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圓錐曲線切點(diǎn)弦一個(gè)三點(diǎn)黑龍江哈爾濱王翰飛老師在高中數(shù)學(xué)解題交流二群提出了如下問(wèn)題：由圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線分別與圓交于C,D兩點(diǎn)，過(guò)C,D兩點(diǎn)作圓的兩條切線相交于Q，判斷Q,A,B三點(diǎn)是否共線。很快幾何專(zhuān)家李啟印和解題高手楊俊老師分別給出了如下解法。因?yàn)镻A與圓相切于點(diǎn)A,所以AP⊥AO,設(shè)PO交AB于點(diǎn)M,則AM⊥OP，由射影定理得PA2=PM·PO,又由切割線定理得PA2=PC·PD,由雙割線定理的逆定理知C,M,O,D四點(diǎn)共圓，又由切線性質(zhì)知∠OCQ=∠ODQ=90°,故C,O,D,Q四點(diǎn)共圓,則C,M,O,D,Q五點(diǎn)共圓，得∠OMQ=∠ODQ=90°，則∠OMQ=∠OMA=90°,所以M,A,Q三點(diǎn)共線，而A,M,B三點(diǎn)共線，解法2：用切點(diǎn)弦方程 廣東深圳 楊俊 提供不妨設(shè)圓的方程為x2 y2=1,設(shè)P(a,b）,Q(c,d),則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為ax by=1,切點(diǎn)弦CD所在直線方程為cx dy=1,又直線CD過(guò)點(diǎn)P(a,b）,所以有ac bd=1,所以點(diǎn)Q(c,d)在直線AB上,故Q,A,B三點(diǎn)共線。圓的這個(gè)切點(diǎn)弦性質(zhì)可以推廣到橢圓雙曲線，因此，有如下性質(zhì)：推廣1：由有心二次曲線外一點(diǎn)P作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線分別與曲線交于C,D兩點(diǎn)，過(guò)C,D兩點(diǎn)作曲線的兩條切線相交于Q則Q,A,B三點(diǎn)共線。證明：設(shè)有心曲線的方程為ax2 by2=1(ab≠0,a,b不都小于0),設(shè)P(m,n）,Q(c,d),則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為amx bny=1,切點(diǎn)弦CD所在直線方程為acx bdy=1,又直線CD過(guò)點(diǎn)P(a,b），所以有amc bnd=1,所以點(diǎn)Q(c,d)在直線AB上,故Q,A,B三點(diǎn)共線。推廣2：由一點(diǎn)P作拋物的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線分別與拋物線交于C,D兩點(diǎn)，過(guò)C,D兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線相交于Q則Q,A,B三點(diǎn)共線。證明：設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則切點(diǎn)弦AB所在直線方程為by=p(x a),切點(diǎn)弦CD所在直線方程為dy=p(x c),又直線CD過(guò)點(diǎn)P(a,b),所以有db=p(a c),所以點(diǎn)Q(c,d)在直線AB上,故Q,A,B三點(diǎn)共線.綜上可得二次曲線的切點(diǎn)弦有如下三點(diǎn)共線的完美性質(zhì)：性質(zhì)：由一點(diǎn)P作二次曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線分別與曲線交于C,D兩點(diǎn)，過(guò)C,D兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線相交于Q則Q,A,B三點(diǎn)共線。性質(zhì)：已知AB,CD是二次曲線的兩條弦，曲線在A,B處的切線相交于點(diǎn)P，曲線在C,D處的切線相交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)P在直線CD上，則點(diǎn)Q在直線AB上。
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