簡介

對于通過明確定義的循環(huán)演化的系統(tǒng)中熵行為的研究，可以提供有關(guān)量子力學如何在統(tǒng)計物理學和熱力學中發(fā)揮作用的知識。

熱力學第二定律認為，混亂通常是演化的結(jié)果。一旦出現(xiàn)，它幾乎不可能消除。有許多系統(tǒng)可以通過數(shù)學模型來探索，并且可以進行實驗研究。

一個重要且有用的系統(tǒng)是由大量自旋組成的系統(tǒng)，這些自旋最初是對齊的，并在不均勻磁場中進動，直到它們指向各種不同的方向。

自旋開始時處于有序狀態(tài)，隨著時間的推移逐漸變得無序。這些自旋受到特定頻率和方向的射頻脈沖的作用。隨后的演化反轉(zhuǎn)了累積的無序，使得自旋回到初始對齊狀態(tài)。

這個過程中產(chǎn)生了多少無序，這種無序是否被有效消除，或者在過程結(jié)束時原始狀態(tài)的恢復程度是多少，這些問題無疑非常有趣。

經(jīng)典上，通過將自旋系統(tǒng)置于沿z軸方向的強穩(wěn)磁場B中，可以構(gòu)建物理情景。設μ為宏觀樣品中核的磁矩，那么如果μB？kBT，在平衡狀態(tài)下，除了一個小的種群，所有自旋都將指向上方的z軸。

從射頻場B發(fā)出的脈沖，沿x軸方向定向，并以自旋平均洛倫茲頻率ω=2μB/？振蕩，長度為π/2ω1，其中ω1=μB/？。這是讓洛倫茲進動繞脈沖場的磁場旋轉(zhuǎn)所有自旋到一個與z軸和脈沖方向都垂直的公共方向所需的時間。自旋現(xiàn)在在z軸周圍自由進動。

最初，所有自旋都是對齊的。磁場的局部非均勻性給出不同的自旋進動速率。大約1%的非均勻性將導致自旋在1000次旋轉(zhuǎn)后完全不對齊，作為一個例子。

只要不同自旋之間以及自旋與晶格之間的耦合較弱，無序幾乎完全是由洛倫茲進動速率的不同造成的。在t=0開始進動和自旋-自旋或自旋-晶格弛豫時間之間，可以施加第二個脈沖，長度是第一個脈沖的兩倍。

這會使自旋在脈沖的旋轉(zhuǎn)磁場周圍進動角度為π。在共轉(zhuǎn)動的框架中，進動的效果是將第i個自旋從角度γi轉(zhuǎn)到角度？γi。第二個脈沖共軛了自旋的總相位，在進動過程中累積的相位都被反轉(zhuǎn)。

隨著自旋的進動，每個自旋在自己的磁場中進動，使得在它之前累積的相位被消除。第二個脈沖后的時間t，自旋再次沿著與初始方向相反的方向?qū)R。

在實驗上，自旋重新對齊會產(chǎn)生一個可以檢測到的信號。這個信號是最初對齊自旋的回響。如果共軛自旋相位的脈沖出現(xiàn)在自旋-自旋或自旋-晶格弛豫時間之后，那么自旋將無法重新對齊。

在共軛后，自旋必須撤銷或逆轉(zhuǎn)其先前的全部演化，包括重要的相互作用。研究發(fā)現(xiàn)，精心選擇的脈沖序列足以不僅逆轉(zhuǎn)自旋的演化，還逆轉(zhuǎn)它們與其他自旋的相互作用。

一旦系統(tǒng)被準備好，以便完全了解受演化影響的自旋的狀態(tài)，自旋進動后，對于個體方向的了解將不會保留。

一個模型系統(tǒng)及其解決方案

考慮一個自旋-1/2粒子受到沿z軸方向強度為B0=ω0/γ的磁場和沿x軸方向頻率為ω的射頻場的影響，其哈密頓算符可用產(chǎn)生和湮滅算符b？， b以及泡利矩陣表示為：H？=12？ω0σz+？η（b？σ++b？？σ？）+？Ωb？？b？， b？？b？|n？=n|n？.

其中η和Ω為常數(shù)。定義考慮的希爾伯特空間的基集為：|n，↑？=|n？？|↑？？， |n，↓？=|n？？|？↓？. 利用算符σ±的性質(zhì)，有σ+|↑？？=0和σ？|？↓？=0，可以將H？應用于（2.2）中定義的基態(tài)：H？|n，↑？=12？ω0|n，↑？+？ηn+1？？？？？√|n+1，↓？+？Ωn|n，↑？=？（12ω0+nΩ）|n，↑？+？ηn+1？？？？？√|n+1，↓？， （2.3）

然后，歸一化的本征態(tài)可以組合如下：|φ+（n）？=cos？n|n+1，↓？+sin？n|n，↑？，|φ？（n）？=？sin？n|n+1，↓？+cos？n|n，↑？.這解決了哈密頓算符的本征值問題。

一個波函數(shù)ψ（r， t），在時間t=0時，是穩(wěn)態(tài)態(tài)∑α？？？cαψα（r）的線性疊加，在t-獨立的哈密頓算符的影響下，其演化如下。如果能級的能量被稱為Eα，則根據(jù)薛定諤方程的線性性，該波函數(shù)在時間上的演化如下：∑α？？？Cαe？iEαt/？ψα（r）。

最初，在討論的情況下，自旋沿x軸對齊，射頻場處于關(guān)閉狀態(tài)。一個典型自旋的初始狀態(tài)為：|ψ（0）？=12√（|0，↑？+|0，↓？）。

自旋圍繞沿z軸方向的磁場進動。按照上述計劃，在時間t，狀態(tài)向量為：|ψ（t）？=12√（e？iω0t/2？|n，↑？+eiω0t/2？|n，↓？）。

這個狀態(tài)也可以轉(zhuǎn)換成本征態(tài)基|φ±？，使得|ψ（t）？表示為|ψ（t）？=12√（e？iω0t/2？［sin？n|φ+（n）？+cos？n|φ？（n）？］）？？？+eiω0t/2？［cos？n？1|φ+（n？1）？？sin？n？1|φ？（n？1）？］。

為了進一步獲得從（2.17）開始的狀態(tài)|ψ（t）？的演化，應該記住|φ±（n）？都是總哈密頓算符H？的本征態(tài)，其本征值為En=？（Ω（n+1/2）±λn）。

經(jīng)過時間τ=Δt的演化，狀態(tài)|ψ（t）？演化為一個新狀態(tài)|ψ（t+τ）？，在演化算符H？的影響下，為了獲得這個最終狀態(tài)，必須將（2.17）中的每個本征函數(shù)乘以近似施加的相位因子e？iEn，±τ/？。

這將導致|ψ（t）？演化為最終狀態(tài)|ψ（t+τ）？，其中使用了|φ±（n）？是H？的能量本征態(tài)的事實。

如果場處于一個相干態(tài)，自旋回波效應會像往常一樣發(fā)生。但是，如果場處于一個足夠接近數(shù)值本征態(tài)的壓縮態(tài)，自旋的|↑？？和|？↓？態(tài)不能干涉，自旋回波不會發(fā)生。

這種情況與雙縫實驗完全類似。如果擴展縫所在的平面處于一個足夠接近動量本征態(tài)的壓縮態(tài)，那么通過測量光子通過后的平面動量，可以確定光子穿過哪個縫。

實驗結(jié)果顯示，在屏幕上沒有出現(xiàn)干涉圖案。量子力學處理保留了自旋回波效應的基本特征。自旋重新對齊，而不將信息傳遞給電磁場。

由于哈密頓系統(tǒng)是非耗散的，原則上可以追蹤這樣一個系統(tǒng)在其龐加萊時間的相當大部分內(nèi)的進展。一種提取能量的裝置必須隨著時間的推移投入越來越多的資源來恢復相同數(shù)量的功。

自旋先變得無序，然后再次有序，這在熵的角度非常有趣。自旋和磁場的整體無序僅略微增加。正是磁場不均勻性的結(jié)構(gòu)提供了關(guān)鍵的數(shù)據(jù)，使得相對較小的成本就可以完成反轉(zhuǎn)。

關(guān)于這種系統(tǒng)的統(tǒng)計熵，可以證明自旋的普通統(tǒng)計力學熵是增加的。然后在循環(huán)過程中減少，從而產(chǎn)生回波效應。由于自旋和磁場構(gòu)成了一個哈密頓系統(tǒng)，忽略自旋-自旋和自旋-晶格相互作用，必須保持自旋和場的整體統(tǒng)計熵保持恒定，磁場本身也是如此。自旋在時間t的統(tǒng)計熵可以作為場的熵的函數(shù)來確定。

讓 pt（ωi）dω 表示自旋 i 的拉莫爾頻率落在區(qū)間 ［ωi， ωi+dω） 的概率，pt（γi）dγ 表示 γi 在時間 t 時處于集合 ［γi， γi+dγ］ 的概率。

這里使用了連續(xù)概率分布的熵，可以進行歸一化，使得具有擴展 Δγ 和 Δω 的分布的熵為零。擴展較小的概率分布具有負的熵。，由于所使用的粗粒化允許比 Δω 和 Δγ 更高的精度，這樣的負熵在實踐中從不發(fā)生。當 S（γi（t））>log（2π/Δγ） 時，自旋的方向被定義為 mod2π，兩者相等。

在 t=0 時，自旋的統(tǒng)計熵為零，而自旋和場的總熵正是場的熵。如果拉莫爾頻率的偏差與它們的平均值不相關(guān)，則所有自旋的統(tǒng)計熵只是單個自旋的熵乘以 N。

再次，當 （3.3） 為負時，右邊被設為零。自旋的統(tǒng)計熵隨著 Nlogt 增加，并且等于自旋和磁場之間的互信息。

脈沖共軛了相位后，自旋的熵同樣迅速減少。系統(tǒng)的自然演化利用自旋與場之間的互信息來降低自旋的熵?？捎玫幕バ畔?shù)量恰好足夠?qū)⒆孕撵販p少到零，無需在其他地方增加熵。自旋-自旋和自旋-晶格弛豫時間遠小于宏觀自旋回波系統(tǒng)的龐加萊時間。此外，在 log（t/Δt） 顯著之前，自旋在熱上是隨機的。

值得注意的是，實際上任何可積哈密頓系統(tǒng)都類似于自旋回波系統(tǒng)?？煞e系統(tǒng)的相空間可以通過正則變換分解為動作變量，這類似于自旋的進動頻率，以及角度變量類似于自旋的角度。

由于哈密頓系統(tǒng)是非耗散性的，在原則上可以追蹤這種系統(tǒng)的演化，直到龐加萊時間的很大一部分。術(shù)語 log（t/Δt） 在從可積系統(tǒng)中提取能量作為功方面確實有所不同。隨著時間的增加，設備必須投入更多資源來提取這種能量并產(chǎn)生一定量的功。物理熵限制了能夠從系統(tǒng)中提取多少熵的功，并隨著 log（t/Δt） 而變化。

從可積系統(tǒng)中提取相同數(shù)量的功需要越來越多的資源。為了理解這一點，可以利用前面提到的物理熵的概念來考慮充分利用自旋回波誘導信號中的能量的想法。

例如，可以通過在電容器中存儲物理電能來實現(xiàn)這一點。這引出了一個能夠捕獲和儲存能量的麥克斯韋惡魔裝置。

隨著時間的推移，它必須要么使用更多的存儲器來執(zhí)行任務，要么耗散越來越多的能量。

所設想的惡魔只是一個在脈沖之后在線圈和電容器之間打開電路的設備。結(jié)果是電容器接收來自信號的電荷并儲存能量。

為了捕獲信號中的所有能量，必須在恰當?shù)臅r間點打開開關(guān)。如果時間太早，電容器上不會積累電荷；時間太晚，所有電荷都會泄漏掉。惡魔必須準確地知道脈沖到達的時間，以存儲所有脈沖的能量。設備必須投入 log（t/Δt） 的存儲空間。

所需資源量與時間的對數(shù)成長。在這種情況下，惡魔只需投入少量資源來捕獲脈沖的能量。如果到達時間相對較隨意，S（t） 顯著不同于 log（t/Δt） 的可能性很小。在等待脈沖時，要求設備不會被熱漲落觸發(fā)，這對轉(zhuǎn)移的能量有一個最小值。

結(jié)論

這個自旋系統(tǒng)中的無序減少并不違背熱力學第二定律，因為系統(tǒng)的狀態(tài)與磁場狀態(tài)高度相關(guān)，熵在這里并不是一個廣延變量。

自旋和磁場的細粒度熵保持不變。當存在這樣的相關(guān)性時，整體的熵顯著小于各部分熵之和。對于這種系統(tǒng)而言，有趣的事實是設備利用場和自旋之間的互信息來減少自旋的熵，而不會減少場和自旋合并后的熵。

之前提到的第三種可能性是，雖然在自旋回波過程中，自旋的熵實際上是先增加后減少的，但對于時間遠小于自旋-自旋、自旋-晶格弛豫時間的情況下，總體系統(tǒng)-自旋、晶格和磁場的熵保持恒定或幾乎恒定。

這個模型可能為理解一般的可積系統(tǒng)提供更多見解。任何可積哈密頓系統(tǒng)都類似于自旋回波系統(tǒng)。通過使用正則變換，可將可積系統(tǒng)的相空間分解為動作-角變量，類似于進動頻率的變量，以及類似于自旋角度的變量。

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