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現(xiàn)代微積分是在 17 世紀(jì)的歐洲由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨（相互獨(dú)立，在同一時(shí)間首次出版）發(fā)展起來(lái)的，其元素最先出現(xiàn)在古希臘，然后在中國(guó)和中東，再次在中世紀(jì)的歐洲和印度。

古代

在古代數(shù)學(xué)中，產(chǎn)生了一些引申出后來(lái)積分學(xué)的思想，但當(dāng)時(shí)對(duì)該些思想的探討方式并不嚴(yán)格、系統(tǒng)。埃及的莫斯科數(shù)學(xué)紙草書(shū)（c. 1820 BC）記載了對(duì)不同種類的體積和面積的計(jì)算，而這即是積分學(xué)的目標(biāo)之一。不過(guò)它的公式只屬簡(jiǎn)單指示，沒(méi)有提及推導(dǎo)方法，有的公式也只是粗疏的估算。

積分的起源很早，古希臘時(shí)期歐多克索斯（約公元前408-355年）就曾用窮竭法來(lái)求面積與體積。阿基米德（約公元前287-212年）用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng)，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。

中國(guó)的劉徽在公元三世紀(jì)也應(yīng)用窮竭法求圓的面積。在公元五世紀(jì)，祖沖之采用祖暅原理計(jì)算出球體積，該原理后來(lái)也被稱之為卡瓦列里原理。

現(xiàn)代

雖然微積分的許多思想在希臘、中國(guó)、印度、伊拉克、波斯和日本已經(jīng)發(fā)展起來(lái)，但微積分的應(yīng)用始于歐洲。

歐洲文藝復(fù)興之后，基于實(shí)際的需要及理論的探討，積分技巧有了進(jìn)一步的發(fā)展。譬如為了航海的方便，杰拉杜斯·麥卡托發(fā)明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時(shí)保持定向的斜駛線。

在歐洲，基礎(chǔ)性的論證來(lái)自博納文圖拉·卡瓦列里，他提出體積和面積應(yīng)該用求無(wú)窮小橫截面/段的體積/面積的總和來(lái)計(jì)算。他的想法類似于阿基米德在《方法論》（The Method）所提出的，但是卡瓦列里的著述丟失了，直到 20 世紀(jì)初期再被找到?？ㄍ吡欣锏呐](méi)有得到認(rèn)可，因?yàn)樗姆椒ǖ恼`差巨大，而且他提出的那些無(wú)窮小的量一開(kāi)始也不獲認(rèn)同。

17 世紀(jì)的前半是微積分學(xué)的醞釀時(shí)期，觀念在摸索中，計(jì)算是個(gè)別的，應(yīng)用也是個(gè)別的。而后戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時(shí)使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關(guān)系，使計(jì)算系統(tǒng)化，并且把微積分大規(guī)模使用到幾何與物理研究上。

在他們創(chuàng)立微積分以前，人們把微分和積分視為獨(dú)立的學(xué)科，之后才確實(shí)劃分出“微積分學(xué)”這門學(xué)科。

在對(duì)微積分的正式研究中，卡瓦列里提出的無(wú)窮小量，與當(dāng)時(shí)在歐洲發(fā)展起來(lái)的有限差分演算連系到了一起。皮埃爾·德·費(fèi)馬聲稱他借用了丟番圖的成就，引入了“準(zhǔn)等式”（adequality）概念，表示兩個(gè)項(xiàng)在除卻一個(gè)無(wú)窮小誤差項(xiàng)下等同。而把無(wú)窮小量與有限差分演算連系起來(lái)的工作，是由約翰·沃利斯、伊薩克·巴羅和詹姆斯·格雷果里完成的。后兩者在 1670 年左右證明了微積分第二基本定理的最初形式。

牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道微分和積分之間有互逆的關(guān)系，但他不能體會(huì)此種關(guān)系的意義，其原因之一就是求導(dǎo)數(shù)還沒(méi)有一套有系統(tǒng)的計(jì)算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數(shù)學(xué)非常深遠(yuǎn)的影響：一般認(rèn)為唯有幾何的論證方法才是嚴(yán)謹(jǐn)、真正的數(shù)學(xué)，代數(shù)不過(guò)是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費(fèi)馬倡導(dǎo)以代數(shù)的方法研究幾何的問(wèn)題，這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變?？墒且环矫鎺缀嗡季S方式深植人心，而另一方面代數(shù)方法仍然未臻成熟，實(shí)數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立，所以許多數(shù)學(xué)家仍然固守幾何陣營(yíng)而不能發(fā)展出有效的計(jì)算方法，巴羅便是其中之一。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點(diǎn)而發(fā)展出了有效的微分方法，可是他遲遲未敢發(fā)表。雖然他利用了微積分的技巧，由萬(wàn)有引力及運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)說(shuō)明了他的宇宙體系，但因害怕當(dāng)時(shí)人的批評(píng)，所以在他 1687 年的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中仍把微積分的痕跡抹去，而以古典的幾何論證方式論述。

牛頓利用了微積分的技巧，由萬(wàn)有引力及運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)說(shuō)明了他的宇宙體系，解決天體運(yùn)動(dòng)，流體旋轉(zhuǎn)的表面，地球的扁率，擺線上重物的運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題。牛頓在解決數(shù)學(xué)物理問(wèn)題時(shí)，使用了其獨(dú)特的符號(hào)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，并提出了乘積法則、鏈?zhǔn)椒▌t、高階導(dǎo)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)。在其它著作中，牛頓給出了函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，當(dāng)中包括分?jǐn)?shù)和無(wú)理數(shù)的乘冪，而且明顯地牛頓知道泰勒級(jí)數(shù)的原理。但是他沒(méi)有發(fā)表所有的這些發(fā)現(xiàn)，因?yàn)闊o(wú)窮小方法在當(dāng)時(shí)仍然飽受爭(zhēng)議。

上述思想被戈特弗里德·威廉·萊布尼茨整合成為真正的無(wú)窮小演算，而牛頓指責(zé)前者抄襲。萊布尼茨在今天被認(rèn)為是獨(dú)立發(fā)明微積分的另一人。他的貢獻(xiàn)在于成功提供一套明確的規(guī)則來(lái)處理無(wú)窮小的量，能夠允許計(jì)算二階或更高階的導(dǎo)數(shù)，以微分和積分的形式給出乘積法則和鏈?zhǔn)椒▌t。與牛頓不同，萊布尼茨很注重形式，往往花上數(shù)天決定對(duì)概念予以什么適當(dāng)?shù)姆?hào)。

萊布尼茨和牛頓都被普遍認(rèn)為是獨(dú)立的微積分發(fā)明者。牛頓最先將微積分應(yīng)用到普通物理當(dāng)中，而萊布尼茨創(chuàng)作了不少今天在微積分所使用的符號(hào)。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本規(guī)則，二階與更高階導(dǎo)數(shù)，近似多項(xiàng)式級(jí)數(shù)的記法等。在牛頓的時(shí)代，微積分基本定理是已知的事實(shí)。

當(dāng)牛頓和萊布尼茨第一次發(fā)表各自的成果時(shí)，數(shù)學(xué)界就發(fā)明微積分的歸屬和優(yōu)先權(quán)問(wèn)題爆發(fā)一場(chǎng)曠日持久的大爭(zhēng)論。牛頓最先得出結(jié)論，而萊布尼茨最先將其發(fā)表。牛頓稱萊布尼茨從他未發(fā)表的手稿中盜取了想法，皇家學(xué)會(huì)的一些成員也跟牛頓持同一觀點(diǎn)。這場(chǎng)大紛爭(zhēng)將使數(shù)學(xué)家分成兩派：一派是英國(guó)數(shù)學(xué)家，捍衛(wèi)牛頓；另一派是歐洲大陸數(shù)學(xué)家。結(jié)果是對(duì)英國(guó)數(shù)學(xué)家不利。日后對(duì)牛頓和萊布尼茨的論文的小心檢視，證實(shí)兩人是獨(dú)立得出自己的結(jié)論。萊布尼茨從積分推導(dǎo)，牛頓從微分推導(dǎo)。在今天，牛頓和萊布尼茨被譽(yù)為發(fā)明微積分的兩個(gè)獨(dú)立創(chuàng)始者。不過(guò)，“微積分”之名則是萊布尼茨所創(chuàng)。而牛頓將其成果稱為“流數(shù)術(shù)”（method of fluxions）。

微積分實(shí)際被許多人不斷地完善，也離不開(kāi)巴羅、笛卡兒、費(fèi)馬、惠更斯和沃利斯的貢獻(xiàn)。最早的及最完整的一部有關(guān)有限和無(wú)窮小分析的著作由瑪利亞·阿涅西于 1748 年所著。

牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化，但是它還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。可是當(dāng)微積分被成功地用來(lái)解決許多問(wèn)題，卻使得十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用，而少致力于其嚴(yán)謹(jǐn)。當(dāng)時(shí)，微積分學(xué)的發(fā)展幸而掌握在幾個(gè)非常優(yōu)越的數(shù)學(xué)家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達(dá)朗貝爾及伯努利世家等人的手里。研究的問(wèn)題由自然現(xiàn)象而來(lái)，所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)合微積分的許多推論，使微積分學(xué)不因基礎(chǔ)不穩(wěn)而隱含錯(cuò)誤。在這些眾數(shù)學(xué)家的手中，微積分學(xué)的范圍很快地超過(guò)現(xiàn)在大學(xué)初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的分析學(xué)。

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