作者：??固態(tài)二氧化碳?? (主頁)
鏈接：[概率論]圖像里的'白噪聲'——電視機搜不到臺時雪花斑點的形成原因 (不信謠,不傳謠,與宇宙微波背景輻射沒有任何關系) - 固態(tài)二氧化碳的博客 - CSDN博客
來源：CSDN博客
發(fā)表時間：2019年11月05日 18:14:07
著作權歸作者所有。商業(yè)轉載請聯(lián)系作者獲得授權，非商業(yè)轉載請注明出處。

??最近剛剛上了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課,了解了一些概率方面的知識,正好聯(lián)想起了生活中的一個隨機噪聲問題,故寫一篇文章來探討一下這個問題。
??我們都知道在電視機搜不到臺時,會出現(xiàn)雜亂無章,看起來十分不舒服的灰色雪花斑點,而在收音機搜不到臺時,則會發(fā)出類似下大雨的噪聲。而它們在原理上其實是一樣的,都是由隨機信號產(chǎn)生出來的效果。在搜不到臺時,接收到的信號是雜亂無章的,類似于隨機變量,而這些信號數(shù)字化后就類似于隨機數(shù)序列。將隨機數(shù)序列解碼后,得到的聲音/圖像信息,正是類似下大雨的噪聲和灰色雪花斑點。前者又稱'白噪聲',它是包含了所有頻率信號的聲音,且在各個頻率處的功率譜密度均相等。我們知道,白光包含了所有頻率的可見光,在各個頻率處光功率相等,換句話說,白光就是由相等強度的所有顏色(頻率)的可見光混合而成的。而隨機噪聲的頻譜分布正好符合白光的特點,因此得名'白噪聲'。
??電視機的灰色雪花斑點,原理上和白噪聲是相同的,都是隨機信號產(chǎn)生的噪聲,所以這雪花斑點也屬于一種'白噪聲',不過這是圖像上的白噪聲,但為了簡化,在下文中我將其簡稱為'白噪聲'。
??(關于聲音中的白噪聲,由于我還沒有了解關于信號與聲音方面的知識,所以在這篇文章中我不會做相關介紹,不過我在以后的文章中還是會寫的)

辟謠時間:
??另外附上一個在網(wǎng)上流傳的比較常見的一種錯誤說法,就是說白噪聲和雪花背景來自于所謂的宇宙'微波背景輻射',其實這種說法完全是錯誤的,希望大家不要以訛傳訛。
??白噪聲和雪花背景的確是隨機信號輻射引起的,但來源肯定不是宇宙背景輻射。因為宇宙空間離地面相當遠,而本身微波背景輻射是非常微弱的,強度相當小,這些輻射經(jīng)過大氣層后會衰減很多,而且地球周圍其他信號的干擾會使得探測背景輻射愈發(fā)困難。在其他信號面前,這一點輻射可以說是九牛一毛,微不足道,完全可以忽略不計。所以'宇宙背景輻射說'是完全站不住腳的。
??這些信號真正的來源是電視機周圍空間中的混雜的其他干擾信號,以及電視機自身磁場產(chǎn)生的信號,這些充斥在電視機周圍的無序隨機信號才是導致白噪聲和雪花信號的形成的根本原因。在具體分析之前,我必須先澄清這一點。

??進入正題。電視機無臺時的灰色斑點是隨機的圖像信號,那么我們生成一個隨機的位圖文件,得到的就是這樣的圖案。現(xiàn)在我們用Winhex軟件生成一段隨機序列,并且放入BMP文件的數(shù)據(jù)段內。BMP文件由文件頭和數(shù)據(jù)段組成,文件頭包括圖像的長寬,色深等信息,數(shù)據(jù)段則記錄著每個像素的顏色。

??這是一個2048×1536的隨機圖像,文件頭表示圖像尺寸為2048×1536,數(shù)據(jù)段則為WinHEX生成的隨機序列,生成方法如下:

??生成效果如下:

??這就很像電視機無臺時的灰色斑點了。但是,這種灰色究竟是怎么樣的一種灰色呢?這里就需要用到概率論的知識了。
??我們都知道,電子圖像是用RGB表示的,用RGB三個通道的值,來表示RGB三種顏色的深淺程度。利用不同深淺的三種顏色,就可以合成出各種不同的'彩色'(這里的'彩色'實際上是利用了人眼不能區(qū)分同色異譜的光的特點,用三種顏色合成出的'彩色',達到欺騙人眼的目的,同時也節(jié)省了顯示器的成本。如果我們不這樣做,那么圖像就得像聲音一樣,需要使用不同頻率的光,進行振動波形描述來表示,這樣顯然增加了顯示器的硬件制造成本,同時也增加了圖像的存儲體積,造成了空間浪費,顯得很不經(jīng)濟劃算。所以我們能用RGB合成出各種色彩,其實只是利用了人眼視覺上的弱點,投機取了個巧罷了)。而雪花斑點本質上是隨機圖像,圖像中RGB三個通道的值均為隨機數(shù),所以RGB三個通道的地位其實是平等的,平均下來的值(數(shù)學期望)也是相等的,因此圖像會呈現(xiàn)出灰色。但是,這種灰色的灰度值到底是多少呢?下面我們就要進行計算。
??在進行計算之前,我們首先需要了解gamma值的概念。因為電腦圖像所存儲的灰度值與實際的亮度并不成正比,不能直接進行加和,否則會得到錯誤的結果。
??電腦圖像中所存儲的灰度值,有時又被稱為'亮度',實際上是心理亮度。比如說(127.5,127.5,127.5)的灰色,在心理感知上的亮度,是(255,255,255)的白色的一半。但是實際上的物理功率并非是一半,而是 ( 1 2 ) 2.2 ≈ 0.21763764 (\frac{1}{2})^{2.2}≈0.21763764 (21?)2.2≈0.21763764倍,這是怎么回事呢?
??原來,物理亮度由功率決定,與功率成正比,而人眼對亮度的感知與功率并不成正比,而是冪函數(shù)的關系,這個函數(shù)的指數(shù)我們通常稱作伽馬(gamma)值,符號為γ。如果我們把物理亮度(相對功率)記為 L p L_p Lp?,心理亮度(計算機圖像中存儲的值)記為 L L L,則有 L p = L γ L_p=L^γ Lp?=Lγ。對于人眼而言,這個伽馬值通常在1.8~2.6之間,而在絕大多數(shù)電腦上,這個值取的是2.2,所以我們有 L p = L 2.2 L_p=L^{2.2} Lp?=L2.2。
??而顏色的加和是物理亮度的相加,并非心理亮度,所以RGB顏色值不能直接相加,如果這樣做就是無意義的,會計算出錯誤的值。所以我們先要將RGB通道的值換算成物理亮度,然后再進行計算。但是最后計算得到的值又要換算成心理亮度,才能變成RGB通道的值,存儲在圖像中。因此實際上我們要進行兩步換算后才能得到最終的值。

??我們知道,隨機圖像的RGB三個通道的值均為隨機數(shù)。為了計算方便,我們先將其進行歸一化,換算成0~1之間的值,這樣RGB三個通道的值就都服從0~1區(qū)間上的均勻分布。由于RGB三個通道在這里的地位是平等的,所以我們只取其中的一個值進行分析,將其記為隨機變量 X X X,則 X ～ U ( 0 , 1 ) X\sim U(0,1) X～U(0,1)。
??將 X X X對應的物理亮度記為 Y Y Y,則 Y = X 2.2 Y=X^{2.2} Y=X2.2。
??我們看到的雪花斑點圖像的最終效果,其實是許多像素顏色值的平均值(數(shù)學期望),像素越多,偏差程度(方差)越小(大數(shù)定律),看起來灰色越均勻。前面我們說過,顏色的加和是按照物理亮度計算的,亮度的平均值,也就是單位面積上的亮度,是先將一定面積的像素亮度進行加和,再除以總面積。這個過程需要用到加法運算,所以我們只能對物理亮度進行這樣的運算,也就是求物理亮度 Y Y Y的數(shù)學期望 E ( Y ) E(Y) E(Y),然后再換算成計算機圖像里的灰度值。
??設隨機變量 X X X具有概率密度 f X ( x ) f_X(x) fX?(x), m < x < n m<x<n m<x<n,函數(shù) g ( x ) g(x) g(x)在 ( m , n ) (m,n) (m,n)可導且在 ( m , n ) (m,n) (m,n)恒有 g ′ ( x ) > 0 g'(x)>0 g′(x)>0(或 g ′ ( x ) < 0 g'(x)<0 g′(x)<0),則 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為
f Y ( y ) = { f X [ h ( y ) ] ∣ h ′ ( y ) ∣ ( α < y < β ) 0 ( 其 他 ) f_Y(y)=\left\{fX[h(y)]|h′(y)|(α<y<β)0(其他)

??其中 α = m i n [ g ( m ) , g ( n ) ] α=min[g(m),g(n)] α=min[g(m),g(n)], β = m a x [ g ( m ) , g ( n ) ] β=max[g(m),g(n)] β=max[g(m),g(n)], h ( y ) h(y) h(y)是 g ( x ) g(x) g(x)的反函數(shù)。

??在這里, Y = X 2.2 Y=X^{2.2} Y=X2.2, g ( x ) = x 2.2 g(x)=x^{2.2} g(x)=x2.2, h ( y ) = y 1 2.2 h(y)=y^{\frac{1}{2.2}} h(y)=y2.21?, h ′ ( y ) = 1 2.2 y ? 1.2 2.2 h'(y)=\frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}} h′(y)=2.21?y?2.21.2?。
??由于 X ～ U ( 0 , 1 ) X\sim U(0,1) X～U(0,1),故
f X ( x ) = { 1 ( 0 < x < 1 ) 0 ( 其 他 ) f_X(x)=\left\{1(0<x<1)0(其他)

?? Y Y Y的數(shù)學期望 E ( Y ) = ∫ 0 1 y ? 1 2.2 y ? 1.2 2.2 d y = ∫ 0 1 1 2.2 y 1 2.2 d y = [ 1 2.2 ? 2.2 3.2 y 3.2 2.2 ] 0 1 = [ 1 3.2 y 3.2 2.2 ] 0 1 = 1 3.2 E(Y)=\int_{0}^{1}y·\frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}}\mathrmk0g00o0y=\int_{0}^{1}\frac{1}{2.2}y^{\frac{1}{2.2}}\mathrmk6600gay=[\frac{1}{2.2}·\frac{2.2}{3.2}y^{\frac{3.2}{2.2}}]_0^1=[\frac{1}{3.2}y^{\frac{3.2}{2.2}}]_0^1=\frac{1}{3.2} E(Y)=∫01?y?2.21?y?2.21.2?dy=∫01?2.21?y2.21?dy=[2.21??3.22.2?y2.23.2?]01?=[3.21?y2.23.2?]01?=3.21?
??即物理亮度的平均值為 1 3.2 \frac{1}{3.2} 3.21?,換算成RGB通道值(歸一化)為 1 3.2 2.2 ≈ 0.58936776 \sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}≈0.58936776 2.23.21? ?≈0.58936776,則實際存儲RGB值為 255 1 3.2 2.2 ≈ 150.288778 255\sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}≈150.288778 2552.23.21? ?≈150.288778,四舍五入為 150 150 150。因此我們得出結論,電視機搜不到臺時灰色雪花斑點對應的灰色值為(150,150,150),即#969696。下面我們來對比一下雪花斑點圖像以及(150,150,150)灰色純色圖像,看看他們是否相近。

??兩者看上去已經(jīng)比較接近了,但是前面一幅圖更加雜亂。事實上在同樣大小的區(qū)域里,如果把前面一幅圖像素做得足夠多,密度足夠大,肉眼看上去就和后面一幅幾乎沒有區(qū)別了。原因是像素數(shù)增多,根據(jù)大數(shù)定律,其顏色的平均值的數(shù)學期望不變,而方差會減小,即整體偏離程度減小,整幅圖看起來就更加均勻,雜點占比更小,更接近于純色的灰色。