Lingo是一種專門用于線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃等數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題求解的軟件。下面介紹Lingo軟件求解簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般編程方法：

1. 定義變量：使用Lingo中的VAR關(guān)鍵字定義變量，并設(shè)置變量的類型、取值范圍和初始值等屬性。

2. 定義目標(biāo)函數(shù)：使用Lingo中的MAX或MIN關(guān)鍵字定義目標(biāo)函數(shù)，并根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)。

3. 定義約束條件：在Lingo中，可以通過(guò)定義約束條件來(lái)描述模型中的限制條件。

4. 定義求解方法：在Lingo中，可以通過(guò)定義求解方法來(lái)指定使用何種算法求解模型。

5. 運(yùn)行求解：在Lingo中，可以通過(guò)點(diǎn)擊“Solve”按鈕來(lái)運(yùn)行求解器，求解模型并輸出結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

（指派問(wèn)題）考慮指派m個(gè)人完成n項(xiàng)任務(wù)（每人單獨(dú)承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)），使所需的總完成時(shí)間（成本）盡可能短已知某指派問(wèn)題的有關(guān)數(shù)據(jù)（每人完成各任務(wù)所需的時(shí)間）如下表所示，試求解該指派問(wèn)題。

這是一個(gè)的指派問(wèn)題，其中。我們可以用lingo來(lái)求解。

首先，定義變量表示第個(gè)工人完成第項(xiàng)任務(wù)的情況，如果完成則為1，否則為0。因此，我們的目標(biāo)是最小化總完成時(shí)間，即：

其中表示第個(gè)工人完成第項(xiàng)任務(wù)所需的時(shí)間。同時(shí)，每個(gè)工人只能完成一項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)也只能由一個(gè)工人完成，因此有以下約束條件：

1. 每個(gè)工人只能完成一項(xiàng)任務(wù)：

2. 每項(xiàng)任務(wù)只能由一個(gè)工人完成：

3. 只能取0或1：

將上述問(wèn)題輸入lingo代碼中，可以得到如下的lingo代碼：

model:
 sets:
 m/1..4/;
 n/1..4/; 
 link(m,n):a,x;
 endsets
 min=@sum(link(i,j):x(i,j)*a(i,j));
 @for(m(i):@sum(n(j):a(i,j))=1);
 @for(n(j):@sum(m(i):a(i,j))=1);
 data: 
 x=15 18 21 24
 19 23 22 18
 26 18 16 19
 19 21 23 17;
 enddata 
 end

：表示工人的集合，

：表示任務(wù)的集合，

變量：表示工人 完成任務(wù) 的指派情況，取值為 或 。

參數(shù)：表示工人 完成任務(wù) 所需的時(shí)間。

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

表示每個(gè)任務(wù)只能由一個(gè)工人完成.

@for(m(i):@sum(n(j):a(i,j))=1); 表示對(duì)于集合 中的每個(gè)元素 ，都要求 ，即每個(gè)工人只能完成一個(gè)任務(wù)。

@for(n(j):@sum(m(i):a(i,j))=1); 表示對(duì)于集合 中的每個(gè)元素 ，都要求 ，即每個(gè)任務(wù)只能由一個(gè)工人完成。

代碼中的 data: x=15 18 21 24 19 23 22 18 26 18 16 19 19 21 23 17; enddata 表示給參數(shù) 賦值，即將前面定義的 的取值寫入代碼中。

Global optimal solution found.
  Objective value:                   70.00000
  Infeasibilities:                   0.000000
  Total solver iterations:              7
  Elapsed runtime seconds:             0.08
  
  Model Class:                         LP
  
  Total variables:                     16
  Nonlinear variables:                  0
  Integer variables:                    0
  
  Total constraints:                    9
  Nonlinear constraints:                0
  
  Total nonzeros:                      48
  Nonlinear nonzeros:                   0
  
   Variable           Value        Reduced Cost
  A( 1, 1)        0.000000            0.000000
  A( 1, 2)        1.000000            0.000000
  A( 1, 3)        0.000000            5.000000
  A( 1, 4)        0.000000            10.00000
  A( 2, 1)        1.000000            0.000000
  A( 2, 2)        0.000000            1.000000
  A( 2, 3)        0.000000            2.000000
  A( 2, 4)        0.000000            0.000000
  A( 3, 1)        0.000000            11.00000
  A( 3, 2)        0.000000            0.000000
  A( 3, 3)        1.000000            0.000000
  A( 3, 4)        0.000000            5.000000
  A( 4, 1)        0.000000            1.000000
  A( 4, 2)        0.000000            0.000000
  A( 4, 3)        0.000000            4.000000
  A( 4, 4)        1.000000            0.000000
  X( 1, 1)        15.00000            0.000000
  X( 1, 2)        18.00000            0.000000
  X( 1, 3)        21.00000            0.000000
  X( 1, 4)        24.00000            0.000000
  X( 2, 1)        19.00000            0.000000
  X( 2, 2)        23.00000            0.000000
  X( 2, 3)        22.00000            0.000000
  X( 2, 4)        18.00000            0.000000
  X( 3, 1)        26.00000            0.000000
  X( 3, 2)        18.00000            0.000000
  X( 3, 3)        16.00000            0.000000
  X( 3, 4)        19.00000            0.000000
  X( 4, 1)        19.00000            0.000000
  X( 4, 2)        21.00000            0.000000
  X( 4, 3)        23.00000            0.000000
  X( 4, 4)        17.00000            0.000000
  
  Row    Slack or Surplus      Dual Price
  1        70.00000           -1.000000
  2        0.000000           -15.00000
  3        0.000000           -19.00000
  4        0.000000           -15.00000
  5        0.000000           -18.00000
  6        0.000000            0.000000
  7        0.000000           -3.000000
  8        0.000000           -1.000000
  9        0.000000            1.000000

這是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解結(jié)果，其中求解器已經(jīng)找到了全局最優(yōu)解。以下是各項(xiàng)指標(biāo)的解釋：

• Objective value: 問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值，即優(yōu)化問(wèn)題的最小值或最大值。
• Infeasibilities: 問(wèn)題的不可行性度量，表示問(wèn)題是否有可行解。如果該值為0，則表示問(wèn)題有可行解。
• Total solver iterations: 求解器迭代的次數(shù)，表示求解器尋找最優(yōu)解的次數(shù)。
• Elapsed runtime seconds: 求解器運(yùn)行的時(shí)間，表示求解器尋找最優(yōu)解所需的時(shí)間。
• Model Class: 問(wèn)題的模型類型，例如LP表示線性規(guī)劃。
• Total variables: 問(wèn)題中的變量總數(shù)。
• Nonlinear variables: 問(wèn)題中的非線性變量數(shù)。
• Integer variables: 問(wèn)題中的整數(shù)變量數(shù)。
• Total constraints: 問(wèn)題中的約束總數(shù)。
• Nonlinear constraints: 問(wèn)題中的非線性約束數(shù)。
• Total nonzeros: 問(wèn)題中的非零元素總數(shù)。
• Nonlinear nonzeros: 問(wèn)題中的非線性元素?cái)?shù)。

在這個(gè)例子中，求解器找到了全局最優(yōu)解，即問(wèn)題的最小值為70。不可行性度量為0，表示該問(wèn)題有可行解。求解器迭代了7次，尋找最優(yōu)解所需的時(shí)間為0.08秒。該問(wèn)題是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，共有16個(gè)變量和9個(gè)約束條件，其中沒(méi)有非線性變量和非線性約束條件?？偡橇阍?cái)?shù)為48，其中沒(méi)有非線性元素。

這些指標(biāo)可以幫助我們了解線性規(guī)劃問(wèn)題的求解過(guò)程和結(jié)果，并且可以幫助我們分析問(wèn)題的復(fù)雜度和規(guī)模。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)這些指標(biāo)來(lái)評(píng)估優(yōu)化問(wèn)題的難度和求解器的性能，以便更好地設(shè)計(jì)和優(yōu)化實(shí)際問(wèn)題的解決方案。

線性規(guī)劃問(wèn)題的輸出結(jié)果，其中包含了變量值、降低成本、松弛變量或剩余變量以及對(duì)偶價(jià)格等信息。

變量值(Value)是指在最優(yōu)解下，每個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的取值。例如，X(1,1)的變量值為15，表示在最優(yōu)解下，第一行第一列的變量取值為15。

降低成本(Reduced Cost)是指每個(gè)變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)，也就是如果增加一個(gè)單位的變量，目標(biāo)函數(shù)將減少的數(shù)量。例如，A(1,3)的降低成本為5，表示如果增加一個(gè)單位的A(1,3)變量，目標(biāo)函數(shù)將減少5。

松弛變量或剩余變量(Slack or Surplus)是指在約束條件中引入的人工變量，用于將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。例如，第一行的第6個(gè)松弛變量的值為0，表示該約束條件是等式約束。

對(duì)偶價(jià)格( Dual Price)是指每個(gè)約束條件對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量在對(duì)偶問(wèn)題中的取值，也就是在原始問(wèn)題中增加一個(gè)單位的資源所能提供的最大價(jià)值。例如，第一行的對(duì)偶價(jià)格為-1，表示如果增加一個(gè)單位的第一行資源，目標(biāo)函數(shù)將減少1。對(duì)偶價(jià)格可以用于檢查原始問(wèn)題的靈敏度，即在資源量發(fā)生變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化情況。

最后，需要注意的是，這個(gè)輸出結(jié)果中還包含了每個(gè)約束條件的松弛或者剩余量。如果約束條件的松弛或者剩余量為0，表示該約束條件被恰好滿足。如果松弛或者剩余量為正，表示約束條件被過(guò)度滿足，即資源有剩余。如果松弛或者剩余量為負(fù)，表示約束條件沒(méi)有被完全滿足，即資源不足。

這些信息可以幫助我們理解線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，以及在資源量或者目標(biāo)函數(shù)系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，問(wèn)題的靈敏度和穩(wěn)定性。

最后得出結(jié)果：第1個(gè)人完成第2項(xiàng),第2人完成第1項(xiàng),第3人完成第3項(xiàng),第4人完成第4項(xiàng)。最短時(shí)間為70。