你最好學(xué)學(xué)微積分，它是神的語言——理查德·費曼

我們身處的物理世界是一個不斷變化的系統(tǒng)，牛頓、萊布尼茲窺見到了這一點，因此在前人的工作基礎(chǔ)上系統(tǒng)性的提出了微積分。微積分是一種對變化做定量描述的語言，從微積分里得到的微分方程不同于初等代數(shù)方程，它強(qiáng)調(diào)對事物從變化（一階導(dǎo)）以及變化的推力（二階導(dǎo)）的角度揣摩與端詳。這個角度對游戲數(shù)學(xué)建模，或說數(shù)值策劃的工作大有裨益。我預(yù)備在本文里展示不論戰(zhàn)斗或經(jīng)濟(jì)，其工程數(shù)學(xué)的方法論主要是微分方程的，而且對任意游戲類型有效。就不同游戲類型而言，微分方程的形式不一定相同，但它告訴我們從變化和變化的推力角度看待問題是多么的簡潔、有效、統(tǒng)一。為達(dá)到這個目的，我對自己提出了如下要求：

1）風(fēng)格方面的，延續(xù)《游戲數(shù)學(xué)建模工程手冊》的工程數(shù)學(xué)闡釋方式，從而免去不專業(yè)的爭論。

2）實踐方面的，用微分方程假想建模兩個截然不同的游戲類型：魔獸世界（WOW）和皇室戰(zhàn)爭（CR）。這兩張模擬建模表可以在巴比倫人的數(shù)值策劃Q群下載：813299364。

我之所以選擇這兩個游戲類型是因為：

1）對WOW的，微分方程告訴我們，武器、技能本質(zhì)上是同一個東西。忽略公共CD時，瞬發(fā)技能和雙持武器完全等價，一個職業(yè)的瞬發(fā)技能數(shù)量越多相當(dāng)于持有和同時可發(fā)起攻擊的武器數(shù)量變多。

2）對WOW的，任意倆倆職業(yè)平衡在微分方程角度不過是改變了積分區(qū)域，這個積分區(qū)域是時間。

3）對CR的，圣水費用是離散的，即便對離散建模，微分方程仍然有效。

4）對CR的，卡牌克制、賺費（指比對手節(jié)約的圣水費用）是不平衡的另一種稱呼，微分方程告訴了我們?nèi)绾纹胶?，那么我們就可以量化和控制不平衡的程度，或說如何互相克制。

5）對CR的，累積傷害量是時間和圣水費用的二元函數(shù)，微分方程角度將自然而然導(dǎo)出偏微分方程和高階導(dǎo)數(shù)的現(xiàn)實意義。

6）WOW和CR是2個截然不同的游戲類型，微分方程的視角建模仍然暢通無阻，體現(xiàn)了不論怎樣的游戲類型都不會妨礙使用微分方程。

基礎(chǔ)推導(dǎo)

傳統(tǒng)或說前微分方程的游戲數(shù)學(xué)建模往往思考的是：“我該在這個系統(tǒng)模塊投放多少屬性、產(chǎn)出值？對某個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，我如何拼湊出初等代數(shù)方程？”現(xiàn)在，我們要放棄這種思考方式，而是問：“我該在這個系統(tǒng)模塊投放多少屬性、產(chǎn)出的一階導(dǎo)？當(dāng)轉(zhuǎn)化為屬性值時，一階導(dǎo)對誰積分？對某個系統(tǒng)的規(guī)則進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時，各個影響來源如何用變化的推力（一階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)）、推力的貢獻(xiàn)（二階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)）來看待？”

改變后的思考方式讓我們立即回憶起一個廣為人知的一階導(dǎo)：每秒傷害。每秒傷害顯然是累積傷害量或總傷害量關(guān)于時間的一階導(dǎo)。接下來，必須有一個單位承受這個每秒傷害，否則它毫無意義。這個單位承受時付出的代價是生命，生命損失既然來自每秒傷害，于是損失也和時間有關(guān)，即：

H為剩余生命值，dH是生命的每秒損失，D為總傷害量，dD即每秒傷害。整理為：

這便給出了本文的第一個微分方程模型，它告訴我們，戰(zhàn)斗如果是平衡的，那么我的剩余生命流逝速度要等于你總傷害的累積速度，用積分形式表達(dá)就是：

t為戰(zhàn)斗時間。戰(zhàn)斗平衡的積分形式給了我們一個提示：如果戰(zhàn)斗平衡，則必然雙方的積分區(qū)域t是相同的。t的取值范圍顯然大于0小于無窮，這說明你再去和另一個角色戰(zhàn)斗，這個角色有著不同的剩余生命和每秒傷害，只要改變t的取值且相等，那么仍然是平衡的。也就是滿足如下微分方程：

α表示角色a的傷害偏移系數(shù)，它線性的縮放dD，β表示b單位的傷害偏移系數(shù)。也就是說只需要知道a和b角色的傷害偏移，就知道雙方的戰(zhàn)斗時間縮放到了沒有任何偏移時的t的多少倍。原因是：

我們有：

于是：

上述推導(dǎo)過程隱含了一個假設(shè)：

即總傷害量的一階導(dǎo)是一個常數(shù)。這是個不過分的假設(shè)，它滿足工程師原則，也就是面對復(fù)雜系統(tǒng)時優(yōu)先選擇線性。

上圖為WOW的模擬建模，我已將需要注意的單元格加粗標(biāo)紅。最小最大容忍秒是說，既然倆倆職業(yè)任意平衡改變的不過是積分區(qū)域，那么職業(yè)之間的戰(zhàn)斗時間不要太小也不要太大，太小了玩家沒操作幾下、沒打出幾次技能就結(jié)束，太大了枯燥乏味。傷害微元即隱含的那個假設(shè)，每秒傷害是一個常數(shù)。

但是，職業(yè)們的傷害能力和生命來源自多個模塊，如自身等級、武器與裝備。在WOW里，武器和裝備并不是每個職業(yè)單獨有的，如皮甲是獵人、盜賊與德魯伊共同使用，所以皮甲提供的傷害能力、生命應(yīng)該取這3個職業(yè)的哪一個偏移值？不論取哪一個，另2個職業(yè)必然沒有得到職業(yè)平衡要求的正確偏移。很容易想到，這2個職業(yè)的實際偏移是每個模塊的偏移與模塊占總值的比例，即加權(quán)平均：

i表示一個具體職業(yè)，向量a的每個分量表示某個模塊的傷害或生命偏移值，向量w的每個分量表示某個模塊給的傷害或生命占總模塊的比例。

在武器上，德魯伊、術(shù)士、牧師都使用法杖，武器戰(zhàn)士與圣騎士均使用雙手劍；在裝備上，德魯伊、獵人、盜賊都穿戴皮甲，武器戰(zhàn)士與圣騎士則穿戴鎖甲。為最小化偏移誤差，武器與裝備的偏移模塊可取這些職業(yè)偏移值的中位數(shù)，中位數(shù)在統(tǒng)計建模里是穩(wěn)健的，均值容易受離群值影響是不穩(wěn)健的。

武器與技能

一個職業(yè)為讓每秒傷害打出去必須具備攻擊行為。在WOW里，這些行為有：赤手空拳、武器、技能。有這么多攻擊行為且與每秒傷害有關(guān)，自然引出了一個問題：這些攻擊行為是在同一時間發(fā)生的嗎？如果同一時間發(fā)生，則每秒傷害顯然的線性疊加，否則只生效其中一個。對武器而言，攻速影響它何時生效，但對技能而言分為若干情況：

1）這個技能需要施法時間（術(shù)士的暗影箭）、引導(dǎo)時間（法師的奧術(shù)飛彈），則每秒傷害唯一的來自該技能，因為施法與引導(dǎo)時不可使用武器或其他技能。

2）這個技能生效時機(jī)是下一次普通攻擊時（德魯伊的重毆），即將產(chǎn)生的每秒傷害唯一的來自該技能，武器的普通攻擊行為與傷害被阻止。

3）這個技能有CD且瞬發(fā)傷害（薩滿的烈焰震擊），該技能的施放時間趨近于0，在極限上可視為不影響武器或其他技能。

4）這個技能沒有CD且瞬發(fā)，但傷害是延遲的（牧師的暗言術(shù)：痛），則該技能相當(dāng)于自動按時間間隔傷害敵人，與武器的自動攻擊等價。但是這個技能擅長對付多個敵人，因為它憑空創(chuàng)造出多把自動攻擊的武器。

5）這個技能沒有CD、瞬發(fā)、需引導(dǎo)但傷害是延遲的（法師的暴風(fēng)雪），則等同于第1種情況。

所以，針對上述不同情況，我們只需要將技能的每秒傷害加上被阻止的攻擊行為的每秒傷害，對瞬發(fā)技能則減去不被阻止的攻擊行為的每秒傷害，然后除以瞬發(fā)傷害技能的總數(shù)。

公共CD影響打出下一個技能的間隔，如果技能提前取消，公共CD會立即取消。公共CD的存在避免了玩家?guī)缀跬粫r間連續(xù)打出多個瞬發(fā)傷害技能，這會影響瞬發(fā)技能的每秒傷害，瞬發(fā)技能的實際每秒傷害將是：

因為n個瞬發(fā)技能，有n-1次公共CD將這些技能隔開，于是這些技能的每秒傷害有n-1次公共CD的時間損失。

皇室戰(zhàn)爭的偏微分方程模型

現(xiàn)在我們進(jìn)入皇室戰(zhàn)爭的模擬建模討論，很快發(fā)現(xiàn)我們面臨如下問題：

1）圣水費用越高，卡牌必須越強(qiáng)，但不能等價。意思是2個1費的不能和1個2費的一樣強(qiáng)，而是必須比2個1費的強(qiáng)，否則誰還使用高費卡呢？

2）卡牌之間有克制關(guān)系、賺費概念。

謹(jǐn)記微分方程的思考范式：“從變化、變化與更多的變化考慮問題”。先清晰我們的目標(biāo)：圣水費用越多，卡牌的什么越強(qiáng)？一個合理的回答是：每秒傷害越強(qiáng)。那么，什么叫越強(qiáng)？是圣水費用對每秒傷害這個一階導(dǎo)存在著正向推力，數(shù)學(xué)描述為：

也就是每秒傷害關(guān)于圣水費用W的變化率。這自然的引入了變量W，自然的導(dǎo)出了一個偏微分方程，其正式書寫格式為：

這稱二階混合偏導(dǎo)數(shù)，這個表達(dá)式很符合我們的定性描述：“圣水費用越多，卡牌的每秒傷害越強(qiáng)”。因為二階混合偏導(dǎo)數(shù)其幾何意義是t不再繼續(xù)變動，僅考察W方向上的t對總傷害量的貢獻(xiàn)情況。從另一個角度也可以明白為什么必須是一個二階混合偏導(dǎo)數(shù)，我們已經(jīng)假設(shè)每秒傷害是常數(shù)，于是每秒傷害關(guān)于t不再有高階導(dǎo)存在，或說高階導(dǎo)為0，所以我們想要影響每秒傷害只能引入其他變量，這必然使得總傷害量是一個與時間t、圣水費用W有關(guān)的二元函數(shù)D（t，W）。

“圣水費用越多，卡牌的每秒傷害越強(qiáng)”這個定性描述不夠精細(xì)，確切的說：

1）圣水費用增多，總是增多每秒傷害，不會逆轉(zhuǎn)也不會在一個閾值后恒為0。

2）但增多的量不能太劇烈，哪怕與牛頓的加速度公式一樣是個與時間有關(guān)的線性微分方程都不可取，因為肯定導(dǎo)致指數(shù)級增長。在物理世界里，速度有光速做上限，在游戲里可沒有。

所以什么叫“不能太劇烈”？對微積分而言不就是在說這個嗎？

結(jié)合不能是線性增長，立刻想到函數(shù)表達(dá)式為：

W越大，在極限上趨于0。一次積分：

已知t的高階導(dǎo)都是0，所以f（t）為0。再次積分：

C為積分常數(shù)。不過我們最好有個用于正比的參數(shù)：

即每秒傷害的變化與圣水費用的對數(shù)值成正比。最終，每秒傷害在不同費用時的計算公式為：

如圖所示，其中α根據(jù)最大圣水費用的每秒傷害限制求得。圖中的出現(xiàn)“克制關(guān)系”就是不平衡，即某個職業(yè)、某類卡牌類型比別的職業(yè)、卡牌類型更強(qiáng)。對于刻意制造的不平衡，需分情況討論：

WOW的職業(yè)克制、CR的克制建筑，只能引入新的屬性類型，否則不可能循環(huán)克制，因為數(shù)字的大小關(guān)系是傳遞性的。因此WOW有護(hù)甲（不對法術(shù)傷害生效）、CR有對建筑殺傷。這類克制關(guān)系容易做，只需要新屬性線性影響每秒傷害即可——這體現(xiàn)在圖中多單位對建筑殺傷系數(shù)小于1，單個單位對建筑殺傷系數(shù)等于1。

2）dH dt = -dD dt的微分方程模型已經(jīng)告訴我們，任意倆倆單位平衡只改變了積分區(qū)域t，但t必須相等。所以不平衡就可以讓t有一個差額從而不相等，不相等時，要么伱的dD、H放大，要么他的H、dD縮小。

上圖中，在平衡破壞里我選擇了僅偏移傷害，也可選擇生命傷害一起偏移，偏移相乘后的值仍等于1.4即可?！百嵸M”的概念在同樣的基礎(chǔ)上被計算出，1張5費的卡比5/4張4費的卡花費了相同的5個圣水，但1張5費卡仍然比5/4張4費卡強(qiáng)1.8倍，則5費單位還擁有44.4%的生命，由1-1/1.8=0.444算出（計算原理請翻閱《游戲數(shù)學(xué)建模工程手冊》），于是5費的卡還有44%的費用剩余，即0.444*5=2.22。

隱含假設(shè)存在的問題及微分方程改進(jìn)

前文明確指出每秒傷害為常數(shù)是一個隱含的假設(shè)，意思是，我們在有意無意的持有這個假設(shè)，這表現(xiàn)在這些情況中：

1）計算標(biāo)準(zhǔn)時長時，我們用生命除以每秒傷害。

2）在考慮武器攻速越慢，每次傷害越高時，我們用攻速乘以每秒傷害。

3）在考慮一個技能施法時間過長，CD過長時，我們用這個時間乘以每秒傷害。

4）在某些文章里，讓生命乘以傷害能力，計算所謂的能力函數(shù)、戰(zhàn)斗力時。

上述一切操作都隱含了一階導(dǎo)為常數(shù)的假設(shè)。然而這個假設(shè)是有適用范圍的，如果武器攻速、技能CD、施法時間、持續(xù)掉血的持續(xù)時間對于標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗時間（尤其是最小容忍秒）占比不算高時，它是沒有問題的，當(dāng)占比較高時，則會一次性造成對方50%-80%的生命損失。想象下，標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)斗時間也就5秒，可卻有3秒攻速的雙手斧，當(dāng)雙手斧砍下去，豈不是第一次就造成3/5=60%對方的生命損失？技能CD、施法時間同理。這對每秒傷害的改進(jìn)提出了如下要求：

1）攻速、CD、持續(xù)掉血技能的持續(xù)時間占戰(zhàn)斗時間比例較低時，每秒傷害是一個常數(shù)

2）當(dāng)占比較高時，分情況討論：

——如果是武器和瞬發(fā)技能，那么占比越高，則每秒傷害下降。因為瞬發(fā)更有優(yōu)勢，提前享受到打出去的傷害進(jìn)而立即獲益。

——如果技能需要施法時間、引導(dǎo)時間，那么占比越高，每秒傷害上升。因為它可能被打斷、目標(biāo)超出距離而被浪費掉，對人性來說，也希望延后越久才造成的傷害，給予更多的“利息”。

——如果是瞬發(fā)技能但按時間間隔造成傷害（暗言術(shù)：痛），那么占比越高，則每秒傷害下降。因為它憑空創(chuàng)造出多個自動攻擊的武器，讓多個敵人承受這些傷害，角色的其他攻擊行為幾乎不被影響。

微分方程的思維再次幫助了我們，時間越長，每秒傷害越高/越低，說明對t的二階導(dǎo)存在：

對于占比低時為常數(shù)，高時每秒傷害下降的規(guī)律，我給出的二階微分方程為：

對于占比高時每秒傷害上升的規(guī)律：

其中C是常數(shù)下的每秒傷害，γ為速率調(diào)節(jié)參數(shù)，它們的圖像如下：

即一開始非常貼近1之后下降或上升。雙曲函數(shù)的優(yōu)良形式、圖像如此的符合游戲數(shù)學(xué)建模的需要是多么讓人驚訝的事情，我在《微分方程在游戲經(jīng)濟(jì)建模的應(yīng)用》里也使用到了雙曲正切函數(shù)。

應(yīng)用該模型需先定量定義什么叫時間占比太高、太低，我對此的定義是：希望攻速、CD、施法時間在3.5秒時恰好幾乎等于每秒常數(shù)，從3.5秒之后變化。理論計算如下圖。

可以看到4秒開始，雙曲正割只有98%的每秒傷害，時間很大時，如滿打滿算25秒，只有59%的每秒傷害，也就是一個25秒CD的瞬發(fā)技能或武器，它一次性造成對方59%生命的損失。比對最開始的WOW模擬建模里的技能計算結(jié)果到底有多好，如下圖所示。

改進(jìn)后的長CD的神圣烈焰被明顯削弱，比之更長持續(xù)時間掉血的鎖喉則壓縮得更加厲害，施法時間太長的暗影箭則被補償了傷害，改進(jìn)后微分方程模型計算結(jié)果顯然比改進(jìn)前更為合理。

結(jié)語

正如《微積分的力量》一書里所說：“微積分?jǐn)U展了我們描述這個世界的能力”。這個能力就是賦予我們并強(qiáng)調(diào)從事物的變化、推動力的角度看待問題，然后用微分方程的形式寫出它們，再積分逆運算找到描述事物的函數(shù)表達(dá)式。許多人未能領(lǐng)會微積分的威力與強(qiáng)大，因為他們很少主動的從變化的角度看待問題，更不用說從更高階的變化看待問題了，希望本文能夠為游戲數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)性工程數(shù)學(xué)方法做出微不足道的貢獻(xiàn)，給予許許多多數(shù)值策劃工作者一絲螢火蟲的光亮。