本文內(nèi)容比較長，方法多樣，需要耐心花半個(gè)小時(shí)消化

【教學(xué)相長·萬法歸宗】

【題目】

（2018·廣東）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E．

（1）證明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；

（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長．

【答案】

解：（1）連接OC，在△OAD和△OCD中，

∵OA=OC，AD=CD，OD=OD，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO=∠CDO，

又AD=CD，∴DE⊥AC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC=AC/BC=2，

∴設(shè)BC=a、則AC=2a，

∴AD=AB=√(AC2+BC2)=√5a，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=1/2BC=1/2a，AE=CE=1/2AC=a，

在△AED中，DE=√(AD2-AE2)=2a，

在△AOD中，

AO2+AD2=（(√5a)/2）2+（√5a）2=25a2/4，

OD2=（OF+DF）2=（1/2a+2a）2=25a2/4，

∴AO2+AD2=OD2，

∴∠OAD=90°，

則DA與⊙O相切；

（3）

【方法一】（證△DEF∽△DBO）

由BC=1，AC=ED=2，得AD=CD=AB=√(AC22+BC2)=√5.

則AO=BO=1/2AB=√5/2.

由AB=AD，AB⊥AD，得△ABD是等腰直角三角形.則BD=√2AB=√10.

如圖4，連接AF，則AF⊥BD，則F是BD的中點(diǎn).

則FD=1/2BD=√10/2.則DF/DO=DE/DB=√10/5.

又∠EDF=∠BDO，則△DEF∽△DBO.

則EFBO=DEBD=√10/5.

則EF=√10/5BO=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：這是最常規(guī)的解法.

【方法二】（證△OEF∽△OFD）

如圖5，連接OF，

由解法1知OE=1/2，OF=√5/2，OD=5/2，FD=√10/2.

則OE/OF=OF/OD=√5/5.

又∠EOF=∠FOD，則△OEF∽△OFD.

則EF/FD=OE/OF.則EF=OE/OF·FD=√5/5·√10/2=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：與解法1有異曲同工之妙.

【方法三】（證三角形全等）

如圖6，分別延長EF與BC，其交點(diǎn)記為G.

由解法1知EC=1，DE=2，F是BD的中點(diǎn).易得△EFD≌△GFB.

則CG=BG-BC=ED-BC=2-1=1.則△ECG是等腰直角三角形.則EF=12EG=√22.點(diǎn)評(píng)：構(gòu)思巧妙，運(yùn)算量也不大.也可以連接并延長CF與DE交于點(diǎn)M，類似地證明△CEM是等腰直角三角形，可得EF=1/2CM=√2/2，參見圖7.

【方法四】（利用全等證等腰直角三角形）

如圖8，由解法1知△ABD是等腰直角三角形，

F是BD的中點(diǎn)，AF=BF=DF，AE=BC=1.

又∠CBF=∠EAF，

則△CBF≌△EAF.則CF=EF，∠EFA=∠CFB.

則∠EFC=∠CFB+∠EFB=∠AFE+∠EFB=∠AFB=90°.

由勾股定理易得EF=√22/.

點(diǎn)評(píng)：也可以用∠ABF=45°證明∠EFC=90°.

具體如下：由∠ABF=45°，弧AF=弧AF，

得∠ACF=∠ABF=45°.

又CF=EF，則∠FEC=∠FCE=45°.則∠EFC=90°.

【方法五】（利用弦切角求CF）

如圖8，AF與DE的交點(diǎn)記為K.

在△AEK和△DFK中，∠AKE=∠DKF，∠AEK=∠KFD=90°，則∠EAK=∠KDF.

又由解法1知FD=AF，ED=AC，則△CAF≌△EDF.則EF=CF.

易知CD是⊙O的切線.則∠FCD=∠CBD（弦切角定理）.

又∠FDC=∠CDB，則△FDC∽△CDB.則CF/BC=CD/BD.

由解法1知CD=√5，BD=√10.

則CF=CDBD·BC=√5/√10·1=√2/2.

則EF=CF=√2/2.

【方法六】（證△ABC∽△OFM）

如圖9，過點(diǎn)F作FM⊥OD，垂足為M，連接AF、OF.

OF是△ABD的中位線，則OF//AD.

又AB⊥AD，則AB⊥OF.

由∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，得∠1=∠3.

又∠ACB=∠OMF，則△ACB∽△OMF.則AB/OF=AC/OM=BC/MF.

結(jié)合解法1，可得√5/(√5/2)=2/OM=1/MF.

則OM=1，MF=1/2.

則EM=OM-OE=1/2.

則EF=√(EM22+FM2)2=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：注意到AO=FO，可得△AOE≌△OFM，也能求EF的長.解法4~解法6揭示了圖中三組關(guān)鍵的全等三角形.本解法也可以不證全等，不證相似，直接設(shè)OM=x，則MD=5/2-x，利用OF22-OM22=MF22=DF22-MD22，列方程(√5/2)2-x2=(√10/2)2-(5/2-x)2求EF的長.

【方法七】（證兩次相似）由解法1知EC=1，ED=2，FD=√10/2.

易得△BCH∽△DEH，相似比為1∶2，則HC=1/3EC=1/3.

則BH=√(BC22+CH2)=√10/3.

如圖10，過F作FM⊥MD.易得△MFD∽△CHB.

則HC/MF=BC/MD=BH/FD，即(1/3)/MF=1/MD=(√10/3)/(√10/2).

則MF=1/2，MD=3/2.則ME=2-3/2=1/2.

則EF=√(ME2+MF2)=√22.

【方法八】（構(gòu)造矩形）

如圖11，過點(diǎn)D作DP⊥BC與BC的延長線交于點(diǎn)P，

過點(diǎn)F作FM⊥OD，垂足為M，MF的延長線與BP交于點(diǎn)N.

易知四邊形ECPD、四邊形ECNM、四邊形MNPD都是矩形.

由解法1知ED=2.則BP=BC+CP=BC+ED=1+2=3.

由解法1知F是BD的中點(diǎn)，則FN是△BPD的中位線.

則FN=1/2PD=1/2EC=1/2.

則FM=1/2.

由N是BP的中點(diǎn)，得BN=1/2BP=3/2.

則EM=CN=BN-BC=3/2-1=1/2.

由△EMF是等腰直角三角形，得EF=√(EM2+FM2)=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：也有的過點(diǎn)B作BP⊥OD，同理可以求EF的值，參見圖12

【方法九】（平行線分線段成比例定理）

如圖13，過F作FM//ED交AC于M.易知MF⊥EC，BC//FM//ED.

由F是BD的中點(diǎn)，得M是EC的中點(diǎn).

則EM=CM=1/2EC=1/2.

由∠FCA=∠FBA=45°，得∠MFC=45°.則MF=MC=1/2.

則EF=√(EM22+FM2)=√2/2.

【方法十】（面積法）

如圖14，過E作EQ⊥BD，垂足為Q，連接BE、AF.

由解法1知BD=√10，F是BD的中點(diǎn)，

BF=DF=√10/2，DE=2.

由S_△BED=1/2DE·EC=1/2×2×1=1，

S_△BED=1/2BD·EQ=1/2×√10×EQ，

得EQ=√10/5.

DQ=√(ED2-EQ2)=3√10/5.

QF=QD-FD=3√10/5-√10/2=√10/10.

EF=√(EQ22+FQ2)=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造普通的直角三角形求EF.另外一種類似的方法是：連接AF，過E作EM⊥AF，垂足為M.△AHF的三邊較易求得，AE=1，△AHF∽△AEM，可得EM、AM、FM的長，于是EF=√(EM22+FM2)=√2、2.參見圖15.

【方法十一】（構(gòu)造中位線）如圖16，連接BE、AF，

過點(diǎn)B作BM⊥BE，與DE的延長線交于點(diǎn)M，

連接BM.

易得△BCE是等腰直角三角形，

則BM=BE=√(BC22+EC2)=√2.由△BEM是等腰直角三角形，

得EM=√(BM22+BE2)=2=DE.

則EF是△BDM的中位線.

則EF=1/2MB=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：解法11是眾多解法中，思路最簡潔、運(yùn)算量最少的一種方法.也可以連接并延長BE至M，使得EM=EB，連接MD，類似地證明，參見圖17.

【方法十二】（建立平面直角坐標(biāo)系）

如圖18，以O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

易知點(diǎn)B(-1/2，-1)、D(5/2，0).

則直線BD的解析式為y=1/3x-5/6.

⊙O的方程為：x22+y2=r2=(√5/2)2=5/4.

聯(lián)立方程，得點(diǎn)F(1，-1/2).

又點(diǎn)E(1/2，0)，

則EF=√2/2.

點(diǎn)評(píng)：也可以先證F是BD的中點(diǎn)，用中點(diǎn)公式求得F點(diǎn)的坐標(biāo).

 【總結(jié)】

上述第（3）問的12種解法顯示EF的長度可以通過這樣幾種方法求得：（1）構(gòu)造相似三角形；

（2）構(gòu)造等腰直角三角形；

（3）構(gòu)造普通直角三角形；

（4）構(gòu)造中位線；

（5）解析幾何的方法.

所有的解法是不是感覺眼花繚亂呢，這些都是出自學(xué)生之手.

正所謂教學(xué)相長，學(xué)生也是老師學(xué)習(xí)的對(duì)象.

三人行必有我?guī)熝?