前言

量子力學及其詮釋歷來是很能引起人們爭論的話題，有些時候甚至只有后者——在不了解量子力學的情況下就對它的詮釋大抒己見，另一些人則對這樣的爭論不厭其煩，做起了“閉嘴計算”派。

幸運的是，世面上已經(jīng)有不少對于量子力學詮釋的介紹，在2022年的諾貝爾物理學獎頒給對量子糾纏的研究后更是掀起了一陣熱潮（就像所有三分鐘熱度一樣，也逐漸消退）。但不幸的是，這些介紹要么因為預備概念太少而無法實打?qū)嵉赜懻搯栴}，在讀者的印象中留下的幾乎只有比喻，要么因為預備概念太多又缺乏平緩的引導，在讀者的印象中只留下了“不明覺厲”的名詞的意義不明的組合。

在這篇文章中我將努力彌補理解的鴻溝——這也需要讀者，你，的耐心——這是一篇很長的文章，而且涉及到不少你可能沒聽說過的概念，一次讀不懂是很正常的！讀上兩三遍，動腦思考，還可以向我提問，我不能保證讓你“一次讀懂/XX分鐘看懂”，但我保證你投入的時間是值得的。

不求甚解和閉嘴計算這兩種態(tài)度都是不可取的，前者自不必說，對于后者，為什么在經(jīng)典力學的學習中強調(diào)物理圖像——實際上就是一種詮釋，而到量子力學的學習中卻要人閉嘴呢？根據(jù)我的經(jīng)驗，閉嘴是不可能做好計算的，不知道各種概念為什么要引入、不清楚自己到底在做什么的狀態(tài)除了積累無力感之外別無益處。誠然，計算對于理解是不可或缺的，許多人都是在積累了豐富的計算經(jīng)驗后才開始對量子力學產(chǎn)生理解。但影響是雙向的，把握詮釋有助于少走彎路，更高效地積累經(jīng)驗——學生不會因為講一點詮釋就被搞廢！概念混亂、思路不清的講述才會。

為什么要對量子力學進行詮釋？

要討論量子力學詮釋，我們當然要先理解為什么要詮釋，搞清楚量子力學說了什么，又沒說什么。

概括起來，量子力學是建立在四大基本假設的基礎上的。我們說滿足這些基本假設的系統(tǒng)就叫量子系統(tǒng)，具有量子性（quantumness）。

量子力學基本假設一：態(tài)疊加原理

第一條基本假設告訴我們，可以用態(tài)矢量（state vector）來描述量子系統(tǒng)的狀態(tài)（簡稱量子態(tài)），態(tài)矢量的集合稱為希爾伯特空間（Hilbert space）。

量子態(tài)的這種疊加是線性的，因而我們可以用一種矢量——態(tài)矢量來描述量子態(tài)，符號為

兩個態(tài)矢量疊加，得到一個新的態(tài)矢量：

一個著名的例子是薛定諤的貓態(tài)（Schr?dinger's cat state）:

其中和這兩個疊加權重是復數(shù)，即

你可能聽說過，這種復數(shù)系數(shù)的模長（絕對值）的平方表示概率，如表示貓活的概率。對此我們暫且按下不表，我需要提醒你注意的是模長并不是一切，還要注重相位（phase）。

相位的重要性根植于我們為什么要引入一種可以疊加的狀態(tài)。

1905年，愛因斯坦通過引入后來被稱為光子（photon）的概念成功解釋了光電效應的現(xiàn)象，在愛因斯坦的設想中，光存在著與能量與頻率有關的量份：

人們將這一觀點概括為光具有粒子性。

有兩點值得注意，一是這并沒有對光子的“形狀”提出任何要求，光子并不是點粒子。這里粒子性僅僅是指單一頻率的光的能量是一份一份的，就像搭積木一樣。

二是這并不意味著光的能量就是離散的。就像積木有不同的種類，光子也有不同的頻率，頻率是可以連續(xù)變化的。任何一束有限的光總是在頻率空間上以某個頻率為中心有一個寬度

從而光的能量實際上是這個區(qū)間上的平均值，包含多種光子。完美的單一頻率的光按照傅里葉變換將會充滿整個空間！

順帶一提，愛因斯坦和約當（Jordan）等人通過研究電磁場的統(tǒng)計力學解釋黑體輻射等問題的努力實際上開啟了量子場論，與很多人的印象不同，量子場論并不是等到量子力學成熟后才出現(xiàn)，而是和量子力學差不多同時誕生——只是量子場論更加晚熟。

光子的概念后來啟發(fā)德布羅意在1924年提出實物粒子的波動性的概念，即以電子為代表的粒子滿足德布羅意關系：

其中，稱為約化普朗克常量，之所以用它是因為人們后來發(fā)現(xiàn)幾乎總是和出現(xiàn)。相應地是圓頻率（把正弦波用復數(shù)表示后，在復平面上的角速度），和頻率的關系為。為波矢（圓），和波長的關系為。

人們將光子的概念和德布羅意關系一起總結(jié)為波粒二象性（wave-particle duality），在經(jīng)典力學中波和粒子（質(zhì)點）都有能量-動量（有些文章說能量-動量就代表粒子，是錯誤的），而頻率和波長卻是波獨有的——德布羅意關系將其推廣到了粒子上。我們后面會討論波粒二象性這一概念在今天應如何理解。

1926年，薛定諤提出了德布羅意波的非相對論性波動方程，薛定諤方程：

從對薛定諤方程的分析中發(fā)現(xiàn)了一種全新的波動形式，它的振動大小不隨時間或空間變化，但又不能認為它是常數(shù)——還是必須考慮其相位，可以稱為相位波，可以表示為復平面上的轉(zhuǎn)動。

在經(jīng)典力學中，人們可以把正（余）弦波表示為復數(shù)，但只是為了計算起來更加方便：

最后還是要轉(zhuǎn)換回正（余）弦波，畢竟，經(jīng)典波動的振動大小是處處不同的——這樣才像波！但到了量子的領域中，人們卻不得不面對純粹的復波動，如一個做一維運動，具有確定的動量的粒子，波函數(shù)為：

它的絕對值處處、永遠是！如圖所示，顏色代表相位：

薛定諤方程作為線性的波動方程，自然允許（粒子自己的）波函數(shù)線性疊加，疊加得到的仍然是滿足薛定諤方程的新的波函數(shù)。從數(shù)學上看，只要能線性疊加的就可能看成一種矢量——函數(shù)就是分量連續(xù)的矢量。

另一方面，人們在自旋這樣更加抽象的量子現(xiàn)象中也意識到了疊加性的存在，對此可以參考我對斯特恩-蓋拉赫實驗（Stern-Gerlach experiment）的介紹入門量子力學1.1：從斯特恩-蓋拉赫實驗說起，入門量子力學1.2：級聯(lián)SG實驗與量子疊加態(tài)。所以我們才引入了態(tài)疊加原理。

有鑒于此，對于復數(shù)的疊加系數(shù)，比起這種實部-虛部形式，我們最好寫成模長-輻角——或者現(xiàn)在該說模長-相位形式：

其中用到歐拉公式，對于一個復數(shù)而言，乘以就意味著在復平面上逆時針旋轉(zhuǎn)，幾何意義如圖所示：

楊振寧在2002年的國際理論物理大會上曾指出，二十世紀理論物理有三大主旋律：量子化、對稱性和相位（Thematic Melodies of Twenties Century Theoretical Physics: Quantization, Symmetry and Phase Factor）。這第一條基本假設就將量子化和相位聯(lián)系了起來。

量子力學基本假設二：力學量算符

單純地用矢量表示系統(tǒng)的狀態(tài)并不新奇，在經(jīng)典力學中我們可以用一對基本力學量——位置和動量的矢量完整地描述一個質(zhì)點的運動：

我們只需要建立坐標系，如用為坐標基矢的直角坐標系，讀出位置和動量矢量的分量即可得知質(zhì)點的狀態(tài)。

但是量子力學的態(tài)矢量的分量是復數(shù)，而且往往也不是三維的，希望把分量直接解釋為力學量是肯定會落空的。那我們該怎么從量子態(tài)中提取出力學量的信息呢？

量子態(tài)可以線性疊加——可以看成矢量這一點啟發(fā)人們求助于線性代數(shù)，具體地說是本征值問題。

原來，我們可以把矢量排成一列或者一行，表示為列向量或行向量，如：

進而可以把對矢量的線性變換表示為矩陣，如三維直角坐標系中繞軸旋轉(zhuǎn)對應的矩陣：

它的作用是這樣的：

可見，如果矢量只有分量，就不會被這個旋轉(zhuǎn)所改變，或者說，被旋轉(zhuǎn)作用后的效果是乘以。

我們稱只有分量的矢量為的本征值為的本征矢量。一般而言，如果一個線性變換作用到矢量上只是讓它放縮了常數(shù)倍，我們就說這個矢量是這個變換的本征值為的本征矢量：

到了量子力學中，我們更喜歡將線性變換稱為算符（線性），而將本征矢量稱為本征態(tài):

（用大寫字母表示算符，小寫字母表示值）我們可以將這種本征值-本征矢量關系解釋為從矢量中提取信息，于是可以寄希望于存在一些算符，能從態(tài)矢量中提取力學量的信息，這就是第二條基本假設：

厄米算符是什么？為什么要用這樣的算符？答案是有兩點好處：

1. 厄米算符的本征值是實數(shù)。
2. 厄米算符的不同本征值對應的本征態(tài)相互正交。

首先是第一點，在我們把量子理論搞得滿是復數(shù)的情況下，一個能保證總提取出實數(shù)的算符可以說是救星了。

為什么？實際上我們計量力學量可以概括為比大小，或者說求比值。如人們歷史上曾用人體的部位作為長度的單位，如說一個東西有幾頭高，這個幾頭就是讓待計量的東西和作為單位的頭做比，看能裝下幾個頭。而比較大小是實數(shù)才有的性質(zhì)！

第二點同樣重要，矢量相互正交（在歐氏空間中即垂直）意味著可以完全區(qū)分，既然量子態(tài)用態(tài)矢量來描述，兩個取值不同——具有不同的物理屬性的系統(tǒng)當然應該能完全區(qū)分，應該是正交的！

薛定諤方程中的就是一種厄米算符，它表示的是粒子的動能。薛定諤用他的方程正確地求出了氫原子的光譜，從那以后的無數(shù)實驗表明我們對用算符表示力學量寄予的希望沒有落空，第二條基本假設是成立的。

但另一方面，這條力學量算符假設也可以說是量子力學詮釋問題的萬惡之源：一個算符的本征態(tài)只是所有可能的態(tài)的一部分，那既然力學量算符只能在本征態(tài)上得到取值，那當系統(tǒng)處于非本征態(tài)，或者說疊加態(tài)時會怎么樣呢？

實際上，任何一個態(tài)總可以用力學量的本征態(tài)疊加出來：

其中為力學量的取值為的本征態(tài)。疊加系數(shù)唯一、完全地決定了這個態(tài)，改變系數(shù)就會變成別的態(tài)。

還可以用別的力學量，如的本征態(tài)去疊加出：

這里我們還應當指出一個重要的點，疊加態(tài)是相對而言的。線性變換，算符通常是不可交換的，我們稱為不對易，反映到矩陣上就是矩陣乘法沒有交換律：

不對易意味著一般沒有一組共同本征態(tài)。反證法，如果的任意本征態(tài)也是的本征態(tài)，本征值為，那么（算符和普通的數(shù)可以交換）

而這和矛盾！

這說明，不對易的力學量互不相容，它們不能同時確定，如位置和動量滿足著名的海森堡不確定性關系：

不確定性其實就是標準差！如對上面提到的波函數(shù)：

是在位置空間中完全彌散開來，但用傅里葉變換轉(zhuǎn)換到動量空間中則是一個無限窄的尖峰！粒子處于這樣的量子態(tài)時，動量完全確定——是動量本征態(tài)，而位置完全不確定——是位置疊加態(tài)。

疊加態(tài)是相對而言的，問一個量子態(tài)是不是疊加態(tài)必須先說明關心哪個力學量，問一個量子態(tài)到底是不是疊加態(tài)是沒有意義的。

這里有些海森堡的矩陣力學的味道，實際上，人們早已證明（最早是薛定諤證明）了波動力學和矩陣力學是等價的，可以納入同一個框架，不需要再做區(qū)分（量子力學的早期有人認為矩陣力學對應粒子，波動力學對應波，這是不正確的）。

量子力學基本假設三：薛定諤方程

有了態(tài)矢量和力學量算符，我們可以描述系統(tǒng)在某個時刻的情況了，現(xiàn)在我們想知道系統(tǒng)將來會如何，怎么辦呢？諾特定理告訴我們時間平移不變性對應的守恒量是能量（出于某種原因，物理學家更喜歡說哈密頓量）。反過來，我們也可以用能量來得到系統(tǒng)隨時間的演化。

上文給出的我們熟悉的那個版本的薛定諤方程就是把取為了非相對論的動能加勢能（換成相應算符）的形式：

如果我們不局限于這種形式，那么薛定諤方程就是普適的，無論是相對論性粒子的狄拉克方程——取為狄拉克哈密頓量：

還是進一步到量子場論中，系統(tǒng)的時間演化都可以歸結(jié)為上面給出的態(tài)矢量的薛定諤方程。

從對薛定諤方程的分析中人們發(fā)現(xiàn)了一個大問題，薛定諤方程會讓疊加態(tài)永遠是疊加態(tài)（相對于某個力學量）！

這實際上是態(tài)疊加原理的延續(xù)，兩個態(tài)先輸入薛定諤方程再疊加，和先疊加再輸入薛定諤方程，輸出都是一樣的，就像兩列水波互不干擾地穿過彼此一樣。

薛定諤方程并不能彌補力學量用算符表示捅出的窟窿。

量子力學基本假設四：測量投影

任選一個力學量，有很大一部分態(tài)是疊加態(tài)，在其上根本沒有取值可言，但是實驗上測量力學量卻總要輸出一個結(jié)果，怎么解決這個矛盾呢？

你可能聽說過，位置波函數(shù)的模方就是位置的概率密度：

其實，波函數(shù)就是用位置本征態(tài)去疊加出態(tài)時的疊加系數(shù)：

只是連續(xù)化了，求和變成積分，概率變成概率密度。

投影可以認為是瞬時發(fā)生的（在實驗的時間分辨能力還很弱的時候這一認定是合理的），它將一般的疊加態(tài)強行送入本征值-本征態(tài)關系，賦予了可觀測的值及其概率，這允許人們計算力學量在態(tài)上的期望值：

人們由此得出的預言經(jīng)受住了無數(shù)實驗的考驗，讓量子力學成為了史上最精確的理論體系之一。

一個常見的問題是，測量之后會怎么樣？答案是第三條基本假設，薛定諤方程，量子態(tài)只會經(jīng)歷兩種過程：1.按照薛定諤方程演化；2.投影。由于薛定諤方程是個微分方程，態(tài)的演化應該是連續(xù)的，如果演化時間較短，末態(tài)看起來和初態(tài)還是“很像”的。如測量力學量，得到，則系統(tǒng)的量子態(tài)投影到：

測量后時隔較短時間（什么叫較短？那就要看你的系統(tǒng)的演化有多快——粗略地說，能量有多大了）再次測量同一個力學量，那么系統(tǒng)“還幾乎就是”：

大概率還會測到，以短時間間隔持續(xù)測量會讓系統(tǒng)的量子態(tài)幾乎凍結(jié)，這稱為量子芝諾效應（quantum Zeno effect）。

這還提醒我們，不能把不確定性理解為測量的誤差，不確定性不是測不準！如果系統(tǒng)處于的本征態(tài)上，那么測量對系統(tǒng)沒有任何干擾！

但說到底什么是測量？這條假設并不是解決了問題，而是逃避了問題。它沒有談及測量的物理過程，而是當做一個黑箱，我們可以用玻恩定則預言與輸入相應的（概率性的）輸出。

上面都是從理論的角度來討論，從實驗的角度看，我們知道以光電倍增管（photomultiplier，PMT，其根植于光電效應）為代表的各種儀器——從粒子物理早期的威爾遜云室到今天高能加速器中的粒子徑跡探測器——表現(xiàn)得就像玻恩定則給出的黑箱一樣，于是我們可以在不完全清楚測量過程的情況下進行實驗。是實驗現(xiàn)象倒逼我們提出了測量投影假設以對接理論上的力學量算符和觀測值，在實驗室里可沒有算符！

在量子力學的現(xiàn)代發(fā)展做出了重要工作的Asher Peres（曾提出判斷任意量子態(tài)是否是糾纏態(tài)的Peres-Horodecki判據(jù)）在其所著教材《量子理論：概念與方法》（Quantum Theory: Concepts and Methods）中的一句話值得我們謹記：

量子現(xiàn)象不是發(fā)生在希爾伯特空間中，而是發(fā)生在實驗室里。

Quantum phenomena do not occur in a Hilbert space. They occur in a laboratory.

我們倒也并非對“玻恩黑箱”一無所知，實際上我們對各自探測器依賴的雪崩二極管（avalanche photodiode，APD）等有著半經(jīng)典（經(jīng)典力學-量子力學縫合）的理解，知道它們可以把具有量子性的信號放大為經(jīng)典信號（注意量子性不等于微觀，如引力波探測中使用的反射鏡雖然是宏觀的，但其運動也表現(xiàn)出量子效應），問題只是在于我們不清楚如何從量子力學的第一性原理出發(fā)理解這其中的量子-經(jīng)典轉(zhuǎn)變（quantum to classical transition）。

不要誤會，半經(jīng)典的理解是不可或缺，即便你是一個強硬的還原論者，也必須承認既然人類生來就“沐浴在經(jīng)典的陽光中”，那也就不得不先用頂層的模型作為工具來一點點挖掘底層。

現(xiàn)在我們抵達了量子力學詮釋問題的入手點。我們將緊緊圍繞上述四條基本假設構建的體系稱為標準量子力學，它是為了使用量子力學研究各種問題所必需的的最小硬核——一個毛坯房，對量子力學進行詮釋就意味著給這個毛坯房進行裝修。

具體例子：氫原子

化學上討論的原子殼層等對應著氫原子不同的能量本征值（在僅考慮庫倫作用時），電子軌道等則是考慮了角動量的進一步細分，波函數(shù)為：

當有兩個電子處于軌道，即電子構型為時，有

即，空間部分波函數(shù)直接相乘，而自旋部分處于一個糾纏態(tài)（不是直接相乘），稱為單重態(tài)（singlet），是一種總自旋為零的狀態(tài)——所謂“電子自旋反平行”的實際含義。這樣一個狀態(tài)整體是反對稱的，即交換序號會多出一個負號，這是兩個電子的全同性的要求。

注意只有粒子自己的波函數(shù)的不同分波才有相加，或者說干涉，兩個不同粒子的波函數(shù)沒法相加，數(shù)學上即不同矢量空間的矢量之間的加法沒有定義。從我們的視角看，在一些對雙縫干涉實驗的講解中強調(diào)粒子是“自己和自己干涉”反倒是一種畫蛇添足。兩個粒子整體看成一個復合系統(tǒng)后整體波函數(shù)的分波也可以有干涉，如

為一個電子處于基態(tài)而一個電子被激發(fā)到的狀態(tài)，全同性使得我們不能談論“哪一個電子被激發(fā)了”，帶來了空間部分波函數(shù)的反對稱化——一種干涉，而且是發(fā)生在六維空間中的干涉，這是經(jīng)典波動中前所未有的。

氫原子基態(tài)中電子既沒有確定的位置，也沒有確定的動量，但卻有完全確定的能量。尤其值得注意的是，基態(tài)的軌道角動量為零，無論如何不可能看成是在做行星軌道式運動，在經(jīng)典力學中，零角動量軌道意味著會一頭撞向中心：

這一簡單表達式忽略了電子之間的相互作用，只考慮原子核分別對電子的相互作用，否則空間部分也會變得很復雜。但是在很多時候這樣就足夠進行有用的分析了。更精細的分析還需要考慮原子核本身的運動、原子核的尺寸等，而不是簡單地把它當做一個固定的參考點，這些因素對原子光譜精細修正都隨著技術進步得到了實驗觀測——原子能級還被反過來當做測量質(zhì)子直徑的一種方法。

電子在不同軌道間的躍遷是怎么回事呢？實際上，對于一個封閉的原子——對任何封閉系統(tǒng)，能量本征態(tài)可以認為不隨時間變化，如果電子處于一個軌道上，那它永遠都處于那個軌道上。

為了產(chǎn)生躍遷，必須有外界的干擾。可以考慮電磁場對原子的小擾動，運用微擾論計算會知道，在出現(xiàn)擾動后，電子會處于不同軌道的疊加態(tài)，使得其有概率出現(xiàn)在不同于初始軌道的軌道上。

躍遷作為一種電子-電磁場耦合的物理過程，需要經(jīng)歷時間，實際上，人們的確實驗觀測到了躍遷過程，甚至能進行一定限度的調(diào)控：Minev, Z., Mundhada, S., Shankar, S. et al. To catch and reverse a quantum jump mid-flight. Nature 570, 200–204 (2019)。

只不過這作為一種開放系統(tǒng)的過程，已經(jīng)超出了只能處理封閉系統(tǒng)的標準量子力學的范圍——但我們總可以找到一個更大的封閉系統(tǒng)，使得原來考慮的開放系統(tǒng)是其一部分，再應用對封閉系統(tǒng)已經(jīng)成熟的方法進行研究，實際上人們也確實是這樣做的。

波粒二象性，粒子與場

標準量子力學

現(xiàn)在讓我履行承諾，說明標準量子力學對波粒二象性的看法。

首先讓我們討論像電子這樣的有質(zhì)量粒子。它們可以被賦予位置波函數(shù)，波動方程為薛定諤方程，模方則代表在處測到粒子的概率。

在量子力學的早期，一些人（如薛定諤本人）曾認為模方是一種物質(zhì)波（matter wave），它代表電子像某種流體一樣分布在空間中，隨時間推進而流動，可以說這是一種純波動觀點。但這一觀點存在一些嚴重的問題。

第一，電子在實驗上表現(xiàn)得具有局域性，如對一個自由電子，其波函數(shù)應該由很多具有確定動量的平面波（上面給出的那種波函數(shù)，改變其中的）疊加而成的波包：

其中為初始時刻粒子的動量波函數(shù)，根據(jù)玻恩定則，它的模方表示粒子初始時刻的動量概率密度。

這種波包的問題在于，其中各個平面波成分的相對相位需要精準地調(diào)節(jié)才能疊加出一個空間上局域的波包，但各個成分的能量-動量不一樣，進而在時間-空間上的演化趨勢不一樣，初始時精挑細選的相對相位很快就會亂掉，表現(xiàn)為波包擴散：

但在實驗上人們總是會測到一整個的電子而不是“電子流體”的一部分，這意味著這種波包在被測量時必須迅速收縮。

薛定諤為了克服波包擴散做出了諸多努力，最終（其實也在1926年）他在諧振子型勢能中發(fā)現(xiàn)了一種永不擴散的波包，稱為相干態(tài)（coherent state）：

相干態(tài)波函數(shù)如圖所示：

另外，當考慮多體時，波函數(shù)的空間變量就會超過三個，如對雙粒子系統(tǒng)：

是一個六維空間中的波動，對個粒子則為維，我們不再能將其直接想象為空間中的流體。

第二，電子的電荷分散在空間中會伴隨著一種不可忽略的相互作用——各部分同性相斥，這種相互作用會顯著地影響我們觀測到的電子的狀態(tài)，如影響氫原子光譜，但這種影響從未被觀測到過。

第三，在散射實驗中這種物質(zhì)波電子可以被打散，分裂為多個電子，這同樣沒被觀測到過。

實際上，玻恩正是通過對散射實驗的研究中得出了它的概率規(guī)則，將波函數(shù)的模方理解為一種概率波，而不是實體性的物質(zhì)波。波函數(shù)模方對立體角的積分就代表在一個立體角范圍內(nèi)探測到出射粒子的概率——在量子力學的早期發(fā)展中，人們并不直接測量粒子的位置，而是測量角分布！

當然，斯特恩-蓋拉赫實驗等實驗揭示的量子干涉效應（簡稱相干性，coherence）告訴我們復數(shù)的疊加系數(shù)是有物理意義的，不能直接使用波函數(shù)的模方、簡單地把量子力學當做某種概率力學，至少也是概率-相位力學。如只保留就會丟失系統(tǒng)動量的信息，可以說，相位編碼著不能同時確定的力學量。

人們在介紹量子干涉/相干性的時候通常都會以電子的雙縫干涉實驗為例，但實際上這種實驗直到20世紀60年代才真正出現(xiàn)，在此之前人們都說通過仍粒子射入晶格等手段來展開實驗——只在理論分析的時候用較為簡單的雙縫模型。

而標準量子力學對波動性、粒子性的看法是：

波函數(shù)不是在實際空間中的波動，而是在構型空間（configuration space，所謂構型就是系統(tǒng)的“模樣”）中的波動，只有最簡單的單粒子的波函數(shù)（只有三個空間變量）的情況，才能將構型空間和實際的空間等同起來，對于個粒子，構型空間為維。

而位置波函數(shù)只是波函數(shù)的一種——科普中往往只提及這一種，我們已經(jīng)說過，位置波函數(shù)無非就是態(tài)和位置本征態(tài)相應的疊加系數(shù)，換別的力學量的本征態(tài)去疊加，則還有動量波函數(shù)、能量波函數(shù)、角動量波函數(shù)等（模方對應動量、能量、角動量等的概率），這些波動就更加抽象了。

而粒子性則是與測量相對接的：

實際上，今天人們說波動強或粒子性強常常是指波長的大小，或波函數(shù)是局域的波包還是非局域的多波包疊加等，可以說，這都是在波函數(shù)框架下的討論。

量子場，波-粒子數(shù)二象性

盡管波粒二象性的提出就是受光子概念的啟發(fā)，但從現(xiàn)代的眼光看，光子這種無質(zhì)量的極端相對論性的粒子與我們從電子這樣的有質(zhì)量粒子那里獲得的印象有著巨大的不同。

對于光子的嚴格描述必須使用量子場論——量子場論繼承了我們提到的四條基本假設，因而并不改變我們要面對的問題。

你可能聽說過，量子場論認為粒子都是量子場的激發(fā)，電子、夸克……通通不例外，不同的粒子對應不同的量子場，激發(fā)出粒子就是量子場在“能級階梯”上爬高，這解釋了為什么粒子具有全同性——因為它們就是量子場的一份份激發(fā)！

對于電子，在低能時我們可以把它當做基本的對象來處理，對它應用量子力學——具體說來，當考慮的尺度遠大于電子的康普頓波長時（如果說德布羅意波長衡量了“在什么樣的尺度上能暴露出量子力學”，那康普頓波長就衡量了“在什么樣的尺度上能暴露出量子場論”）——歷史上稱之為“一次量子化”，而量子場論的處理稱為“二次量子化”。

但對于光子，不存在“一次量子化”描述！我們要么采用量子場論處理量子性的電磁場，要么使用麥克斯韋方程組處理經(jīng)典性的電磁場，沒有中間選項！

讓我們說得具體一些，量子化電磁場意味著不再使用經(jīng)典的場量

而是使用場算符——用量子態(tài)來描述電磁場的狀態(tài)，用場算符提取場值。

人們發(fā)現(xiàn)，就像量子力學中粒子的位置和動量不能同時確定一樣，量子場的場值（廣義位置）和場值的變化率（廣義動量）也不能同時確定。

這意味著，當你完全確定某一時刻的量子場在空間上的取值，你就完全不能確定它接下來會變成什么樣了！我們可以求場的量子態(tài)與某種場本征態(tài)（位置本征態(tài)的推廣）相應的疊加系數(shù)，這就是量子場的波函數(shù)：

這是

的推廣。就代表測到場的取值為的概率密度，鑒于的自變量不是一個數(shù)而是一個函數(shù)，應該稱其為場的波泛函（wave functional），場的波泛函是粒子的波函數(shù)的推廣——當然也就可以有廣義動量/場變化率的波泛函等。

還應當注意，盡管都是線性疊加，但這里是場的量子態(tài)的疊加，而不像經(jīng)典場論中那樣是場的取值的矢量疊加。

（【注】這只是一個示意，實際上人們并不直接使用電場強度和磁感應強度進行量子化，而是使用矢勢和標勢——考慮到相對論，最好說四維矢勢。）

盡管波泛函在概念上接近波函數(shù)——還遵循推廣了的薛定諤方程，但這種波動更加抽象而無法想象——最大的問題是難以計算，而且不是能量-動量本征態(tài)，不利于在量子場論的主要應用場景——粒子物理中使用，因而其在歷史上發(fā)展較為緩慢，直到很晚近的時期才重新得到關注。

人們更喜歡用另一種角度看待量子場論，也正是這個角度和粒子密切相關，即考慮場的能量——粒子數(shù)本征態(tài)。可以將場的量子態(tài)用粒子數(shù)本征態(tài)疊加出來：

其中最低的零粒子態(tài)稱為真空態(tài)。由于場算符和粒子數(shù)算符不對易，真空態(tài)是很多場本征態(tài)的疊加！系統(tǒng)處于真空態(tài)時仍有紛繁不確定的場，真空不空。

對于電磁場而言，還要考慮波矢和偏振，每種波矢和偏振都對應一套能級——一套光子數(shù)！

光子和電磁場是什么關系？如果這里的電磁場是指量子電磁場（場算符），那光子就是電磁場的激發(fā)態(tài)；如果這里的電磁場像通常所指的那樣指場值，那么答案是光子對應不確定的電磁場。

我們之前提到的薛定諤的相干態(tài)雖然并不能解決物質(zhì)波面臨的責難，但卻是個意外之喜，經(jīng)典的電磁場就可以視為是光子的相干態(tài)——將諧振子能級改為光子數(shù)。所以你問“電磁場中有多少光子？”，答案是不確定！電磁場處于多種光子數(shù)本征態(tài)的疊加中，有概率測到各種數(shù)量的光子。

由于電磁場是一種規(guī)范場（gauge field）——一種對應多種可能的（規(guī)范選擇）以及其它的理由，討論量子力學意義上的光子的波函數(shù)意義不大（依賴于人為的規(guī)范選擇、光子化學勢為零——光子數(shù)太容易變化等），所以我們無法像電子那樣直接討論波粒二象性。

但研究表明，量子場的相位也有一個對應的算符，它和粒子數(shù)算符不對易，可以說這是一種波-粒（子數(shù)）二象性：

綜上所述，波粒二象性是一個內(nèi)涵不夠明確的概念，在今天至多是量子力學框架的衍生物，而不應將其作為某種基本要素。

量子力學詮釋問題

現(xiàn)在我們終于可以開始討論量子力學的詮釋問題了，什么叫詮釋？詮釋就是把方程對應為物理過程，在經(jīng)典力學中由于方程本身直接涉及力學量，人們并不覺得有什么需要詮釋的（其實也有，如對問題中為了方便而選取的廣義位置和廣義動量到底對應什么的詮釋），但在量子力學中，力學量變成了算符，系統(tǒng)可以處于前所未見的疊加態(tài)，那就不得不進行詮釋了。

從我們引入的標準量子力學的體系來看，玻恩定則就是一種最小的詮釋，可以稱之為系綜詮釋（ensemble interpretation）：制備很多同樣初態(tài)的系統(tǒng)——組成一個系綜（ensemble）——對它們進行大量實驗（畢竟，因為測量投影你沒法對同一個系統(tǒng)重復實驗！），量子力學給出的可觀測量實際上是系綜平均值。于是保守地說，我們可以只滿足于把量子力學看做一個關于系綜的理論，而不是關于單個系統(tǒng)的理論。

但當你追問測量力學量時，系統(tǒng)是怎么從一個一般而言的疊加態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€本征態(tài)的，測量投影這個抽象的假設背后到底是什么樣的物理過程？那你就超出了最小詮釋，進入了量子測量問題。

也可能，投影從未發(fā)生？不同的“可能性”都平等地存在著？

還可以進一步質(zhì)疑：力學量是否必須要用算符表示？態(tài)矢量是否是對系統(tǒng)的完備描述？是否存在著底層的，具有確定的取值的量——隱變量（hidden variable）？

甚至我們可以超越量子力學的框架，引入外援來解決問題，如彭羅斯（Penrose）的引力坍縮理論。

實際上，在上面的討論中有一塊丟失的拼圖，那就是我們考慮的任何量子系統(tǒng)總是沉浸在環(huán)境中，必須被考慮為一個開放系統(tǒng)。

諸多發(fā)問的入手點帶來了多種多樣的量子力學詮釋，我無意也沒有能力將所有主要詮釋都一一加以說明，而是要鋪設一個討論環(huán)境，使我們能言之有物地而不是不求甚解或故弄玄虛地討論問題，沉迷于“恐怖的實驗”等噱頭。

在下半部分中，我們將從馮諾依曼的測量模型出發(fā)，引入退相干（decoherence）這一重要概念，清除圍繞著量子力學詮釋問題的迷霧，向你展示問題的關鍵所在。