將思考應(yīng)用于實(shí)際，用自己的力量去推導(dǎo)面積、體積，這才是積分的樂(lè)趣，也是學(xué)習(xí)積分的真正意義。

小學(xué)所學(xué)的圖形面積、體積的計(jì)算，實(shí)際上是與積分世界相連通的。積分并不是高中教材中突然半路殺出的“程咬金”，初等教育中相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)為邁入積分世界做了充分的熱身。

而對(duì)于微分，大部分人都感覺(jué)不是很熟悉。說(shuō)起微分，就會(huì)提到“切線斜率”“瞬時(shí)速度”“加速度”，這些內(nèi)容怎么理解都很難懂。這些東西我們無(wú)法直接用眼睛看到，很難直觀上去把握。

從歷史上來(lái)看，積分比微分要更早出現(xiàn)。

積分法的起源是“測(cè)量圖形的大小”。古時(shí)候圖形長(zhǎng)度、面積、體積的計(jì)算方法，通過(guò)口傳心授得以流傳，經(jīng)過(guò)歷代人的智慧的錘煉，進(jìn)而發(fā)展成為現(xiàn)在的積分法。

探尋積分法誕生的歷史，大致可以追溯到公元前1800年左右。公元前200年的阿基米德時(shí)代1，在計(jì)算拋物線和直線圍成的圖形面積問(wèn)題上，已經(jīng)出現(xiàn)了與現(xiàn)在積分法十分相似的“窮舉法”。積分的歷史，還真是悠久。

到了12世紀(jì)，印度的婆什迦羅二世提出了積分法的“前身”方法。進(jìn)入17世紀(jì)，牛頓綜合了微分法和積分法，嘗試從萬(wàn)有引力理論來(lái)推導(dǎo)天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

總之，從積分出現(xiàn)到微分誕生，至少有長(zhǎng)達(dá)1300年的間隔。

積分之所以會(huì)較早出現(xiàn)，是因?yàn)槿祟愋枰盐漳切┛梢?jiàn)的東西，例如計(jì)算物體的面積、體積等。

初等教育中的圖形計(jì)算，通常只針對(duì)長(zhǎng)方形、圓形等規(guī)規(guī)矩矩的圖形。而現(xiàn)實(shí)情況中，這些知識(shí)往往難以直接去應(yīng)用。

這是因?yàn)椋?/span>現(xiàn)實(shí)世界中存在的物質(zhì)，并非都是學(xué)校中學(xué)習(xí)的那些規(guī)則的形狀。相反，那些規(guī)則的形狀可以說(shuō)只是例外或理想化的情況。所以，對(duì)人類而言，測(cè)量現(xiàn)實(shí)情況中各種復(fù)雜圖形大小的技術(shù)非常必要。

日本小學(xué)的家政課會(huì)講授烏冬面、土豆塊兒等簡(jiǎn)易料理的烹飪方法。之所以特地在學(xué)校中講授這些內(nèi)容，是因?yàn)檫@些都是烹飪中的基礎(chǔ)方法。實(shí)際上我們自己做菜時(shí)，多會(huì)在商店中購(gòu)買成品的烏冬面，也基本不會(huì)頻繁烹制土豆塊。但是，如果掌握了這些基礎(chǔ)烹飪方法的話，就能夠烹制出更多復(fù)雜的菜品。例如，烏冬面的烹飪方法可以運(yùn)用到面包、比薩或者意大利面中，從土豆塊中學(xué)到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸餅中。

如果把在小學(xué)初中學(xué)的長(zhǎng)方形、圓形的知識(shí)比作烏冬面、土豆塊，那么微積分就相當(dāng)于面包、土豆沙拉等應(yīng)用性料理。多虧有了積分法，人類才能夠計(jì)算各種圖形的面積和體積。使用積分，無(wú)論是多么奇怪的形狀，只要下功夫就能夠計(jì)算出結(jié)果，這真是巨大的進(jìn)步。

將思考應(yīng)用于實(shí)際，用自己的力量去推導(dǎo)面積、體積，這才是積分的樂(lè)趣，也是學(xué)習(xí)積分的真正意義。

01

所有圖形都與長(zhǎng)方形相通

圖形的種類紛繁多樣，其中面積計(jì)算最為簡(jiǎn)單的就是“長(zhǎng)方形”了。

說(shuō)到這里，大家是不是想起了小學(xué)時(shí)初學(xué)面積計(jì)算的情景？在圖形面積計(jì)算中，三角形、平行四邊形、梯形、圓形等圖形都是放到長(zhǎng)方形之后學(xué)習(xí)。長(zhǎng)方形的面積僅用“長(zhǎng)×寬”就可以計(jì)算，可以說(shuō)是最簡(jiǎn)單、樸素的圖形。順便提一下，在數(shù)學(xué)世界中，正方形被看作是“一種特殊的長(zhǎng)方形”。

掌握長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法后，就可以將其應(yīng)用到三角形的面積計(jì)算中。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果不知道長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，也就無(wú)法計(jì)算三角形的面積。

這是因?yàn)椋切蔚拿娣e可以看作是“以三角形的一條底邊為邊長(zhǎng)、該邊上的高為另一邊的長(zhǎng)方形面積的一半”。根據(jù)圖2可知，三角形的面積正好是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形面積的一半，也就是說(shuō)“三角形的面積=底×高÷2”。

那平行四邊形是什么情況呢？平行四邊形可以看作是兩個(gè)以平行四邊形的邊為底邊的三角形的組合。

梯形的情況又如何呢？梯形可以看作平行四邊形的一半。如圖4所示，兩個(gè)相同的梯形并列組合形成了平行四邊形。因此，梯形的面積也是以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)計(jì)算的，為“（上底+下底）×高÷2”。

從三角形到平行四邊形，再到梯形，雖然這三個(gè)圖形看上去沒(méi)什么直接關(guān)聯(lián)，但它們的面積公式都是以長(zhǎng)方形面積為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的。

02

近似的方法

積分的要領(lǐng)：將圖形看作小長(zhǎng)方形的組合。

在小學(xué)算術(shù)課上，大家有沒(méi)有做過(guò)下面這樣的事情呢？如圖5所示，用圓規(guī)在方格紙上畫(huà)一個(gè)圓，然后數(shù)出圓中方格的個(gè)數(shù)。之后，再畫(huà)幾個(gè)大小不同的圓，并數(shù)出這些圓中方格的個(gè)數(shù)。

這項(xiàng)作業(yè)實(shí)際上與圓的面積公式相關(guān)。圓的面積公式是“半徑×半徑×3.14”，其中的3.14是圓周率的近似值，而“嘗試數(shù)方格的個(gè)數(shù)”就是一種講解圓周率推導(dǎo)的方法。

在這里，我們來(lái)重新回顧一下這種方法。

先來(lái)數(shù)一數(shù)圖6中，半徑為2 cm的圓中有多少個(gè)方格3（方格的邊長(zhǎng)為1 mm）。雖然這種方法有些不精確，但是能讓小學(xué)生更容易理解。

圖6圓中的方格共有1189個(gè)，用面積表示的話為11.89 cm2。

圓的面積公式是“半徑×半徑×圓周率”。在方格實(shí)驗(yàn)中，我們的目的是求圓周率，所以可以把這個(gè)公式變形，得到“圓周率=面積÷（半徑×半徑）”。在圖6的例子中，圓的半徑為2，所以用面積除以2的2次方4，得出圓周率為2.972 5。

與3.14相比，這個(gè)結(jié)果太小了。雖然有些遺憾，但實(shí)驗(yàn)就是這樣的。即便如此，我們也會(huì)明白一件事情，即“圓周率，也就是π，粗略來(lái)說(shuō)是接近3的數(shù)”。

再細(xì)分方格或者把圓變大的話，圓內(nèi)方格面積的和，就會(huì)逐漸接近圓面積公式“半徑×半徑×3.14”，也就是說(shuō)，圓周率

會(huì)逐漸接近3.14。像這樣，把圓的面積替換成方格的數(shù)量，逐漸求得接近待求值的方法叫作“近似”。我在小學(xué)時(shí)也做過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，數(shù)十年后的今天，我仍然清晰記得努力數(shù)完方格得出答案后，內(nèi)心中洋溢的滿足感。

順便說(shuō)一下，或許有人會(huì)產(chǎn)生以下疑問(wèn)。

博士的回答是老師的常用手段，但是稍微有些糊弄的成分。因?yàn)檫@種回答還會(huì)遺留下面的疑問(wèn)。

“不在意這些縫隙”具體是什么意思？事實(shí)上，不管是在意還是不在意，縫隙總是會(huì)存在的，不是嗎？

這個(gè)疑問(wèn)看上去似乎很無(wú)聊，但在高等數(shù)學(xué)中卻是一個(gè)很有意思的問(wèn)題。從結(jié)論上來(lái)講，為了解決上述疑問(wèn)，我們有必要使用“夾逼定理”（兩邊夾定理），從圓的內(nèi)部和外部都取近似來(lái)研究圖形。即先計(jì)算出“圓內(nèi)部的方格數(shù)”對(duì)應(yīng)的圓周率，然后再用同樣的方法，計(jì)算出“包含圓邊界的方格數(shù)”（內(nèi)部方格數(shù)加包含圓邊界的方格數(shù)）對(duì)應(yīng)的圓周率。這樣一來(lái)，我們可以得到下面的結(jié)論：

圓內(nèi)部方格數(shù)對(duì)應(yīng)的圓周率 ＜ 圓實(shí)際的圓周率 ＜ 包含圓邊界的方格數(shù)對(duì)應(yīng)的圓周率

如果將方格不斷替換為更小的方格，“圓內(nèi)部方格數(shù)對(duì)應(yīng)的圓周率”和“包含圓邊界的方格數(shù)對(duì)應(yīng)的圓周率”，二者的數(shù)值會(huì)慢慢接近，都接近圓實(shí)際的圓周率，這就是“夾逼定理”。

在微積分中，不拘小節(jié)的精神同樣重要。

圖7是小方格組成的與圓近似的圖形。左邊是大方格，右邊是小方格。通過(guò)這兩個(gè)圖大概可以明白“把粗糙的圖形精細(xì)化，就會(huì)接近實(shí)際圖形（圓）”。精度非常高的鋸齒狀圖形，實(shí)際上很難在視覺(jué)上與平滑圖形區(qū)分出來(lái)。

電視、電腦的液晶顯示器，都是使用這個(gè)原理來(lái)顯示畫(huà)面的。液晶顯示器顯示的畫(huà)面實(shí)際上是鋸齒狀的。但是顯示器中鋸齒的精細(xì)度非常高，所以我們眼中看到的就是平滑的線了。

我們也可以這樣說(shuō)，圓形實(shí)際上是由無(wú)數(shù)精細(xì)小方格組成的鋸齒狀圖形，即圓形是鋸齒狀圖形的“極限”。像這樣，“近似”在數(shù)學(xué)中是極其好用的方法。

如果執(zhí)著于完美再現(xiàn)平滑的線，那么就不會(huì)出現(xiàn)液晶顯示器吧。多虧了非完美主義的近似方法，才誕生了劃時(shí)代的技術(shù)。

03

和變?yōu)榱朔e分

計(jì)算圓的面積時(shí)，小學(xué)中采用的方法是用“正方形”來(lái)劃分圓的內(nèi)部空間。這樣做的原因?qū)嶋H上很簡(jiǎn)單，就是因?yàn)榉礁窦埖姆礁袷钦叫巍?/span>

求圓的面積，要領(lǐng)是精細(xì)地劃分圓。也就是說(shuō)，劃分的形狀應(yīng)該不限于正方形。因此，我們可以把圓分成“細(xì)長(zhǎng)的短條”來(lái)求面積。比如圖8，我們嘗試把圓分成細(xì)長(zhǎng)的短條，也就是長(zhǎng)方形的組合。

雖說(shuō)如此，但既然說(shuō)到了符號(hào)，從現(xiàn)在開(kāi)始我們就嘗試使用積分符號(hào)吧。公式也會(huì)從此處開(kāi)始出現(xiàn)，不過(guò)內(nèi)容和剛才的講解是完全一致的，所以請(qǐng)輕松地讀下去。和業(yè)界人士使用行業(yè)術(shù)語(yǔ)講話一樣，使用數(shù)學(xué)符號(hào)講解數(shù)學(xué)，相同的內(nèi)容在表達(dá)上也會(huì)看起來(lái)非常優(yōu)雅。

在圖9中，我們把圓裁切成非常窄的短條。水平方向?yàn)閤軸。這時(shí)，圓的裁切方向和x軸正好是垂直關(guān)系。

在此基礎(chǔ)之上，我們選取一條寬度為Δx的短條。Δ是希臘字母，讀作“德?tīng)査保―elta），多用作“差”（difference）的符號(hào)，表示非常小的數(shù)值。

現(xiàn)在，我們用公式來(lái)表示這條短條的面積。

短條的面積=短條在x值對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度×Δx

若問(wèn)為什么要算出短條面積，這是因?yàn)槲覀円獜倪@里開(kāi)始計(jì)算圓的面積。把這些細(xì)長(zhǎng)短條的面積相加，就是圓的面積。具體來(lái)說(shuō)，把從左端到右端的短條全部相加就可以了。

在這里，我們逐漸縮小短條的寬度，縮小到再也不能縮小的程度。這樣一來(lái)，短條與其說(shuō)是長(zhǎng)方形，倒不如說(shuō)看起來(lái)更像“一條線”。無(wú)數(shù)根“線”相加，其結(jié)果逐漸接近“圓的面積”。用積分符號(hào)來(lái)表示的話，可以寫(xiě)成以下形式。

公式中那個(gè)像把字母S縱向拉長(zhǎng)的符號(hào)音同integral（積分）。積分原本就是“和”的意思，因此積分符號(hào)也是取自拉丁語(yǔ)中“和”的單詞Summa的首字母S。這是一位叫作萊布尼茨的數(shù)學(xué)家（兼哲學(xué)家）提出的。

在此簡(jiǎn)單補(bǔ)充一點(diǎn)兒德?tīng)査éぃ┖蚫的內(nèi)容。

Δ和d，這兩個(gè)符號(hào)都源于“差”（difference）。二者的不同之處在于，Δ是“近似值”，而英文小寫(xiě)字母d是“精確值”。

“精確值”是什么意思呢？例如圓周率π，3.14是其近似值，無(wú)限循環(huán)的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精確值”。近似值在某種情況下必定是不正確的，而精確值在任何情況下都是正確的。

所以，我們可以這樣理解dx：“將原本用短條寬度Δx計(jì)算的數(shù)值，看作趨向于0的'精確值’。”

總結(jié)一下，德?tīng)査éぃ┖陀⑽男?xiě)字母d分別在以下情況中使用。

德?tīng)査éぃ?dāng)存在寬度（寬度大于0）之時(shí)。

英文小寫(xiě)字母d——當(dāng)寬度趨向于0，計(jì)算極限數(shù)值時(shí)。

另外，雖然微積分中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的公式、符號(hào)，不過(guò)初學(xué)者最開(kāi)始不太理解這些東西也沒(méi)有關(guān)系，對(duì)Δ和d也同樣如此。

04

何為“接近精確值”

我們將短條的寬度不斷縮小，然后嘗試計(jì)算圓的面積。為了便于之后的計(jì)算，假設(shè)圓的半徑為1 cm（圖10）。如果在這個(gè)圓的內(nèi)部排列短條并計(jì)算其總面積，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？

在這里，設(shè)短條的條數(shù)為N。用直徑2（半徑為1，直徑是半徑的2倍，所以直徑為2）除以短條的條數(shù)（N），就能夠得出每一條短條的寬度Δx。也就是說(shuō)，Δx是2/N

寬度為Δx的短條的面積總和，在短條條數(shù)（N）增加時(shí)會(huì)如何變化呢？我們來(lái)實(shí)際確認(rèn)一下。逐一計(jì)算不同條數(shù)下所有短條的總面積很麻煩，不過(guò)使用計(jì)算機(jī)的話可以一下子解決，結(jié)果如表1所示。

在表1中，我們計(jì)算了短條數(shù)從10條到20 000條時(shí)的短條總面積。條數(shù)（N）為20 000時(shí)，每條短條的寬度Δx是半徑的1/10 000，只有0.000 1 cm。

我們從表1的結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，條數(shù)為10時(shí)，總面積是2.637 049，這個(gè)數(shù)值和3.14…迥然不同；當(dāng)條數(shù)為20 000時(shí)，總面積則成了3.141 391。怎么樣？是不是可以切實(shí)感受到，當(dāng)短條的條數(shù)增加時(shí)，短條的總面積會(huì)逐漸接近3.141 592 6…=π。

另外，雖然短條寬度為0.000 1 cm已經(jīng)是纖細(xì)至極，但在分割圖形時(shí)并不算是“精細(xì)”的尺度。實(shí)際計(jì)算積分時(shí)，會(huì)使用比0.000 1 cm更精細(xì)、更接近0的尺度。

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