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在數(shù)學(xué)、物理、工程學(xué)等領(lǐng)域的深入探索中，我們往往需要依靠一些基本的理論工具。歐拉-拉格朗日方程就是這樣一種強(qiáng)大的工具，起源于最小作用原理，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)等眾多領(lǐng)域。這一方程的命名者，歐拉和拉格朗日，都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)史上的巨人，他們的貢獻(xiàn)給我們留下了持久的烙印。對(duì)歐拉-拉格朗日方程的理解和應(yīng)用，不僅可以讓我們揭示自然現(xiàn)象的深層規(guī)律，也有助于我們?cè)趶?fù)雜問(wèn)題求解中找到最優(yōu)策略。 讓我們考慮一個(gè)在重力場(chǎng)中被垂直向上拋出的粒子，它從高度h1 = 0處的時(shí)間t1 =0開始移動(dòng)。它沿直線向上移動(dòng)，然后在相同的位置h2 = 0處的時(shí)間t2返回地面。
在位置-時(shí)間圖中，粒子從時(shí)間t1處的高度h1開始，我們將這個(gè)起點(diǎn)稱為A。粒子在高度h2的時(shí)間t2到達(dá)終點(diǎn)B。在這個(gè)問(wèn)題中，A和B之間的連線必須是一條拋物線。
但為什么這條路徑h(t)是一條拋物線而不是其他路徑呢？為什么自然選擇這條路徑？為什么不選擇下面的路徑1或者路徑2？
作用量 為了能夠回答這個(gè)問(wèn)題，我們需要一個(gè)被稱為作用量（Action）的量，用字母"S"表示。我們可以為所有可能的路徑分配一個(gè)作用量值（action value）。作用量接受整個(gè)函數(shù)"h"作為參數(shù)，并輸出一個(gè)數(shù)字，即相應(yīng)函數(shù)h的作用量值。
這樣一個(gè)接受函數(shù)"h"作為輸入，并輸出一個(gè)數(shù)字的數(shù)學(xué)對(duì)象被稱為泛函（functional）。
由于泛函輸出作用量，所以"S of h"也被稱為作用量泛函（Action Functional）。為了區(qū)分作用量泛函和只接受一個(gè)數(shù)字作為參數(shù)的常規(guī)函數(shù)，我們使用方括號(hào)表示泛函。
作用量的單位是焦耳秒（joule-second）。例如，上面這條路徑可能有3.5焦耳秒的值，下面這條路徑的值是5.6焦耳秒，拋物線路徑的值是2焦耳秒。
回到問(wèn)題：為什么路徑是一條拋物線？經(jīng)驗(yàn)表明，自然是極值的（nature is extremal）。也就是說(shuō)，如果我們計(jì)算所有可能路徑h1 h2 h3等在A和B之間的作用量值，那么自然就會(huì)取最大值，最小值或者極點(diǎn)的作用量值。
自然會(huì)選擇其中的一條路徑。自然選擇哪條極值路徑具體取決于所考慮的問(wèn)題。在一個(gè)粒子在重力場(chǎng)中向上拋出的情況中，自然選擇的是一個(gè)最小值，
由于拋物線路徑有最小的作用量，所以粒子在位置與時(shí)間圖中選擇了這條路徑。 計(jì)算作用量 但是我們?nèi)绾斡?jì)算作用量的這些值呢？為此，我們需要拉格朗日函數(shù)L（Lagrange Function）。它取決于時(shí)間t，函數(shù)值h(t)和速度，
拉格朗日函數(shù)的單位是能量，也就是焦耳J。如果我們對(duì)拉格朗日函數(shù)在時(shí)間t1和t2之間的時(shí)間t進(jìn)行積分，
得到的數(shù)量的單位是焦耳秒。這正是我們需要的作用量。因此，如果指定了拉格朗日函數(shù)，就可以具體計(jì)算每個(gè)可能的路徑"h"的作用量值。
通常，使用字母"q"代替"h"，
稱q為廣義坐標(biāo)（generalized coordinate），將q的導(dǎo)數(shù)稱為廣義速度(generalized velocity) 。"廣義"的含義是，"q"可以是距離地面的高度或角度或其他可以依賴于時(shí)間"t"的量。 歐拉-拉格朗日方程的結(jié)構(gòu) 當(dāng)然，為所有可能的路徑計(jì)算積分并取得積分最小值的路徑是非常麻煩的。
為了避免這樣的巨大任務(wù)，我們使用所謂的歐拉-拉格朗日方程（Euler-lagrange equation）：
它可以從作用量的定義和“自然是極值的原理”中推導(dǎo)出來(lái)。這里，我們只想知道如何使用歐拉-拉格朗日方程確定未知的路徑"q(t)"。 首先，讓我們仔細(xì)看看歐拉-拉格朗日方程是如何組成的。它包含了拉格朗日函數(shù)對(duì)廣義速度偏導(dǎo)數(shù)，
這個(gè)"L關(guān)于q點(diǎn)"的導(dǎo)數(shù)也被稱為廣義動(dòng)量，用"p"表示。然后對(duì)廣義動(dòng)量求對(duì)"t"的導(dǎo)數(shù)，
另一個(gè)項(xiàng)是拉格朗日函數(shù)關(guān)于廣義坐標(biāo)"q"的導(dǎo)數(shù)，
如果將動(dòng)量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)移到另一邊，
就可以從歐拉-拉格朗日方程中讀出動(dòng)量是否守恒。為此，其時(shí)間導(dǎo)數(shù)必須為零。所以只需要計(jì)算"L關(guān)于q"的導(dǎo)數(shù)是否為零。 拉格朗日函數(shù) 拉格朗日函數(shù)"L"是一個(gè)不能被推導(dǎo)出來(lái)的標(biāo)量函數(shù)，
只能被猜測(cè)出來(lái)。如果你認(rèn)為你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題的合適的拉格朗日函數(shù)，無(wú)論是來(lái)自量子力學(xué)，經(jīng)典力學(xué)還是相對(duì)論，都可以很容易地驗(yàn)證這個(gè)拉格朗日函數(shù)是否正確地描述了你的問(wèn)題，方法就是使用歐拉-拉格朗日方程。 在大多數(shù)經(jīng)典力學(xué)的情況下，拉格朗日函數(shù)是粒子的動(dòng)能和勢(shì)能之間的差。
如何使用歐拉-拉格朗日方程？ 回到我們的例子，讓我們看看如何從拉格朗日函數(shù)和歐拉-拉格朗日方程計(jì)算出拋物線。為此，需要進(jìn)行5個(gè)步驟：
動(dòng)能是
在重力場(chǎng)中的勢(shì)能是，
因此，拉格朗日函數(shù)是，
"L"對(duì)"h"的偏導(dǎo)數(shù)是，
L關(guān)于"h的導(dǎo)數(shù)"的偏導(dǎo)數(shù)是，
進(jìn)一步對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得，
把兩者合并在一起得到，
這里可以看到歐拉-拉格朗日方程的含義！它告訴我們，要解哪個(gè)微分方程，以找出未知的函數(shù)"h(t)"。注意，這個(gè)例子是一個(gè)一維問(wèn)題，所以只從中得到一個(gè)微分方程。在更復(fù)雜的多維問(wèn)題中，將得到幾個(gè)微分方程。
這個(gè)微分方程的解是容易確定的。將兩邊都對(duì)時(shí)間" t "積分，
得到
其中C1是一個(gè)積分常數(shù)。然后我們?cè)俅螌?duì)時(shí)間積分，
得到
其中C2是另一個(gè)積分常數(shù)。
在這個(gè)問(wèn)題中，我們?cè)?t1等于零的時(shí)候拋出了粒子，初始高度h1等于零。所以讓我們把t和h都設(shè)為零。
因此C2必須等于零。為了找出常數(shù)C1，我們需要第二個(gè)邊界條件。在t2的時(shí)候，粒子從"高度h2等于零"落下。所以讓我們將"t=t2"和"h=0"插入到方程中。
得到，
因此，路徑h為
這就是我們所期待的拋物線形狀！
結(jié)論 現(xiàn)在你知道了歐拉-拉格朗日方程是什么，以及如何使用它來(lái)求解一維經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題。后面，我將嘗試介紹如何把歐拉-拉格朗日方程應(yīng)用到多維問(wèn)題，以及如何從牛頓力學(xué)推導(dǎo)出歐拉-拉格朗日方程。 歐拉-拉格朗日方程為我們提供了一個(gè)描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的微分方程。我們需要解微分方程來(lái)找出未知函數(shù)"q(t)"。你需要從物理系統(tǒng)的特性中猜測(cè)拉格朗日函數(shù)，然后將這個(gè)函數(shù)插入歐拉-拉格朗日方程來(lái)獲得這個(gè)微分方程。也需要適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件來(lái)解決這個(gè)微分方程。 |
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