符號(hào)計(jì)算工具箱

Symbolics Toolbox（符號(hào)計(jì)算工具箱）是MATLAB的一個(gè)擴(kuò)展工具箱，用于進(jìn)行符號(hào)計(jì)算和代數(shù)運(yùn)算。它提供了一系列函數(shù)和工具，可以處理符號(hào)表達(dá)式、求解方程、進(jìn)行代數(shù)簡(jiǎn)化、計(jì)算符號(hào)導(dǎo)數(shù)和積分等任務(wù)。

Symbolics Toolbox（符號(hào)計(jì)算工具箱）是將數(shù)學(xué)應(yīng)用于科學(xué)和工程的一套有用工具。本書的其他部分已經(jīng)給出了使用符號(hào)功能進(jìn)行應(yīng)用的示例，以檢查文獻(xiàn)中找到的解析解。此外，基于解析解的預(yù)測(cè)與基于計(jì)算方法的預(yù)測(cè)進(jìn)行了比較。本章介紹的符號(hào)數(shù)學(xué)工具包括：

• 代數(shù)：多項(xiàng)式、向量和矩陣。
• 微積分：求導(dǎo)和積分。
• 變換：拉普拉斯變換和Z變換。
• 廣義函數(shù)：海氏和狄拉克函數(shù)。
• 常微分方程組。
• funtool、MuPAD和幫助文檔。

使用Symbolics Toolbox，MATLAB可以被視為21世紀(jì)學(xué)生的"數(shù)學(xué)手冊(cè)"。在過去，科學(xué)和工程學(xué)生需要購(gòu)買一本"標(biāo)準(zhǔn)"數(shù)學(xué)手冊(cè)。如今，很少有學(xué)生擁有并使用數(shù)學(xué)手冊(cè)。計(jì)算機(jī)和像MATLAB這樣的工具以積極的方式改變了這種情況。然而，對(duì)于本書的第二作者來說，證明MATLAB是這個(gè)世紀(jì)的手冊(cè)是一次有趣的實(shí)踐。本章介紹了符號(hào)計(jì)算工具的應(yīng)用，以手冊(cè)信息的回顧為基礎(chǔ)，并提供了我們?cè)?jīng)期望在手冊(cè)中查找的信息類型的示例，因此我們可以通過應(yīng)用MATLAB等計(jì)算機(jī)工具來找到這些信息。

在應(yīng)用符號(hào)工具箱或其他允許用戶進(jìn)行符號(hào)分析的計(jì)算機(jī)工具時(shí)，主要問題（如果這算是個(gè)問題的話）是，為了有效地使用工具，你需要對(duì)提出的數(shù)學(xué)問題有一定的了解。換句話說，如果你想對(duì)函數(shù)關(guān)于變量 進(jìn)行求導(dǎo)，你需要知道函數(shù)和求導(dǎo)的含義，即找到 關(guān)于 的導(dǎo)數(shù) 的含義。

另一個(gè)例子是求解二次方程的解。你需要知道這是什么類型的方程以及解代數(shù)方程的含義。因此，如果你知道要問什么，MATLAB的符號(hào)計(jì)算工具就可以幫助你找到符號(hào)數(shù)學(xué)問題的答案。

本章討論了將符號(hào)計(jì)算應(yīng)用于可以通過數(shù)學(xué)手冊(cè)解答的數(shù)學(xué)問題，以展示MATLAB中可用的符號(hào)工具的強(qiáng)大功能。當(dāng)然，這些工具要比本章提供的相對(duì)簡(jiǎn)單的示例更強(qiáng)大。一旦你熟練掌握了這個(gè)工具箱，你就可以擴(kuò)展工具箱的應(yīng)用范圍，研究更困難的問題，甚至可能超出傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決科學(xué)和工程問題的能力。

典型手冊(cè)中涵蓋的符號(hào)數(shù)學(xué)主題包括代數(shù)、三角學(xué)、微積分、積分、求導(dǎo)和微分方程等。手冊(cè)提供的信息旨在幫助學(xué)生、工程師或科學(xué)家在解決技術(shù)問題的過程中，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)取得進(jìn)展。在科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)(STEM)的堅(jiān)實(shí)教育背景下，才能有效地利用手冊(cè)和/或像MATLAB這樣的工具。當(dāng)然，MATLAB和手冊(cè)都需要定期使用，以熟練掌握應(yīng)用這些工具來尋找解決方案的能力。我們將涉及手冊(cè)中涵蓋的一些主題，幫助指導(dǎo)讀者在嘗試使用MATLAB中的符號(hào)計(jì)算工具箱時(shí)獲得幫助。我們將從代數(shù)開始，包括線性代數(shù)、向量代數(shù)和矩陣代數(shù)。然后，我們將研究求導(dǎo)和積分。接下來，我們將研究積分變換，特別是拉普拉斯變換。最后，我們將探討微分方程的符號(hào)解法。

• 17.1 代數(shù)

• 17.1.1 多項(xiàng)式

• 17.1.2 向量

• 17.1.3 矩陣

17.1 代數(shù)

在1.1.6節(jié)中，我們介紹了如何解決線性方程組的方法。其中一個(gè)示例應(yīng)用了MATLAB Symbolics中的solve工具。讓我們通過求解二次方程組 來擴(kuò)展該示例。應(yīng)用1.1.6節(jié)中所示的相同過程，在命令窗口中輸入并執(zhí)行以下命令，我們得到了以下結(jié)果。結(jié)果也在下面進(jìn)行了說明：

>> syms x y
>> [x y] = solve(x^2 + 3*y, y^2 + 2*x)
x =
0
-(-12)^(2/3)/2
-((3^(1/2)*(-12)^(1/3)*i)/2 + (-12)^(1/3)/2)^2/2
-((3^(1/2)*(-12)^(1/3)*i)/2 - (-12)^(1/3)/2)^2/2
y =
0
(-12)^(1/3)
- (3^(1/2)*(-12)^(1/3)*i)/2 - (-12)^(1/3)/2
(3^(1/2)*(-12)^(1/3)*i)/2 - (-12)^(1/3)/2

結(jié)果表明， 和 各有四個(gè)根。其中兩個(gè)是實(shí)根，兩個(gè)是復(fù)根。這表明MATLAB處理復(fù)數(shù)而不僅僅是實(shí)數(shù)。這是MATLAB的另一個(gè)重要功能。在MATLAB中，默認(rèn)情況下（除非重新賦值），i和j表示 這個(gè)數(shù)的符號(hào)。

17.1.1 多項(xiàng)式

大多數(shù)理工科學(xué)生可以背誦二次方程的根，這對(duì)于用MATLAB進(jìn)行結(jié)果檢查非常有幫助。二次方程可以寫成如下形式：我們可以使用MATLAB中的solve函數(shù)來解這個(gè)方程?？梢詧?zhí)行以下腳本來實(shí)現(xiàn)：

clear;clc
syms a b c x
solve(a*x^2 + b*x + c)

在命令窗口中的答案為：

ans =
-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

因此，正如預(yù)期的那樣，二次方程的解為：

對(duì)于兩個(gè)解都是實(shí)數(shù)的情況，需要滿足 。如果等號(hào)成立，那么兩個(gè)根是相等的。如果 ，那么根是復(fù)數(shù)且不相等的。還可以使用另一種一行命令來解決這個(gè)方程，可以在命令窗口中這樣寫：

syms a b c x; solve(a*x^2+b*x+c)

solve函數(shù)的輸出是一個(gè)2×1的符號(hào)數(shù)據(jù)類型數(shù)組。因?yàn)檫@是一個(gè)二次方程，所以我們期望得到兩個(gè)解。

接下來，讓我們來看看三次多項(xiàng)式：

為了找到這個(gè)方程的根，我們可以執(zhí)行以下腳本：

clear; clc
syms a b c d x
solve(a*x^3 + b*x^2 + c*x + d)

在這種情況下，由于我們要解決一個(gè)三次方程，答案（ans）是一個(gè)3×1的符號(hào)數(shù)據(jù)類型數(shù)組。答案可能會(huì)非常冗長(zhǎng)，因此在這里不再重復(fù)，它會(huì)在命令窗口中顯示出來。

讓我們考慮另一個(gè)例子。我們來解下面的方程：

在命令窗口中執(zhí)行了以下命令：

syms a c x; solve(a*x^4 + c*x);
solution = simplify(ans);
solution

得到的解為：

solution =
0
(-c/a)^(1/3)
((3^(1/2)*i - 1)*(-c/a)^(1/3))/2
-((3^(1/2)*i + 1)*(-c/a)^(1/3))/2

接下來使用Latex格式化這個(gè)解：

latex(solution)

得到的Latex表示為：

\left(\begin{array}{c} 0\\ {\left(-\frac{c}{a}\right)}^{\frac{1}{3}}\\
\frac{\left( - 1 + \sqrt{3}\, \mathrm{i}\right)\,
{\left(-\frac{c}{a}\right)}^{\frac{1}{3}}}{2}\\
-\frac{\left(1 + \sqrt{3}\, \mathrm{i}\right)\,
{\left(-\frac{c}{a}\right)}^{\frac{1}{3}}}{2} \end{array}\right)

該文字處理軟件支持Latex語法。這個(gè)轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)atex格式的表示給出了這個(gè)四次方程的四個(gè)根的數(shù)組。

需要注意的是，其中兩個(gè)根是復(fù)數(shù)。

最后，讓我們使用solve函數(shù)來解三個(gè)線性方程的聯(lián)立方程組。我們來解如下方程組：

在命令窗口中執(zhí)行以下命令，得到：

syms x y z
[x, y, z] = solve(x + y + z - 1, 2*x + 3*y + z - 1, x + y + 3*z)

x =
3
y =
-3/2
z =
-1/2

這個(gè)方程組的解是 , , 。 需要注意的是，在符號(hào)計(jì)算中有多種實(shí)現(xiàn)solve函數(shù)（或解決方案工具）的方法。如果得到的是數(shù)值解（如上述的例子），則需要將其轉(zhuǎn)換為double類型的數(shù)據(jù)，以便在MATLAB腳本中使用（這在1.1.6節(jié)中已經(jīng)有所示范）。

17.1.2 向量

單行或單列的數(shù)組是向量。讓我們考慮以下3分量向量：，

有兩種常見的方法可以對(duì)這些數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行乘法運(yùn)算，大多數(shù)學(xué)生都熟悉這兩種方法。它們是內(nèi)積（點(diǎn)積）和外積（叉積）。可以通過以下符號(hào)命令（來自編輯器）來計(jì)算它們：

format compact
syms a1 a2 b1 b2 c1 c2 real
%聲明了一些符號(hào)變量 并指定它們?yōu)閷?shí)數(shù)。這樣做是為了告訴計(jì)算機(jī)這些變量具有實(shí)數(shù)屬性

x1 = [a1, b1, c1]
x2 = [a2, b2, c2]
x1_dot_x2 = dot(x1, x2)
x1_cross_x2 = cross(x1, x2)
format

在命令窗口中的結(jié)果如下所示：

x1 =
[ a1, b1, c1]
x2 =
[ a2, b2, c2]
x1_dot_x2 =
a1*a2 + b1*b2 + c1*c2
x1_cross_x2 =
[ b1*c2 - b2*c1, a2*c1 - a1*c2, a1*b2 - a2*b1]

使用format compact命令可以得到上面緊湊的輸出結(jié)果。而最后一個(gè)命令format用于恢復(fù)命令窗口的默認(rèn)輸出格式。將結(jié)果寫成如下形式：

內(nèi)積是一個(gè)標(biāo)量。

外積是一個(gè)向量。它是一個(gè)三分量向量（與用于相乘的向量具有相同的分量數(shù)）。

17.1.3 矩陣

讓我們考慮以下被稱為矩陣的數(shù)學(xué)對(duì)象。我們可以把這兩個(gè)物體加減。我們可以把這兩個(gè)物體乘除。我們將使用符號(hào)工具箱來完成這些操作

在MATLAB中執(zhí)行以下腳本：

format compact
syms a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22
Ma = [a11 a12; a21 a22]
Mb = [b11 b12; b21 b22]
Msum = Ma + Mb
Mproduct = Ma*Mb

命令窗口中的結(jié)果如下:

Ma =
[ a11, a12]
[ a21, a22]
Mb =
[ b11, b12]
[ b21, b22]
Msum =
[ a11 + b11, a12 + b12]
[ a21 + b21, a22 + b22]
Mproduct =
[ a11*b11 + a12*b21, a11*b12 + a12*b22]
[ a21*b11 + a22*b21, a21*b12 + a22*b22]

這兩個(gè)矩陣的加法涉及逐項(xiàng)加法。

乘積得到的矩陣與相乘的矩陣大小相同;結(jié)果中的每一項(xiàng)都是一行Ma乘以Mb上的一列之和。學(xué)習(xí)乘法矩陣，如下所示，驗(yàn)證矩陣乘法的過程。這兩個(gè)矩陣的乘積是:

讓我們分析一下下面這個(gè)矩陣的一些性質(zhì):

syms c11 c12 c21 c22 real
Mc = [c11 c12; c21 c22]
Mcdet = det(Mc);
Mcinv = inv(Mc);
Mc*inv(Mc);
disp(’ Mc * Mcinv = Imatrix’)
Imatrix = simple(ans)
Mcdet
Mcinv
[EigenVectorsMc EigenValuesMc] = eig(Mc)

除了特征向量和特征值，下面的輸出在命令窗口。后者被轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)atex，報(bào)告如下。

Mc =
[ c11, c12]
[ c21, c22]
Mc * Mcinv = Imatrix
Imatrix =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
Mcdet =
c11*c22 - c12*c21
Mcinv =
[ c22/(c11*c22 - c12*c21), -c12/(c11*c22 - c12*c21)]
[ -c21/(c11*c22 - c12*c21), c11/(c11*c22 - c12*c21)]

與這個(gè)矩陣相關(guān)的特征值是:

這是對(duì)角化矩陣的結(jié)果(一個(gè)在幾何上解釋為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系以找到矩陣只有有限對(duì)角項(xiàng)的坐標(biāo)的過程)。這個(gè)發(fā)生的坐標(biāo)系是由正交特征向量給出的。這個(gè)例子對(duì)應(yīng)的特征向量是:

接下來讓我們考慮3 × 3對(duì)稱矩陣的分析，即，

通過實(shí)現(xiàn)以下腳本詳細(xì)檢查了這個(gè)矩陣。它是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)對(duì)象，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中扮演著重要的角色，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中它是應(yīng)力張量的形式。

format compact
syms a b c d e f real
M = [a d e
dbf
e f c]
Mdet = det(M);
Minv = inv(M);
M*inv(M);
disp(’ M * Minv = Imatrix’)
Imatrix = simple(ans)
Mdet
Minv
[EigenVectorsM EigenValuesM] = eig(M)
format

在命令窗口的結(jié)果，除了相當(dāng)長(zhǎng)的特征值，特征向量和逆表達(dá)式如下:

M =
[ a, d, e]
[ d, b, f]
[ e, f, c]
M * Minv = Imatrix
Imatrix =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
Mdet =
- c*d^2 + 2*d*e*f-b*e^2 - a*f^2 + a*b*c

我們知道矩陣M的逆可以正確確定，因?yàn)?span style="cursor:pointer;">，其中 是單位矩陣。

使用MATLAB的符號(hào)工具解決該對(duì)稱矩陣的特征值問題可以通過以下代碼獲得結(jié)果：

[EigenVectors_M, EigenValues_M] = eig(M);

其中，EigenVectors_M是一個(gè)矩陣，包含了對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量的列向量，而EigenValues_M是一個(gè)對(duì)角矩陣，包含了特征值。你可以通過查看這兩個(gè)變量來獲取特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量的結(jié)果。

如果矩陣表示固體材料中某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則特征值為主應(yīng)力，特征向量為主方向。這一信息在分析材料強(qiáng)度時(shí)很重要。類似的矩陣也出現(xiàn)在流體力學(xué)的建模中。