前面介紹的廣義二項(xiàng)式定理表明，二項(xiàng)式的指數(shù)以及其用組合數(shù)表示的系數(shù)都可以從自然數(shù)推廣到一般實(shí)數(shù)。由于組合數(shù)可以用幾個(gè)階乘的乘除組合來(lái)表示，即

?

那么階乘是否也可以推廣到一般實(shí)數(shù)呢？事實(shí)上，是可以的。

    為了進(jìn)一步說(shuō)明，我們先介紹一種特殊的非初等函數(shù)——Γ函數(shù)，也叫第二類(lèi)歐拉積分，其在復(fù)數(shù)域上的定義為

?

其中z為復(fù)數(shù)。對(duì)于自然數(shù)n，有以下等式成立

?

可以看出階乘可以用Γ函數(shù)表示，由于Γ函數(shù)在實(shí)數(shù)域上都有定義，那么可以通過(guò)它將階乘推廣到實(shí)數(shù)域上，即任意實(shí)數(shù)x的階乘可以定義為

?

上述函數(shù)也叫廣義階乘函數(shù)，它有很多有趣的性質(zhì)，比如

?

    整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式系數(shù)為組合數(shù)，可以用階乘表示，若將一般(非整數(shù))實(shí)數(shù)的階乘用廣義階乘函數(shù)表示，那么組合數(shù)及二項(xiàng)式定理都可以推廣到復(fù)數(shù)域。不難證明，這樣推廣出來(lái)的結(jié)果和前面介紹的廣義二項(xiàng)式定理是一樣的。

    物理中的很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為排列組合的極值問(wèn)題，但一般定義在自然數(shù)上的排列或組合數(shù)中的階乘直接求極值比較麻煩，若將階乘推廣到實(shí)數(shù)域，則求極值可以通過(guò)對(duì)廣義階乘函數(shù)求導(dǎo)來(lái)解決，這樣會(huì)方便很多。