圓錐曲線極點(diǎn)極線背景下高三百校聯(lián)合測評選擇題解法研討

湖北省陽新縣高級中學(xué)     鄒生書

這是2020年12月28日開考的“大課改大數(shù)據(jù)大測評”2021屆高三聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題的第8題，也就單項(xiàng)選擇題的最后一題，是單選題中的壓軸題，難度較大。下面從知識和方法給出本題的幾種思路與解法，并揭示命題背景，與讀者朋友交流分享。

思路一：間接法——用特殊化和極限化方法求解

于是解決問題的關(guān)鍵是要求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，而點(diǎn)N是直線AP與BQ的交點(diǎn)，故可通過聯(lián)立兩直線方程求得。

      說明：上述解法由湖北省陽新縣高級中學(xué)陳兵老師提供。

  解法2:用極限方法求解

當(dāng)P,Q兩點(diǎn)重合時(shí)，直線AP和BQ的交點(diǎn)N和P,Q三點(diǎn)同為一點(diǎn)，此時(shí)直線MN與橢圓相切于N.

法1：判別式法

設(shè)切線MN的方程為x=my-4,將其代入橢圓方程整理得

法2：直接運(yùn)用課本結(jié)論橢圓在某點(diǎn)處的切線方程求解

點(diǎn)評：本解法從問題的極限狀態(tài)入手，想象豐富，思想解放，解法大膽創(chuàng)新。極限思想，別有洞天。用切線方程，簡化了運(yùn)算。

思路二：直接法——把小題當(dāng)作大題來做

解法3（小題大做，直接法硬算求解）

于是解決問題的關(guān)鍵是要求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，而點(diǎn)N，而直線AP與BQ的交點(diǎn)，故可通過聯(lián)立兩直線方程求得。

點(diǎn)評：本解法是韋達(dá)定理非對稱式問題的求解，如若不能從兩根之和與兩根之積中得出兩者間的關(guān)系，則解法會因此而夭折。請記?。荷系劢o你關(guān)上一扇門口必定會為你打開一扇窗。本解法運(yùn)算量大，方法獨(dú)特，對于一道選擇題來說，顯然是小題大做，費(fèi)時(shí)耗力。但小題大做，邏輯推理運(yùn)算求解，可以得出一般性的結(jié)論，證明我們的猜想和上述解法是正確的。

思路三：用高等幾何極點(diǎn)與極線的性質(zhì)求解

解法4：用高等幾何極點(diǎn)與極線的性質(zhì)求解

因?yàn)?em>A,B,Q,P是橢圓上四點(diǎn)，AB與PQ相交于點(diǎn)M，AP與BQ相交于點(diǎn)N，由圓錐曲線極點(diǎn)與極線的性質(zhì)知，點(diǎn)N在點(diǎn)M(-4,0)關(guān)于橢圓對應(yīng)的極線x=-1上，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,n).

點(diǎn)評：用高等幾何極點(diǎn)與極線的性質(zhì)求解，登高望遠(yuǎn)，層高臨下，體現(xiàn)高觀點(diǎn)，低運(yùn)算。圓錐曲線極點(diǎn)極線的有關(guān)知識和結(jié)論是本題命題的源頭背景。