這里有一堆數(shù)學，但這是一個大問題。簡而言之，它展示了一些非常重要的東西——光是一種電磁波。
好吧，讓我們開始吧。
麥克斯韋方程組
我將簡要回顧一下麥克斯韋方程組。真的，你花了整整一個學期的物理課程才達到這一點——但我們只是打算在一篇博文中做到這一點。
如果您需要麥克斯韋方程的“電梯間距”——它們是顯示電場和磁場性質(zhì)的四個方程。這包括字段的“形狀”以及如何創(chuàng)建它們。哦，我將從麥克斯韋方程組的積分版本開始，然后我們可以討論微分版本。
高斯定律
這是您在入門物理課程中看到的版本。
等式的左邊是閉合曲面上的電通量。通量基本上是垂直于在整個表面上積分的表面的電場分量。在這個方程中，圓的積分意味著它是一個表面積上的“封閉”積分（我們知道它是一個表面積分，因為 dA（面積元素）。最后，n-hat 是單位向量法線（垂直）到該地區(qū)。
右側(cè)是該表面所包圍的體積內(nèi)的總（凈）電荷。常量 (ε-0) 的值通常寫為：
但這條定律真正說的是電荷產(chǎn)生電場。這些電場遠離正電荷指向負電荷。
由正電荷和負電荷引起的電場。
高斯磁性定律
這個有點奇怪——只是真名是說它像高斯定律，但又不像。是為了磁場?？雌饋硐襁@樣。
這表示閉合曲面上的磁通量為零。對此的另一種解釋是表面內(nèi)部的凈“磁”電荷為零。對于任何表面都是如此——或者說沒有單獨的磁荷可能更容易。沒有磁單極子。好吧，冷靜點。有可能確實存在磁單極子。如果我們找到了一些，那么我們就可以改變這個等式。
法拉第定律
是的，你可以用電荷制造電場（見高斯定律），但正如尤達所說，盧克天行者是他們最后的希望：
不，還有一個。
產(chǎn)生電場的另一種方法是改變磁通量。
這個等式的左邊很瘋狂。它表示電場的閉合線積分不為零（但請記住，電場是保守的，因此應該為零）。右側(cè)是受同一彎曲路徑限制的區(qū)域上的磁通量（對于電場積分）。
因此，我們可以將電場分為兩組（我使用的是我最喜歡的物理教科書中的術(shù)語——物質(zhì)和相互作用）。第一個是電荷引起的“庫侖”場。這些是與高斯定律相關(guān)的字段。第二種場（來自法拉第定律）可以稱為“卷曲”場，因為閉環(huán)上的路徑積分不為零。
這是一張照片。
哦，讓我指出一些關(guān)于法拉第定律的事情。
- 請注意，磁通量（右側(cè)）沒有閉合積分。它不是封閉曲面，而是受曲線約束。
- 那個負號呢？這有點復雜（它在微分形式下效果更好）。基本上，它給出了卷曲字段的方向（讓我們就此打住）。
- 是的，有一個時間導數(shù)。卷曲場取決于磁通量的時間變化率。
安培麥克斯韋定律
只是一個方程式。我將首先展示方程式。
簡而言之，這表示有兩種方法可以產(chǎn)生卷曲磁場。首先，您可以使用電流 (I_in) 創(chuàng)建卷曲 B 場。其次，你可以用變化的電通量制造一個卷曲的 B 場?；旧?，除了兩件事之外，這與法拉第定律是一樣的：
- 它在磁場而不是電場（等式的左側(cè)）和電通量而不是磁通量（右側(cè)）上有一個路徑積分。
- 還有一個額外的項——常數(shù)乘以 I_in。這是通過路徑積分曲線所限定的表面積的電流。
這里的常數(shù)是：
此外，如果我們有磁單極子，法拉第定律也會有一個看起來像電流的術(shù)語——然后我們可以創(chuàng)建一個帶有單極子電流（移動的單極子）的卷曲電場。
我認為我們已經(jīng)為微分形式做好了準備。
麥克斯韋方程組的微分形式
不，我們還沒有完成。還有很多事情要做。我將再次從高斯定律開始。讓我定義一個新事物——電荷密度 (ρ)。這是每單位體積的費用。這意味著，如果我占據(jù)一些空間并對這個體積的電荷密度進行積分，我將得到該體積內(nèi)的總電荷。
提醒一下——這確實是一個 VOLUME 積分，因為 dV 就在積分中。我的意思是，它可能應該是三重積分，但我們在這里都很成熟。正確的？這可以。
接下來，我需要使用散度定理。這表示如果你有一些矢量場 (F)，那么我們可以在表面積積分和體積積分之間建立關(guān)系。
同樣，左邊是面積積分，右邊是體積積分。但是那個 ? 運算符呢（我稱之為“Del”運算符）。在笛卡爾坐標中，此運算符如下所示：
我們可以用電荷密度的定義和散度定理來改寫高斯定律。首先，用體積積分代替里面的電荷。
現(xiàn)在我可以使用散度定理將表面積分變?yōu)轶w積積分。
由于我在同一個空間上有兩個體積積分，積分中的東西必須相同。就是這樣。
這是對實際體積進行積分的高斯定律（這很有用）。
高斯磁性定律呢？我的意思是，我真的需要復習完整的推導嗎？如果沒有磁單極子，則磁荷密度為零。這給出了以下內(nèi)容。
對于法拉第定律，我們需要另一個工具——斯托克斯定理。這表示對于某些矢量場，我可以在面積分和線積分之間建立關(guān)系。
在左邊，我們有一個路徑積分。在右邊，有卷曲。旋度是 Del 算子和矢量場 (F) 之間的叉積。之后，您可以通過正常方式找到通量。
如果我們想將其與法拉第定律一起使用，我們需要對該時間導數(shù)做一些處理。好吧，由于磁通量僅取決于空間，我們可以將該導數(shù)帶入積分中——但當你這樣做時，它就變成了偏導數(shù)?，F(xiàn)在我們有這個：
現(xiàn)在讓我們使用斯托克定理將線積分轉(zhuǎn)換為面積分。
就像以前一樣，因為我們有兩個面積積分，所以里面的東西一定是一樣的。
對于安培-麥克斯韋定律，我們需要一些新東西——電流密度。通過電流密度（j，單位為安培每平方米），我們可以得到通過某個區(qū)域的總電流：
讓我們再次使用斯托克定理來改變磁場的線積分以獲得面積積分。
接下來，讓我們看一下安培-麥克斯韋方程的右側(cè)，將電流 (I_in) 替換為電流密度的表面積積分。讓我們也將導數(shù)帶入積分。
這兩個面積積分都在同一面積上，因此我可以將它們組合在一起?，F(xiàn)在引入斯托克的部分給出：
同樣，積分中的內(nèi)容必須相同。讓我繼續(xù)將所有四個方程式放在一起。
這就像復仇者聯(lián)盟，只是他們只有四個人，而且他們沒有超級英雄的服裝。
波動方程
假設(shè)我有一根繩子，然后我以垂直于繩子的運動搖動它的一端。這會導致位移，但位移也會沿著弦的長度向下移動。這就是它的樣子。
請注意，這是 y 與 x 的關(guān)系圖，但它也會隨時間變化。因此，y（位移）的值取決于您看的位置（x 值）和時間（t 值）。y、x 和 t 之間的關(guān)系稱為波動方程?？雌饋硐襁@樣。
是的，v 是波速——脈沖沿著琴弦移動的速度。如果您想了解如何推導此波動方程。
需要明確的是，這表示某個函數(shù) (y) 相對于時間的第二部分等于速度乘以相對于 x 的第二部分。但是你不必有一個物理波——你可以將它用于其他函數(shù)的波而不是空間 (y)。一般來說，這個波動方程可以適用于任何函數(shù)——我們稱它為 f。
可是等等！對于某些矢量場（矢量 F），此波動方程也適用于 3 維。在那種情況下，它看起來像這樣：
在這里，Del2 被稱為拉普拉斯算子——它在笛卡爾坐標系中還算不錯。
現(xiàn)在想象一些空間區(qū)域，其中沒有自由電荷（因此 ρ 等于零）并且沒有電流（因此 j = 0）。在這種情況下，我們可以將麥克斯韋方程組改寫為：
接下來，讓我們從法拉第定律開始，取兩邊的旋度：
現(xiàn)在看右邊。我們有 B 相對于 t 的部分——但這只涉及時間。卷曲有 Del 只處理空間。由于兩個操作員彼此沒有任何關(guān)系，我可以調(diào)換順序。
B 的旋度可以用安培-麥克斯韋定律代替：
接下來我們需要一個矢量標識。對于某些矢量場 (F)，F(xiàn) 的旋度等于：
將它與 E 的卷曲一起使用，我得到：
使用高斯定律和電荷密度為零的事實，Del dot E 也為零。我還可以將兩邊都乘以負 1，得到：
嗯。你好？這就是電場的波動方程。哦，但是等等！這也意味著我知道波速。
好的，現(xiàn)在是最酷的部分。讓我們輸入 μ_0 和 ε_0 的值。如果這樣做，您將獲得每秒 2.99 x 10? 米的波速。哦，看看那個。它與光速相同。好的。
好的，為了完整起見，我需要看看磁場是否也是一種波。是的，我們將做一些非常相似的事情。我將從安培-麥克斯韋方程（電流密度為零）開始，計算兩側(cè)的旋度。
對于這個等式的右邊，我可以使用法拉第定律從 E 切換到 B。
替換左側(cè)卷曲的卷曲：
沒有磁單極子（即使有——我們在真空中）使得 Del 點 B 為零。兩邊乘以負 1 和 BOOM。
也是波動方程。它還具有 c = 2.99 x 10? m/s 的波速。
