色散定義為光頻率或傳播模式對(duì)介質(zhì)中相速度存在影響的效應(yīng)。當(dāng)光束通過(guò)介質(zhì)時(shí)，不同頻率的光波在介質(zhì)中將具有不同的折射率或傳播速度。這將使得通過(guò)介質(zhì)的各光波在空間上發(fā)生分離，在時(shí)間上變得不同步，即對(duì)入射光波在空域和時(shí)域上的分布產(chǎn)生影響。

一種材料在全波段下的色散曲線

三棱鏡色散

在真空中，不同光波都具有相同的速度c，但在介質(zhì)中，光波的傳播速度和介質(zhì)折射率相關(guān)，在不考慮其他非線性光學(xué)效應(yīng)的同時(shí)，色散效應(yīng)在時(shí)域上主要表現(xiàn)為不同頻率光速度的延遲或光脈沖的展寬。不同頻率光速度上的差異導(dǎo)致了波包的擴(kuò)散或彌散，如下面所示：

色散導(dǎo)致光脈沖的展寬

色散分為正常色散和反常色散，正常色散中高頻波比低頻波傳播速度慢，正反常色散中高頻波比低頻波傳播速度快。

相速度是波上相位固定的一點(diǎn)的傳播速度,即等相位面的移動(dòng)速度，它不傳遞信息，波可以用一個(gè)正弦或余弦函數(shù)描述：

      也就是說(shuō)t₀到t₁時(shí)間段內(nèi)，該點(diǎn)由z₀位置傳輸?shù)搅藌₁位置，則其傳播速度為：

等振幅面的傳播速度稱(chēng)為波包的群速度，可以通過(guò)計(jì)算包絡(luò)振幅最大處（即波包中心處）的傳播速度得到，波包的群速度代表了能量或信號(hào)的傳遞速度，群速度是關(guān)于一族頻率相近的波的傳播速度。假定沿同一方向傳播的頻率不同的兩束波為：

頻率不同的兩束波的疊加

其傳播方向?yàn)閦軸，振幅為1，λ₁、λ₂與δ₁、δ₂分別為兩束波的波長(zhǎng)及初始相位，兩列波的波數(shù)為：

k₁=2π/λ₁，k₂=2π/λ₂

式中

疊加之后場(chǎng)的波動(dòng)如圖中的藍(lán)色實(shí)線所示，它表示了某瞬間沿z軸的振幅分布，藍(lán)色虛線是藍(lán)色實(shí)線波動(dòng)的包絡(luò)曲線。因此，疊加后的波動(dòng)呈現(xiàn)出二重周期振動(dòng)。其中快波（藍(lán)色實(shí)線）的周期是兩束波周期的平均值，當(dāng)該兩束波周期相差較小時(shí)，快波與原波有大致相同的周期；而慢波（藍(lán)色虛線）變化的頻率是原波頻率之差。如果考察快波（藍(lán)色實(shí)線）振幅為恒定的某一點(diǎn)：

      那么該點(diǎn)的傳播速度為：

      因此它的移動(dòng)速度為：

當(dāng)光波在色散介質(zhì)中傳播時(shí)，由于頻率不同，其傳播速度也不同，其合成波的波形在傳播過(guò)程中不斷地產(chǎn)生微小變形，此時(shí)很難確切定義合成波的速度。不過(guò)，當(dāng)ω₁≈ω₂，且ω＞＞Δω時(shí)，可以認(rèn)為合成波的波形變化緩慢，因而仍可用調(diào)制包絡(luò)的移動(dòng)速度來(lái)定義群速度。

      同時(shí)，群速和相速之間的關(guān)系還可以由以下方式推得，因：

對(duì)ω取微商：

或

即

折射率n=c/v，把c/v_g定義為“群速折射率”n_g，并用真空波長(zhǎng)λ=2πc/ω代替ω作自變量，于是ωdn/dω=-λdn/dλ，則上式可改寫(xiě)為：

高頻載波以藍(lán)色顯示，低頻包絡(luò)以紅色顯示。紅色和藍(lán)色線條分別以群速度和相速度移動(dòng)

以下是用desmos數(shù)學(xué)軟件繪制的疊加波傳輸示意圖：

1、無(wú)色散（dn/dλ=0）時(shí)

從下圖可以看出，疊加波中，包絡(luò)前進(jìn)的速度（群速度）與包絡(luò)下高頻波前進(jìn)的速度（相速度）相同。 y₁和y₂傳播速度相等（都等于ω/k=2），群速度和相速度也相等，實(shí)際上，只有真空才屬于這種情況。

2、正常色散（dn/dλ＜0）時(shí)

從下圖可以看出，疊加波中，包絡(luò)前進(jìn)的速度（群速度）比包絡(luò)下高頻波前進(jìn)的速度（相速度）要小。y₁和y₂傳播速度不同，群速度和相速度不相等。

3、反常色散（dn/dλ＞0）時(shí)

從下圖可以看出，疊加波中，包絡(luò)前進(jìn)的速度（群速度）比包絡(luò)下高頻波前進(jìn)的速度（相速度）要大。y₁和y₂傳播速度不同，群速度和相速度不相等。

不同頻率的光在同一介質(zhì)中的折射率是不一樣的，于是不同頻率的光的相速度也不一樣，這就是相速度色散。當(dāng)Δω很小時(shí)（二階導(dǎo)數(shù)d²ω/dk²近似等于0，即忽略了群速度色散），此時(shí)介質(zhì)中的合成包絡(luò)可以認(rèn)為沒(méi)有發(fā)生變化。而當(dāng)Δω較大時(shí)（d²ω/dk²等高階導(dǎo)數(shù)不可忽略時(shí)/傳播常數(shù)不均勻低隨頻率變化），則合成包絡(luò)的形狀會(huì)快速發(fā)生變化，這就是群速度色散。相速度色散是色散的一階效應(yīng)，而群速度色散是色散的二階效應(yīng)。

 以上僅以?xún)蓚€(gè)頻率為例討論相速和群速，而現(xiàn)實(shí)中的光束都具有一定的頻譜寬度，所以對(duì)于頻率連續(xù)變化的許多波的疊加，設(shè)其振幅為A(k)，則疊加后的結(jié)果為：

      設(shè)中心頻率為ω₀，相應(yīng)的波數(shù)為k₀，令：

k-k₀=δk

如果以ω₀為中心把ω展開(kāi)為δk的級(jí)數(shù)，則

      上式中下角標(biāo)“0”表示ω=ω₀時(shí)的值，而v_g具有速度量綱。假如Δk較?。ㄕ瓗В?，振幅A(k)變化緩慢，此時(shí)我們只可取上式中的前兩項(xiàng)，則表示該波群的群速表達(dá)式為：

窄帶下ω和k的近似線性關(guān)系

當(dāng)不能忽略展開(kāi)式中的高次項(xiàng)時(shí)（在ω(k)展開(kāi)式中計(jì)及二階及以上小量），波包的形狀將隨時(shí)間而快速擴(kuò)散，這時(shí)就必須考慮高次項(xiàng)對(duì)群速帶來(lái)的影響。

只有在色散很小的介質(zhì)中傳播時(shí)，群速度才可以視為一個(gè)波群的傳播速度。如果Δω較大（寬帶），不同頻率的群速度將不一致，則得不到穩(wěn)定的波群，復(fù)色波群速度的概念也就沒(méi)有意義。

寬帶下ω和k的非線性關(guān)系

光波示意圖（紅色點(diǎn)為波前速度，綠點(diǎn)為群速度，藍(lán)點(diǎn)為相速度）

在折射率隨波長(zhǎng)變化的色散介質(zhì)中，有一定光譜寬度的波，其相速與群速是不同的量。群速度是波包的傳播速度（振幅最大點(diǎn)的移動(dòng)速度），而波動(dòng)攜帶的能量與振幅平方成正比，所以群速度就是光能量或光信號(hào)的傳播速度，這就意味著它能夠傳遞信息，通常實(shí)驗(yàn)中測(cè)量到的光脈沖的傳播速度就是群速度，而不是相速度。

      下圖為相速度和群速度大小的相對(duì)關(guān)系:

相速度和群速度大小的相對(duì)關(guān)系|https://resource.isvr./spcg/tutorial/tutorial/Tutorial_files/Web-further-dispersive.htm

Phase velocity = Group Velocity：如果所有不同的波長(zhǎng)具有完全相同的相速度，則包絡(luò)可以保持恒定，即群速度等于相速度；

Phase velocity = -Group Velocity：包絡(luò)與分量波的運(yùn)動(dòng)方向相反；

Phase velocity > Group Velocity：分量波比包絡(luò)移動(dòng)的快；

Phase velocity < Group Velocity：分量波比包絡(luò)移動(dòng)的慢；

Group Velocity = 0：當(dāng)分量波通過(guò)包絡(luò)時(shí)，包絡(luò)是靜止的；

Phase velocity = 0：只有包絡(luò)在靜止分量波上移動(dòng)。

要實(shí)現(xiàn)信號(hào)傳遞，必須對(duì)波進(jìn)行振幅或頻率的調(diào)制，這就涉及到不止一個(gè)頻率的波所組成的波群，因此用群速度來(lái)表示信號(hào)速度時(shí)，可以認(rèn)為群速度只在真空或在物質(zhì)正常色散的情況下是有意義的。這時(shí)因?yàn)槲毡容^小，一個(gè)波群（波列）在一定距離內(nèi)的傳播不會(huì)發(fā)生顯著的衰減，這樣，信號(hào)傳播才有意義。對(duì)于反常色散情況，由于波的能量被物質(zhì)強(qiáng)烈吸收，波迅速衰減，波群不能傳播。此時(shí)群速度就不在具有物理意義，不能用來(lái)表示信號(hào)速度。

以上就是本期的全部?jī)?nèi)容。下期我們介紹與色散相關(guān)的群延時(shí)（GD）、群速度色散（GVD）、群延時(shí)色散（GDD）等概念。

參考資料：

1、https://electroagenda. com/en/ group-velocity- mathematical-proof/

2、https://www.rp-photonics. com /group_velocity.html

3、趙凱華. 光學(xué)新概念物理教程. 高等教育出版社, 2004.

4、盧亞雄. 激光束傳輸與變換技術(shù). 電子科技大學(xué)出版社, 1999

5、郁道銀. 工程光學(xué). 機(jī)械工業(yè)出版社, 2015.