中位線定理

若點D是AB的中點，點E是AC的中點，
則DE//BC，DE=BC.

逆定理1
(點D是AB上一點，點E是AC上一點)
若DE//BC，DE=BC，
則點D是AB的中點，點E是AC的中點.

證明方法1：回歸課本
延長DE到點F，使EF=DE，連接AF、CF、CD.
∵EF=DE=BC，
∴DF=DE+EF=BC，
又∵DE//BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴CF//BA，CF=BD，
根據(jù)AAS證明：△AED?△CEF，
∴CF=AD，AE=CE，
∴AD=BD，
即：點D是AB的中點，點E是AC的中點.

證明方法2：相似三角形
∵DE//BC，
∴△ADE～△ABC，
∴===，
∴AD=AB，AE=AC，
∴點D是AB的中點，點E是AC的中點.

逆定理2
(點D是AB上一點，點E是AC上一點)
若點D是AB的中點，DE//BC，
則點E是AC的中點，DE=BC.

證明方法1：回歸課本
延長ED到點F，使DF=DE，連接AF、BF、BE.
∵點D是AB的中點，
∴AD=BD，
∴四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF//AC，BF=AE，
又∵DE//BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BF=CE，BC=EF，
∴AE=CE，DE=EF=BC，
即：點E是AC的中點，DE=BC.

證明方法2：中位線
取BC的中點F，連接DF.
∵點D是AB的中點，
∴DF//AC，DF=AC，
又∵DE//BC，
∴四邊形CEDF是平行四邊形，
∴CE=DF=AC，DE=CF=BC，
即：點E是AC的中點，DE=BC.

證明方法3：平行線分線段成比例
∵DE//BC，
∴==1，
∴AE=CE，即：點E是AC的中點，
又∵點D是AB的中點，
∴DE=BC.

證明方法4：平行公理
取AC的中點F，連接DF，
∵點D是AB的中點，
∴DF//BC，DF=BC，
∵DE//BC，
∴DE與DF重合，
(過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.)
∴點E是AC的中點，DE=BC.

逆命題
(點D是AB上一點，點E是AC上一點)
若點D是AB的中點，DE=BC，
則點E是AC的中點，DE//BC.

1.當(dāng)∠C是銳角或鈍角時，此命題不一定成立.

反例：
如圖，以AB的中點D為圓心，BC長為半徑畫圓，交AC于點E、E.
此時，點D是AB的中點，DE=BC，
但點E不是AC的中點，DE與BC不平行.

2.當(dāng)∠C是直角時，此命題成立.

以AB的中點D為圓心，BC長為半徑畫圓，可證明圓與AC相切于點E(作垂直，證半徑)，
此時，點E是AC的中點，DE//BC.