具。18世紀(jì)初，雅各布·貝努利曾說過：從事物理學(xué)研究而不懂?dāng)?shù)學(xué)的人實(shí)際上處理的是意義不大的東西。到了21世紀(jì)，金融業(yè)或銀行業(yè)也出現(xiàn)了這種情況，有著兩百年歷史的美國(guó)花旗銀行宣稱，他們70%的業(yè)務(wù)依賴于數(shù)學(xué)，同時(shí)強(qiáng)調(diào)，沒有數(shù)學(xué)花旗就不可能生存。
最后，值得一提的是，康托洛維奇的線形規(guī)劃論是運(yùn)籌學(xué)最早成熟的研究?jī)?nèi)容和分支之一。運(yùn)籌學(xué)可以定義為，管理系統(tǒng)的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運(yùn)行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學(xué)方法，主要依賴于數(shù)學(xué)方法和邏輯判斷。與運(yùn)籌學(xué)幾乎同時(shí)脫胎于第二次世界大戰(zhàn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科還有控制論和信息論，其創(chuàng)始人分別是美國(guó)數(shù)學(xué)家維納（1894-1964）和香農(nóng)（1916-2001），兩人退休前都在麻省理工學(xué)院任教，且都是公眾人物。維納18歲獲得哈佛大學(xué)博士學(xué)位，出版過兩本自傳《昔日神童》和《我是一個(gè)數(shù)學(xué)家》，香農(nóng)則被譽(yù)為數(shù)字通信時(shí)代的奠基人。
在維納看來，控制論是一門研究機(jī)器、生命社會(huì)中控制和通訊的一般規(guī)律的科學(xué)，是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在變的環(huán)境條件下如何保持平衡或穩(wěn)定狀態(tài)的科學(xué)。他創(chuàng)造了cybernetics 這個(gè)詞，希臘文里的原意為“操舵術(shù)”，就是掌舵的方法和技術(shù)的意思。在柏拉圖的著作中，常用它來表示管理人的藝術(shù)。而信息（information）論是一門用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來研究信息的度量、傳遞和變換規(guī)律的科學(xué)。需要注意的是，這里的信息不是傳統(tǒng)的消息，而是一種秩序的等級(jí)，或非隨機(jī)性的程度，可以測(cè)量或用數(shù)學(xué)方法處理，就像質(zhì)量、能量或其他物理量一樣。
，即通過（c 為光速）
