眾所周知，微積分是現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)。正是有了微積分之后，我們才有了研究萬(wàn)物變化的數(shù)學(xué)工具。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)代表位移的變化率，也就是速度;位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)代表速度的變化率，即加速度;等等。反過(guò)來(lái)，加速度對(duì)時(shí)間的一階積分是速度，二階積分是位移。

　　但是，不知你注意到了沒(méi)有：不論求導(dǎo)也好，積分也好，傳統(tǒng)的微積分都是整數(shù)階的，有沒(méi)有分?jǐn)?shù)階的呢?譬如，能不能對(duì)位移求1/2階導(dǎo)數(shù)呢?

　　事實(shí)上，早在300多年前就有人向微積分的發(fā)明人之一(另一位發(fā)明人是牛頓)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲請(qǐng)教過(guò)這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，可把這位數(shù)學(xué)大師問(wèn)啞了。是啊，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是什么意思呢?又該怎么去操作呢?這真是難以想象。

　　然而，今天，數(shù)學(xué)家對(duì)此問(wèn)題不僅給出了肯定的回答，還發(fā)展出一門(mén)在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛應(yīng)用的新的數(shù)學(xué)分支——分?jǐn)?shù)微積分。

　　如何對(duì)函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)?

　　我相信，當(dāng)你讀到這里，一定急于知道分?jǐn)?shù)階的微分和積分是如何操作的。讓我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的冪函數(shù)f'(x)=xⁿ，其中n為整數(shù)。

　　我們知道，對(duì)它進(jìn)行一階求導(dǎo)，有f'(x)=nx^n-1，對(duì)它進(jìn)行二階求導(dǎo)，有f''(x)=n(n-1)X^n-2，以此類推，對(duì)它進(jìn)行k階求導(dǎo)，有

　　其中n!=1×2×3×……×n。

　　為方便起見(jiàn)，我們定義一個(gè)Γ函數(shù)，Γ(m)=(m-1)!

　　這樣，上面式子可改寫(xiě)為

　　在傳統(tǒng)微積分中，k是整數(shù)，我們現(xiàn)在要把它推廣到分?jǐn)?shù)。但Γ函數(shù)中的自變量只能取整數(shù)，譬如Γ(1/2)是沒(méi)有意義的，為了讓?duì)：瘮?shù)在自變量為分?jǐn)?shù)的情況下也有意義，我們需要先將它進(jìn)行推廣，讓它在自變量為分?jǐn)?shù)時(shí)也有意義。

　如何推廣呢?我們注意到Γ函數(shù)有個(gè)特點(diǎn)，即

　　數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，有這樣的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，也滿足

這個(gè)條件。這個(gè)函數(shù)是以積分形式出現(xiàn)的：

　　你可能不太習(xí)慣這種形式的函數(shù)，但事實(shí)上，在這個(gè)積分中變量x被積分掉了，最后的結(jié)果只跟z有關(guān)，所以這是一個(gè)關(guān)于z的函數(shù)，其中z為任意大于零的實(shí)數(shù)。

　　于是，當(dāng)Γ函數(shù)的自變量為分?jǐn)?shù)時(shí)，只需代入上式，就可以計(jì)算出來(lái)結(jié)果。這樣一來(lái)，冪函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)也就可以計(jì)算了。

　　現(xiàn)在，讓我們來(lái)演示一下如何對(duì)f(x)=x進(jìn)行1/2階求導(dǎo)。這里，n=1，k=1/2。我們有

　　這就是對(duì)函數(shù)f(x)=x進(jìn)行1/2階求導(dǎo)的結(jié)果。

　　我們知道，連續(xù)兩次1/2階求導(dǎo)應(yīng)該等于一次一階求導(dǎo)。是不是這樣呢?我們不妨f(x)=x拿驗(yàn)證一下。大家知道，對(duì)它一階求導(dǎo)結(jié)果是1。你不妨對(duì)上式再進(jìn)行一次1/2階求導(dǎo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果確實(shí)是1。

　　因?yàn)槿魏芜B續(xù)函數(shù)原則上都能展開(kāi)成冪函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的形式，所以知道了如何對(duì)冪函數(shù)分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)，理論上你也就能對(duì)任何連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)。

　　揭示大自然更復(fù)雜的細(xì)節(jié)

　　知道了分?jǐn)?shù)微積分如何計(jì)算之后，想必你又要問(wèn)：分?jǐn)?shù)微積分代表什么意思呢?

　　這個(gè)問(wèn)題不好回答。整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)相對(duì)還比較直觀，譬如位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)是速度，位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)是加速度……但位移對(duì)時(shí)間的1/2階導(dǎo)數(shù)是什么意思，還真答不上來(lái)，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中并沒(méi)有一個(gè)直觀的對(duì)應(yīng)物。我們不妨只把分?jǐn)?shù)微積分當(dāng)作一項(xiàng)數(shù)學(xué)工具，是對(duì)傳統(tǒng)微積分的一個(gè)微調(diào)。

　　怎么理解后面這一點(diǎn)呢?

　　舉例來(lái)說(shuō)。你可以用一階微分來(lái)模擬粘性液體的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橐后w的粘性通常與運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。同樣，你也可以用二階微分來(lái)模擬有彈性的固體(比如彈簧)的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗鼈兊膹椥酝ǔＥc加速度有關(guān)。然而，自然界中還存在大量介于兩者之間的材料，比如我們身上的動(dòng)脈壁，它們既有點(diǎn)像粘性的液體，又有點(diǎn)像有彈性的固體。一階微分和二階微分都不適合給它們建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。這個(gè)時(shí)候，我們就要求助于分?jǐn)?shù)階的微積分了。

　　總之，我們使用數(shù)學(xué)是試圖捕捉和理解自然，但自然是復(fù)雜的，而分?jǐn)?shù)微積分能允許我們比傳統(tǒng)微積分更精確地揭示大自然的復(fù)雜細(xì)節(jié)。

　　目前，從研究癌細(xì)胞擴(kuò)散到藥物輸送，再到制造更高效的電池，分?jǐn)?shù)微積分已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用。