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① 三角形由三條線段圍成。線段是直線的一部，而不過反演極的直線的反演是圓，所以直線上的線段的反演是一段圓孤。那么三角形的反演就是由三段不同的圓弧圍成(圖中紫色)。下圖所示為反演極O在三角形內(nèi)部的情況。圖中的點(diǎn)畫線圓是反演圓。

② 觀察上圖，我們抽取其中有用信息。三角形三個頂點(diǎn)A，B，C的反演點(diǎn)是三段圓弧的交點(diǎn)A'，B'，C'。那么連接這三個反演點(diǎn)便得到一個三角形A'B'C'。這個三角形與原三角形一般來說不會全等，也不會相似。那么能否使三角形A′B′C′與三角形ABC相似甚至全等？進(jìn)一步，能否使三角形A′B′C′與任意三角形DEF相似甚至全等？

③ 首先證明 ∠AOB=∠C+∠C′。

        ∠AOB=∠AOS+∠SOB

      =(∠CAO+∠ACO)+(∠CBO+∠BCO)

      =(∠CAO+∠CBO)+(∠ACO+∠BCO)

      =(∠A′C′O+∠B′C′O)+∠C

      =∠C′+∠C

∠C是確定的，所以總可以讓反演極O變動位置，使得∠AOB=2∠C，從而∠C′=∠C。類似地，可以使∠A′=∠A。從而一定有∠B′=∠B。于是△A′B′C′與△ABC相似。在相似的基礎(chǔ)上，調(diào)整反演圓的半徑，可以最終使得△A′B′C′與△ABC全等。至于與任意三角形DEF的相似甚至全等，將在本文最后講。

下面考察反演極位于三個特殊點(diǎn)一一外心、垂心、內(nèi)心時△A′B′C′與△ABC的關(guān)系。

④ 若反演極O是△ABC的外心，則△A′B′C′與△ABC相似。為什么？因?yàn)?/span>OA=OB=OC，從而OA′=OB′=OC′，從而△A′B′C′與△ABC相似。也可以從反演極O是△ABC的外心得知∠AOB=2∠C，從而由③得∠C′=∠C。同理有∠B′=∠B，∠A′=∠A。這也就是△A′B′C′與△ABC相似。

⑤ 若反演極O是△ABC的垂心，則△A′B′C′與垂足△DEF相似。為什么？如下圖所示，因?yàn)锳、B、D、E四點(diǎn)共圓，由相交弦定理，所以有

         AO·OD=BO·OE=CO·OF        （1）

而

AO=r2/OA'，BO=r2/OB'，CO=r2/OC'

代入(1)式，得

OD/OA'=OE/OB'=OF/OC'

這個等式說明，點(diǎn)O是△DEF與△A′B′C′的逆位似中心，所以，△A′B′C′與△DEF相似。

⑥ 若反演極O為三角形內(nèi)心，則△A′B′C′與旁心△IAIBIC相似。為什么？觀察下圖，我們能證明所有標(biāo)以“1”的角都相等，所有標(biāo)以“2”的角都相等，所有標(biāo)以“3”的角都相等即可。以角“1”為例：

?∠A處兩個∠1相等是因?yàn)锳O是∠A的平分線；

?∠A處∠1與∠C′處的∠1相等，是因?yàn)椤鰽OC與△C′OA′相似；

?∠A處∠1與IC處∠1相等，是因?yàn)锳OBⅠC是圓內(nèi)接四邊形；

?從而推出∠C′處的∠1與IC處的∠1相等。又同理有∠C′處的∠2與IC處的∠2相等。所以，∠A′C′B′=∠IC。類似地，∠B′A′C′=∠IA，∠C′B′A′=∠IB。所以，△A′B′C′與△IAIBIC相似。下面求相似比OIC : OC′。

由反演關(guān)系，得

OA·OA′=OB·OB′=OC·OC′=r2      (2)

在△IAIBIC中，三條垂線被垂心分成線段之間有下面關(guān)系：

OIA·OA=OIB·OB=OIC·OC=m（定值）  (3)

所以，(2)÷(3)，得

OA′:OIA=OB′:OIB=OC′:OIC=r2/m（定值）

這就是相似比。變動反演圓半徑使其等于(√m)，則上面比值為1，從而△A′B′C′與旁心△IAIBIC全等。

⑦ 接第⑥條的情況。反演極隨便方置時，△ABC的反演是由三段圓弧圍成的圖形，沒有什么特別之處。但若反演極正好是△ABC的內(nèi)心，則這段圓弧所在的圓是相同大小的。這點(diǎn)可以從圖中∠A′C′O=∠A′B′O=∠1得出。更是因?yàn)?span>AB、BC和CA三條邊所在直線關(guān)于反演極O的反演是過反演極的圓，而AB、BC和CA三條邊到反演極(內(nèi)心)的距離相等，從而反演像——三個圓弧(下圖中褐色)所在圓當(dāng)然大小相等。類似地，當(dāng)反演極位于旁心時，由于旁心到三角形ABC三邊距離也是相等的，所以，反演像(下圖中粉色)所在圓當(dāng)然也就大小相等。

⑧ 使三角形A′B′C′與任意三角形DEF相似甚至全等。怎么做？

上圖中，反演極O是任意的。但第③條中已得出結(jié)論∠AOB=∠C+∠C′。若在AB上作一條圓弧AUB，使∠AUB=∠C+∠F，則在弧AUB上任取一點(diǎn)作為反演極，都可以使得△A′B′C′的∠C′=∠F。同理在BC上存在一條圓弧BVC，使∠BVC=∠A+∠D，則在弧BVC上任取一點(diǎn)作為反演極，都可以使得△A′B′C′的∠A′=∠D。于是兩條弧的交點(diǎn)就是所求的反演極。這時的△A′B′C′與△DEF相似。

那么怎么實(shí)際畫出圓孤AUB=∠C+∠F呢？觀察上圖。若∠AUB是鈍(銳)角，則圓弧的圓心O?與圓弧位于弦AB的兩(同)側(cè)。以位于兩側(cè)為例。這時，∠BAO?=∠C+∠F - 90°。所以，找到了作圓弧的方法：在AB外側(cè)作以AB為底的等腰三角形AO?B，使兩個底角都為∠C+∠F - 90°。那么以等腰三角形頂點(diǎn)為圓心，以腰為半徑，便可作出弧AUB。同理作出弧BVC。設(shè)兩圓弧交于點(diǎn)O。以點(diǎn)O為反演極，得到的△A′B′C′就一定與△ABC相似。再適當(dāng)調(diào)整反演冪或反演半徑，就可以最終使得△A′B′C′與△ABC全等。

可以如下調(diào)整反演冪。因?yàn)?br>

所以

又因?yàn)?要使)

所以

再由

得到反演冪為

于是，便可以精確做到使△A′B′C′與△ABC全等。